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《等差数列前n项和公式》教学设计


6.2.3《等差数列的前 n 项和公式》教学设计

《等差数列的前 n 项和公式》教学设计
职业技术学校 刘老师 大纲分析: 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是 等差数列前 n 项和公式的推导及其简单应用。 教材分析: 数列在生产实际中的应用范围很广,而且是培养学生发现、认识、分析、综 合等能力的重要题材,同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。 学生分析: 数列在整个高中阶段对于学生来说是难点, 因为学生对于这部分仅有初中学 的简单函数作为基础,所以新课的引入非常重要。 教学目标: 知识与技能目标: 掌握等差数列前 n 项和公式,能较熟练应用等差数列前 n 项和公式求和。 过程与方法目标: 培养学生观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标: 体验从特殊到一般,又到特殊的认识事物的规律,培养学生勇于创新的科学 精神。 教学重点与难点: 等差数列前 n 项和公式是重点。 获得等差数列前 n 项和公式推导的思路是难点。 教学用具:ppt

整节课分为三个阶段: 问题呈现阶段 探究发现阶段 公式应用阶段 问题呈现 1:

首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传
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说 (泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,陵寝以宝 石镶饰,图案之细致令人叫绝,成为世界七大奇迹之一。 ) 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层,你知道这个图案一共花了多少宝石吗?也就是计算 1+2+3+?+100。 紧接着讲述高斯算法:高斯,德国著名数学家,被誉为“数学王子” 。 200 多年前,高斯的算术教师提出了下面的问题:1+2+3+?+100=? 据说,当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时, 10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案: (1+100)+(2+99)+??+(50+51)=101×50=5050 【设计说明】 了解历史,激发兴趣,提出问题,紧扣核心。 问题呈现 2: 图案中,第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石? 在知道了高斯算法之后,同学们很容易把本题与高斯 算法联系起来, 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, 引 引导学生去思考,如何将图与高斯的倒序相加结合起来,让 他们借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形.

s21 ? 获得算法:

(1 ? 21) ? 21 2

【设计说明】 ? 源于历史,富有人文气息. ? 图中算数,激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重 要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 探究发现 1: 问题 3:如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ? 由前面的例子,不难用倒序相加法推出
? sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an sn ? an ? a n ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 n(a1 ? an ) 公式1? sn ? 2

【设计说明】 在前面两个问题的基础上, 问题呈现 3 提出了等差数列求和公式的推导,鼓 励学生利用“倒序相加”的数学方法推导公式。 探究发现 2: 根据等差数列求和公式 1 和等差数列通项公式,推出等差数列公式 2 问题 4 已知首相a1 , 项数n, 公差d

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ?

复习回顾:等差数列通项公式:an ? a1 ? ? n ?1? d
公式1 Sn ? n(a1 ? an ) 2
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Sn ?

n(a1 ? an ) n[a1 ? a1 ? ? n ? 1? d ] ? 2 2 n ? 2a1 ? ? n ? 1? d ? ? ? 2na1 ? n ? n ? 1? d ? ? 2 2
n(n ? 1) d 2

公式2 Sn ? na1 ?

探究发现 3: 有这样一个梯形,上底长为 a1 (m) ,下底长为 an (m) ,高为
n(m) ,求这个梯形的面积为多少平方米?

面积公式:

S?

n ? a1 ? an ? 2

n (n - 1) S n = na1 + d 2
【设计说明】 利用梯形的面积公式, 帮助学生记忆等差数列的求和公式,让学生对于“数 形结合”的理解更加深一层。 公式应用 ? 根据题目选用公式 ? 利用通项求中间量 ? 依据条件变用公式 例 1、已知等差数列{an}中,a1=-8,a20=106,求 s20 分析:本例提供了两个数据,学生可以从题目条件发现,只告知了首项、尾项和 项数,于是从这一方向出发,可知使用公式 1,达到学生熟悉公式的要素与结构 的教学目的。 解:由已知条件得 (-8+106) s20= 20 ? =980 2
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例 2、求等差数列 1,4,7,10?的前 100 项的和。 分析:本例已知首项,公差和项数,引导学生使用公式 2。事实上,根据提供的 条件再与公式对比,通过两种公式的比较,引导学生应该根据信息选择适当的公 式,以便于计算。 解:已知 a1=1,d=3,n=100, 100 ? (100-1) 所以有 s100=100×1+ ×3=14950 2 巩固练习: 1、根据下列条件,求相应的等差数列{an}的 Sn

(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;

(2)a1 ? 100, d ? ?2, n ? 50;
2、求等差数列-13,-9,-5,-1,3?的前 100 项的和 课堂小结: 回顾从特殊到一般的研究方法; 体会等差数列的基本元表示方法,逆序相加的算法,及数形结合的数学思想; 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。 作业布置: 必做题:课本第 10 页 习题 6.2.3:1、2 选做题:课本第 12 页 第8题 【设计说明】 出选做题的目的是注意分层教学和因材施教, 让学有余力的学生有 思考的空间。 教学反思: 本节课是通过介绍高斯的算法, 探究这种方法如何推广到一般等差数列的求 和.本节课的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路.为了突破 这一难点, 在教学中采用了以问题驱动的教学方法, 设计的三个问题体现了分析、 解决问题的一般思路, 即从特殊问题的解决中提炼方法,再试图运用这一方法解 决一般问题. 在教学过程中, 通过教师的层层引导、 学生的合作学习与自主探究, 尤其是借助图形的直观性,学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。

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