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2013-2014下宁德期末质检数学试卷(AB卷)


宁德市 2013-2014 学年度第二学期高二期末质量检测

数学(文科)试题(A 卷)
本试卷包含第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 注意事项: 1、答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2、第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答, 答案无效。 3、考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一个项是符合题目要求的.

, 2, 3, 4}, B ? {2, 3, 5} ,则 A 1.设集合 A ? {1
A. {5}

B?(

) D. {1, 4,5} )

3} B. {2,

3, 5} C. {2,

2.已知 i 为虚数单位,则复平面内表示复数 z ? i(1 ? i) 的点在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 )

2 2 2 3.命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 ”的否命题是(
2 2 2 A.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2 C.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3

2 2 2 B.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3
2 2 2 D.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3

4. 观察下列关于变量 x 和 y 的三个散点图,它们从左到右的对应关系依次是(

) .

A.正相关、负相关、不相关 C.负相关、正相关、不相关 5.若 a ? b ? 0, 则下列不等式不 成立 的是 ( . .. A.

B.正相关、不相关、负相关 D.负相关、不相关、正相关 ) D. log 1 a ? log 1 b
2 2

1 1 ? a b

B. a ? b

C. a ? b ? 2 ab

6.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 附表:
男 女 总计
数学(文科)试题(A 卷) 第 1 页 共 8 页

爱好 不爱好 总计

40 20 60

20 30 50

60 50 110

P( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

由K ?
2

n(ad ? bc)2 110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20)2 2 ? 7.8 算得: K ? 60 ? 50 ? 60 ? 50 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
) 开始

参照附表,得到的正确结论是 (

A.有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“爱好该项 运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“爱好该项 运动与性别无关” 7.执行如图所示的算法程序,则输出结果为(

S=1,i=1

S=S*(S+1)

i=i+1 是



i<4? 否 输出 S

A.2

B.6

C.42

D.1806 )

?2 x ? y ? 4 ? 8.设 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? y ( ?x ? 2 y ? 2 ?
A.有最小值 2 ,最大值 3 C.有最小值 2 ,无最大值 9.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. ?0,1?
2 '

结束

B.有最大值 3 ,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 ) D. ?3, 4?

2 的零点所在的区间是( x
C. ?2, 3?
3 '

B. ?1, 2?
4 '

10.观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (cos x) ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足

f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) =(
A. f ( x ) B. ? f ( x ) C. g ( x )



D. ? g ( x )

11.若定义在 R 上奇函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 5) ,且 f (1) ? 1, f (2) ? 2 , 则 f (3) ? f (4) ? ( A. ? 1 B. 1


C. ? 2 D. 2

12.下列图象中,有一个是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? 1(a ? R, a ? 0) 的导函数 f ?( x) 的图象,则 f ( ?1) ? ( )

1 3

数学(文科)试题(A 卷) 第 2 页

共 8 页

A.

1 3

B. ?

1 3

C.

7 3

D. ?

1 5 或 3 3

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

注意事项:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题 :本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. i 为虚数单位,复数 z ?

1? i ,则 z ? 1? i


. INPUT x IF x ?? 50 THEN

14.执行右边的算法语句,若输入的 x 的值为 100 , 则输出的 y 的值为

15.平面内,一个三角形的边长分别为 a, b, c ,内切圆 的半径为 r ,则三角形的面积 S ?

y ? 0.5 ? x
ELSE

1 (a ? b ? c)r ; 2

类似地,在空间中,一个四面体的四个面的面积分 别为 S1 , S2 , S3 , S4 , 内切球的半径为 R ,则四面体的 体积 V = .

y ? 25 ? 0.6 ? ? x ? 50?
END IF PRINT y

2 2 16.设函数 f ( x) ? x ? 32 x ? 87 ? x ? 32 x ? 87 ,则 f (1) ? f (2) ?

? f (30) 的值为



三、解答题 :本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) (背面还有试题) 4 甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹。已知甲击中目标的概率为 ,乙

5

击中目标的概率为

3 ,设甲、乙两人的射击相互独立. 4

(Ⅰ )求甲、乙两人都击中目标的概率; (Ⅱ )求甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率. 18. (本小题满分 12 分) 设命题 p :实数 x 满足 ? x ? 1?? x ? a ? ? 0,(a ? 1) ; 命题 q :实数 x 满足 2
x ?1

?4;

(Ⅰ )若 a ? 2 ,,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ )若 p 是 q 成立的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x 在点 ?1, f (1) ? 处的切线平行于直线 y ? 6 x ? 3 .
3 2

(Ⅰ )求实数 a 的值;
数学(文科)试题(A 卷) 第 3 页 共 8 页

(Ⅱ )若方程 f ( x) ? 6 x ? c 有三个不相等的实数根,求实数 c 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,获得单价 xi (元)与销量 y i (件)的数据资料如下表: 单价 x (元) 8 8.2 84
?

