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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:1.1 集合的概念与运算_图文

第一章

集合与简易逻辑

2014高考导航
考纲解读

1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集
和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握 有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 2.掌握一元二次不等式、简单绝对值不等式的解法. 3.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解 四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要 条件的意义.

目录

§1.1 集合的概念与运算

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.集合的基本概念及表示方法 (1)概念:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集 集 通常用大写的拉丁字母 A、 C?表示. 合, 也简称____, B、 集 元素 合中的每个对象叫做这个集合的_____,通常用小写的拉 丁字母 a、b、c?表示. 确定性 对于一个给定的集合,它的元素具有_________、互异性、 无序性 ________. (2)集合的表示方法 列举法 ①_________; 描述法 ③图示法(如 Venn 图; ②_______; 数轴等).

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2.元素与集合、集合与集合之间的关系 不属于 (1)元素与集合的关系包括______和_______,反映个体与整体 属于 之间的关系. (2)集合间的基本关系 ①相等:集合A与集合B中的所有元素都相同;符号语言为: A?B且B?A _____________?A=B. ②子集:A中任意一个元素均为B中的元素;符号语言为: ______或_______. A?B B?A

③真子集:A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有
A B B A 一个元素不是A中的元素;符号语言为:______或______. 非空集合 ④空集:空集是任何集合的子集,是任何___________的真子

集;符号语言为:??A,?

B(B≠?).
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3.集合的运算 并集 一般地,由 一般地,由所有 所有属于 A且属于B A或属于B 属于__________ _________ 定 的元素所组成的 的元素所组 义 集合,叫做A与 成的集合, B的交集. 叫做A与B的 并集. 符 A∪B= A∩B= 号 __________ {x|x∈A且x∈B} {x|x∈A或 ______________ 表 __________ x∈B} 示 交集 补集 一般地,设U是一个集 合,A是U的一个子集 (即A?U),由U中所有 不属于A的元素组成的 集合,叫做U中子集A 的补集(或余集).

{x|x∈U且x?A} ?UA=______________

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交集 维恩 图表 示
A∩A=____; A A∩?=____; ? A∩B?A; ? A∩B____B; A∩B=?A?B

并集

补集

性质

A∪A=____; A A∪?=___; A A?A∪B; ? B_____A∪B; A∪B=A? B?A

A∩(?UA)=__; ? A∪(?UA)=__; U ?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB); ?U(A∪B)= (?UA)∩(?UB)

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思考探究 1.?与{?},?与{0}有什么关系?

提示:?表示不含任何元素的集合.{?}表示含有一个元素?的
集合.{0}表示含有一个元素0的集合,其关系为?∈{?}或 ? {?},? {0}.

2.A∪B中元素的个数是A、B中元素个数之和吗? 提示:不一定.如果用符号n(A∪B)表示元素个数,则有

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B).

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课前热身 1.(教材改编)设U={x|x是三角形},A={x|x是直角三角形},

则?UA为(

)
B.{x|x是钝角三角形} D.?

A.{x|x是锐角三角形} C.{x|x是斜三角形} 答案:C

2.设集合A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则A∪B等于(

)

A.{x|x>-2}
C.{x|-2<x<-1} 答案:A

B.{x|x>-1}
D.{x|-1<x<2}

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3.设集合 A={x|1≤x≤10,x∈N},B= x|x2+2x-8=0,x∈R}, 全集 U=R.则右图中阴影表示的集合 { 为( ) B.{2,-4} D.{1,2}

A.{-4} C.{2}

答案:A

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4.(2012· 高考上海卷)若集合A={x|2x+1>0},B={x||x- 1|<2},则A∩B=__________.
? ? 1 解析:∵A=?x?x>- 2 ? ? ? 1 ∴A∩B=?x?- 2<x<3 ? ? ?,B={x|-1<x<3}, ? ? ?. ?

?-1,3 ? 答案: 2 ? ?

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5.(原创题)设 M={x|x-a=0},N={x|y= 1-x2},若 M?N, 则 a 的取值范围为__________.