8.4 83

8.6 80

8.8 75

9 68

销量 y (件) 90

(Ⅰ )求单价 x 对销量 y 的回归直线方程 y ? bx ? a , (其中 b ? ?20, a ? y ? bx ) (Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(Ⅰ )中的关系,且该产品的成 本是 4 元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元? (注:利润 ? 销售收入 ? 成本) 21. (本小题满分 12 分) 若实数 x, y , m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (Ⅰ )若 x ? 1 比 1 远离 0,求 x 的取值 范围; (Ⅱ)对任意两个不相等的正数 a , b ,证明:

a 2 ? b2 a?b 2 ) 远离 ab ; 比( 2 2

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

a ? ln x ? a ? R ? . x

(Ⅰ)若 x ? 1 是 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) ? x 在 x ? ?1, ?? ? 时恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

数学(文科)试题(A 卷) 第 4 页

共 8 页

宁德市 2013—2014 学年度第二学期高二期末质量检测

数学(文科 A 卷)参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算。本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1、B 2、A 3、A 4、B 5、C 6、A 7、C 8、C 9、B 10、D 11、A 12、B

二、填空题 :本题考查基础知识和基本运算。本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.1 14.55 15. V ?

1 ( S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ) R 3

16. 220

三、解答题:本大题 共 6 小题,共 74 分。 17. 本题主要考查事件独立性的有关概念及运算等基本知识。考查运算求解能力、分类讨论 思想以及应用意识。满分 12 分。 解:记 A 表示甲击中目标; B 表示乙击中目标,则 P ? A ? ? (Ⅰ )记 C 表示事件:甲、乙两人都击中目标, 则 P ? C ? ? P ? A ? B ? ? P ? A? P ? B ? ? 故甲、乙两人都击中目标的概率为

4 3 , P ? B? ? 5 4

…2 分

4 3 3 ? ? 5 4 5

………………………5 分 ………………………6 分 ………………………7 分

3 5

(Ⅱ ) 记 D 表示事件:甲、乙两人恰有一人击中目标 则 P ? D ? ? P( A ? B) ? P( A ? B) ?

4 1 1 3 7 ? ? ? ? ………………………11 分 5 4 5 4 20 7 故甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率为 ……………………12 分 20

18. 本题主要考查不等式的解法,集合的有关概念及运算等基本知识。考查运算求解能力及 分类讨论思想。满分 12 分。 解: (Ⅰ )由 ? x ? 1?? x ? a ? ? 0,(a ? 1) 得 1 ? x ? a , 当 a ? 1 时, 1 ? x ? 2 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 2 由2
x ?1

…………2 分 ………………4 分

? 4 ,得 x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 x ? 3 .

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 2 .……………………………………………6 分

(Ⅱ ) p 是 q 的充分不必要条件,即 p ? q ,且 q

? ? p,

……………8 分

x ?1 设 A ? x ( x ? 1)( x ? a ) ? 0 , B ? x 2 ? 4 ,则 A ? B ,

?

又 A= x 1 ? x ? a ,

?

?

? ? B ? ? x x ? 3? ,

?

…………………………………… 10 分

所以实数 a 的取值范围是 a ? 3

…………………………………………………12 分

19. 本题主要考查函数、导数等基本知识。考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、 数形结合数形。满分 12 分。
数学(文科)试题(A 卷) 第 5 页 共 8 页

解(Ⅰ ) f ?( x) ? 3x 2 ?2ax+6 由题意得: f ?(1) ? 6 ? 2a ? 6 解得: a ? 0

…………………………………………………1 分 …………………………………………………3 分 ……………………………………………………4 分

(Ⅱ )方程 f ( x) ? 6 x ? c 有三个不相等的实数根, 等价于 x ? 3x ? c 有三个不相等的实数根
3

…………………………5 分 …………………6 分

令 g ( x) ? x3 ? 3x , 由 g ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ? 0 解得: x1 ? ?1, x2 ? 1

………………………………7 分

当 x ? ?1 时, g ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;

? g( x)在? ??, ?1? 单调递增,在? ?1,1? 单调递减,在?1, ??? 单调递增 …9 分
又 g (?1) ? 2, g (1) ? ?2 ………………………………………………10 分 ……………………………………12 分

?