答案:{a|-1≤a≤1}

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考点探究讲练互动
考点突破
考点1 集合的基本概念
本考点是指有关集合的“语言”.主要包括集合的描述性 的定义、集合的表示方法及应用、元素与集合的关系、常 用的集合符号等.其中,理解集合的意义是关键.

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例1 设集合A={(x,y)|x+y=c,c∈R},B={(x,y)|x2+y2 =r2,r∈R,r>0},则A∩B的子集个数为( A.0 C.2 B.1 D.1或2或4 )

【思路分析】

A表示直线上的点集,B表示圆上的点集,

A∩B表示直线与圆相交的点集,即关键求出直线与圆的交点

个数,再求子集个数.

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【解析】

这时A、B都表示点集,A∩B是直线x+y=c和圆x2

+y2=r2的公共点组成的集合,即直线与圆的交点,由于c、r 不确定,所以交点个数有0、1、2三种情况. 故A∩B的子集个数是1或2或4.

【答案】

D
本题的集合A、B用了描述法表示.理解其意

【领悟归纳】

义才能转化集合语言为数学问题.此题易错误理解为:只求
A∩B的元素个数.
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跟踪训练 1.(2011· 高考广东卷)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2 +y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元 素个数为( A.4 C.2 ) B.3 D.1

解析:选C.集合A表示圆x2+y2=1上的点构成的集合,集合B 表示直线x+y=1上的点构成的集合,可判断直线与圆相交, 故A∩B的元素的个数为2.

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考点2

集合间的关系

集合间的关系是指集合相等与包含,其中子集、真子集是重 要的概念.往往通过集合的运算来体现它们之间的关系. 处理此类问题一般有两种方法,一是化简集合,从表达式中 找两集合的关系;二是利用列举法表示各个集合,从元素中 寻找关系.

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1 例2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5}, 集合 B={x|- <x≤2}. 2 (1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围.

【思路分析】

在确定集合A时,需对x的系数a进行讨

论.利用数轴分析,使问题得到解决.

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【解】

A 中不等式的解集应分三种情况讨论:

①若 a=0,则 A=R; 4 1 ②若 a<0,则 A={x| ≤x<- }; a a 1 4 ③若 a>0,则 A={x|- <x≤ }. a a (1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,

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? 则? 1 ?-a≤2
4 1 >- 2 a

?a<-8 ? ,∴? 1 ,∴a<-8. ?a≤-2 ?

当 a>0 时,若 A?B,如图,

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? 则? 4 ?a≤2

1 1 - ≥- 2 a

?a≥2 ? ,∴? ,∴a≥2. ? ?a≥2

综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2. (2)当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

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? 则? 1 ?-a>2

4 1 ≤- 2 a

?a≥-8 ? ,∴? 1 . ?a>-2 ?

1 ∴- <a<0; 2 当 a>0 时,若 B?A,如图,

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? 则? 4 ?a≥2

1 1 - ≤- 2 a

?a≤2 ? ,∴? . ?a≤2 ?

∴0<a≤2. 1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2

【领悟归纳】

解决数集关系避免出错的一个有效手段即

是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的 不等式(或方程)时,要对参数进行讨论.本题易忽略对 “a=0”的讨论.
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跟踪训练
2.(2012· 高考大纲全国卷)已知集合 A={1,3, m},B={1,m}, A∪B=A,则 m=( A.0 或 3 ) B.0 或 3

C.1 或 3 D.1 或 3 解析:选 B.法一:∵A∪B=A,∴B?A.
又 A={1,3, m},B={1,m}, ∴m=3 或 m= m. 由 m= m得 m=0 或 m=1. 但 m=1 不符合集合中元素的互异性, 故舍去,故 m=0 或 m=3.
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法二:∵B={1,m},∴m≠1, ∴可排除选项 C、D. 又当 m=3 时,A={1,3, 3},B={1,3}, ∴A∪B={1,3, 3}=A,故 m=3 适合题意,故选 B.

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考点3 集合的运算
集合的运算指的是交、并、补.进行集合的运算,首先往往 是等价转换集合的表示方法或化简集合,然后利用集合的运 算概念,数形结合思想求解.

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例3 (2013· 济南市高三模拟)已知全集U=R,集合A= {x|3≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则?U(A∩B)=( )

A.(-∞,3)∪(5,+∞)
C.(-∞,3]∪[5,+∞) 【思路分析】 【解析】 【答案】

B.(-∞,3)∪[5,+∞)
D.(-∞,3]∪(5,+∞)

化简B→求A∩B→?U(A∩B).

由已知可得B={x|2<x<5},A∩B={x|3≤x<7} ∩ B 本题也可以借助?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB)的规

{x|2<x<5}={x|3≤x<5},故?R(A∩B)={x|x<3或x≥5},故选B. 【领悟归纳】

律求解,注意端点极易漏掉.

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跟踪训练
3.如果A、B不变,则?U(A∪B)=__________. 解析:A∪B={x|2<x<7},

∴?U(A∪B)={x|x≤2或x≥7}.
答案:{x|x≤2或x≥7}

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方法感悟
方法技巧 集合运算的“三化”原则

(1)意义明确化:即首先分清集合的类型,是表示数集、点集
还是图形集;是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式 的解集.

(2)化简具体化:具体求出相关集合中函数的定义域、值域或
方程、不等式的解集等;不能具体求出的,也应力求将相关 集合转化为最简的形式.

(3)运算直观化:借助数轴,直角坐标平面、维恩图等将有关
集合直观地表示出来.

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失误防范 1.集合中的元素的三个性质,特别是无序性和互异性在解题

时经常用到.解题后要进行检验.
2.勿忘空集,空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子 集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防 止漏掉. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他 情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.维恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常 用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 集合是每年高考必考的知识点之一,考查重点是集合与集合

之间的关系,集合语言与集合思想的应用,近几年试题加强
了对集合的计算、化简的考查,与解绝对值不等式、一元二 次不等式及分式不等式相关.在解决这些问题时,要注意利 用几何的直观性,借助数轴与维恩图,利用特殊值法解集合 问题.试题以选择题、填空题为主,要求对基础知识、基本

题型求解准确、熟练掌握.

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近几年有的高考题加大了对集合的考查,如福建省考题每年 都有关于集合的新题,2011年的高考题以“新定义”的形式把集 合的性质与整数的性质结合起来考查,2012年上海市高考题 则以集合、数列、数学归纳法结合作为压轴题进行结合考查,

此类题目一般难度较大.
预测2014年对集合的考查,绝大多数是单独考查且较简单,

少数在解答题中结合考查.

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典例透析 高考福建卷)在整数集Z中,被5除所得余数为k的 例 (2011· 所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k= 0,1,2,3,4,给出如下四个结论: ①2 011∈[1];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④ “整数a,b属于同一?类?”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

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【解析】

由于[k]={5n+k|n∈Z},对于①,2 011÷5等于

402余1,∴2 011∈[1].对于②,-3=-5+2,被5除应余2, ∴②错.对于③,任意一整数x,被5除余数为0,1,2,3,4,

∴x∈[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],∴③正确.对于④,先证充分
性,∵a,b是同一类,可设a=5n1+k,b=5n2+k,则a-b= 5(n1-n2)能被5整被余0.下面证明必要性,若a-b∈[0],则可 设a-b=5n,n∈Z,即a=5n+b,n∈Z.不妨令b=5m+k, m∈Z,则a=5n+5m+k=5(n+m)+k,n∈Z,m∈Z.∴a,b 属于同一类,故④正确,则正确的有①③④. 【答案】 C

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【名师点评】

此题是以集合的有关概念,元素与集合的关

系,集合与集合的关系及有关集合的“新信息”型题目,实

质是利用整数的运算性质,对“新信息”的理解,整合能力
的考查. 本题的主要障碍是对这类题本身缺乏信心,二是对所给的信

息理解不透,不能把所学知识运用其中.
本题的设计理念是:突出对数学本质和数学思想方法的考查, 体现“过程与方法”的理念,这对中学回归教材,认识数 学本质、重视知识之间的逻辑联系有很好的导向作用.对考 生思维的灵活性、深刻性、批判性、创造性、发散性提出了 较高的要求,有利于纠正“数学题型化,解题呆板化”的片 面做法.
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知能演练轻松闯关

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