?2 ? c ? 2

20. 本题主要考查统计部分的基本知识。考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识。 满分 12 分。 解: (Ⅰ )x ?

8 ? 8.2 ? 8.4 ? 8.6 ? 8.8 ? 9 ? 8.5 6 90 ? 84 ? 83 ? 80 ? 75 ? 68 ? 80 6

…………………………………2 分

y?
? ?

………………………………4 分 ……………………………………5 分 ……………………………………6 分

a ? y ? bx ? 80 ? 20 ? 8.5 ? 250 ? ? ?20 x ? 250 y
2

(Ⅱ)工厂获得利润 z ? ( x ? 4) y ? ?20 x ? 330 x ?1000 ,

……………………………9 分 ……………………………11 分

33 时, zmax ? 361.25 (元) 。 4 33 元时,可使工厂获得最大利润 ? 当单价应定为 4
当x ?

……………………………12 分

21. 本题主要考查推理(归纳推理)与证明等基础知识。考查运算化简能力、推理论证能力。考查特殊与 一般的思想、化归与转化的思想。满分 12 分。 解(Ⅰ )由题意得: x ? 1 ? 1
? ?

……………………………………2 分 ……………………………………4 分 ……………………………………5 分

x ? 1 ? ?1 或 x ? 1 ? 1

x ? 0或 x ? 2

(Ⅱ )证法 1:

a 2 ? b2 ( a ? b) 2 a 2 ? b 2 ? ab ? ? ? ab …………………………7 分 2 2 2
数学(文科)试题(A 卷) 第 6 页 共 8 页

而(

a?b 2 a ?b 2 a?b 2 ) ? ab ? ( ) ?( ) ? ab , 2 2 2

……………………………9 分

从而

a 2 ? b2 a?b 2 a 2 ? b2 a?b 2 ? ab ? ( ) ? ab ? ? ab ? [( ) ? ab] 2 2 2 2

?


a 2 ? b 2 ? 2ab (a ? b) 2 ? ? 0 ……………11 分 4 4
……………12 分

a 2 ? b2 a ?b 2 ? ab ? ( ) ? ab ;命题得证。 2 2

证法 2:问题等价于证明

a 2 ? b2 a ?b 2 ? ab ? ( ) ? ab ; ………………………7 分 2 2
………………………9 分

因为 a ? b ,所以

a 2 ? b2 ( a ? b) 2 ? ab ,同理 ? ab , 2 2

a 2 ? b2 ( a ? b) 2 ? ab , ? ab ? 于是待证不等式变形为 2 2
于是等价于

………………………10 分

a 2 ? b 2 ? 2ab (a ? b)2 ? ? 0, 4 4
………………………12 分

因为 a , b 是不等正数,所以该式显然成立。

22.本题主要考查函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与 整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等。满分 14 分。

(0, +?) 解: (Ⅰ )显然函数 f ( x ) 的定义域为 ,且 f ?( x) ? ?
由题意 f ?(1) ? 1 ? a ? 0 , 解得 a ? 1 (Ⅱ) ① 当 a ? 0 时,

a 1 x?a ? ? 2 ……… 2 分 x2 x x
………………………… 4 分

x ? ? , ? f ?( x) ? 0 恒成立,
…… ………6 分

(0, +?) 所以 f ( x ) 在区间 上单调递增。

② 当 a ? 0 时,

x ? 0 ,? 令 f ?( x) ? 0 ? x ? a ;令 f ?( x) ? 0 ? x ? a .

(0,a) (a,+?) ? f ( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.………………8 分
综上所述:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 上单调递增; (0, +?)

(0,a) 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 上单调递减,

(a,+?) 在区间 上单调递增.……………… 9 分
(Ⅲ ) f ( x) ? x ? x ?
2 2

a ? ln x ? 0 x
…………………………………………10 分
2

x ? ?1, ?? ? ,? a ? x3 ? x ln x .
3

令 h( x) ? x ? x ln x ,则 k ? x ? ? h?( x) ? 3x ? ln x ?1 ,
数学(文科)试题(A 卷) 第 7 页 共 8 页

k? ? x? ? 6x ?

1 6 x2 ?1 ? , x x
………12 分

x ??1, ??? 时, k?( x) ? 0 ,? k ( x) 在区间 ?1, +?? 上单调递增,? k ( x) ? k (1) ? 2
? h?( x) ? 0 ,? h( x) ? x3 ? x ln x 在 ?1 , +?? 上单调递增,

? h( x) ? h(1) ? 1 ,? a ? 1 .

…………………………………………14 分

数学(文科)试题(A 卷) 第 8 页

共 8 页


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