当前位置:首页 >> 数学 >> 标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:第一章 1.3 正弦定理、余弦定理的应用

标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5:第一章 1.3 正弦定理、余弦定理的应用


正弦定理、余弦定理的应用

预习课本 P18~21,思考并完成以下问题 (1)方向角和方位角各是什么样的角?

(2)怎样测量物体的高度?

(3)怎样测量物体所在的角度?

[新知初探]
实际测量中的有关名称、术语 名称 基线 仰角 定义 图示

在测量中,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方 时与水平线的夹角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方 时与水平线的夹角 从指定方向线到目标方向线的水平角

俯角

方向角

(指定方向线是指正北或正南或正东或 正西,方向角小于 90°) 从正北的方向线按顺时针到目标方向线 所转过的水平角

方位角

[小试身手]
1.某人先向正东方向走了 x km,然后他向右转 150°,向新的方向走了 3 km,结果 他离出发点恰好为 3 km,那么 x 的值为________. 解析:画出示意图(略),由余弦定理得 ( 3)2=x2+32-2×x×3×cos 30°, ∴x=2 3或 x= 3. 答案:2 3或 3 2.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为________. 解析:根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图.知 α=β.

答案:α=β 3.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km),灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间距离为________. 解析:△ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=90°, 所以 AB= 2a. 答案: 2a 4.如图,已知 A,B,C 三地,其中 A,C 两地被一个湖隔开,测 得 AB=3 km, B=45°, C=30°, 则 A, C 两地的距离为________km. 解析: 根据题意,由正弦定理可得 AC 3 = ,解得 AC=3 2. sin 30° sin 45° 答案:3 2 AB AC = ,代入数值得 sin C sinB

测量高度

[典例] 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字,其造型流畅别致,成了济南的标志和 象征.李明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的 A 点测得泉标顶端的仰角为 60°,他 又沿着泉标底部方向前进 15.2 m,到达 B 点,测得泉标顶部仰角为 80°.你能帮李明同学求 出泉标的高度吗?(精确到 1 m) [解] 如图所示,点 C,D 分别为泉标的底部和顶端.

依题意,∠BAD=60°,∠CBD=80°, AB=15.2 m, 则∠ABD=100°, 故∠ADB=180°-(60°+100°)=20°. 在△ABD 中,根据正弦定理, BD AB = . sin 60° sin∠ADB ∴BD= AB· sin 60° 15.2· sin 60° = ≈38.5(m). sin 20° sin 20°

在 Rt△BCD 中, CD=BDsin 80°=38.5· sin 80°≈38(m), 即泉城广场上泉标的高约为 38 m.

(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线 与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想 的运用.

[活学活用]
甲、乙两楼相距 200 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角 为 30°,则甲、乙两楼的高分别是多少? 解:如图所示,AD 为乙楼高,BC 为甲楼高. 在△ABC 中,BC=200×tan 60°=200 3, AC=200÷ sin 30°=400, 由题意可知∠ACD=∠DAC=30°, ∴△ACD 为等腰三角形. 由余弦定理得 AC2=AD2+CD2-2AD· CD· cos 120°, 1? 2 4002=AD2+AD2-2AD2×? ?-2?=3AD , AD2= 4002 400 3 ,AD= . 3 3 400 3 m. 3 测量角度问题

故甲楼高为 200 3 m,乙楼高为

[典例] 如图所示,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3) n mile 的两个观测点. 现位于 A 点北偏东 45°方向、 B 点北偏西 60° 方向的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 n mile 的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 n mile/h,则该救援船到达 D 点需要多长时间? [解] 由题意,知 AB=5(3+ 3)n mile, ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. 在△DAB 中,由正弦定理得 即 BD= BD AB = , sin∠DAB sin∠ADB

ABsin∠DAB 5?3+ 3?sin 45° = sin∠ADB sin 105°

5?3+ 3?sin 45° = sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60° =10 3 n mile. 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°,BC=20 3 n mile, ∴在△DBC 中,由余弦定理,得 CD= BD2+BC2-2BD· BCcos∠DBC = 300+1 200-2×10 3×20 3× 1 2

=30 n mile, 则救援船到达 D 点需要的时间为 30 =1 h. 30

测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中, 该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几 个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.

[活学活用]
在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 处( 3-1)n mile 的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°的方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile 的速度追 截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船 沿什么方向能最快追上走私船? 解:设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,画出示意图,

则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°, ∴由余弦定理, 得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC=( 3-1)2+22-2· ( 3-1)· 2· cos 120°=6, ∴BC= 6,且 sin∠ABC= = 2 3 2 · = , 2 6 2 AC · sin∠BAC BC

∴∠ABC=45°,∴BC 与正北方向成 90°角. ∴∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD= BD· sin∠CBD 10tsin 120° 1 = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船. 测量距离问题

题点一:两点不相通的距离
1.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选定适当的位置 C,用 经纬仪测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两 点间的距离. 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试计算 AB 的长. 解:在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 (m). 即 A,B 两点间的距离为 200 7 m.

题点二:两点间可视但有一点不可到达
2.如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧, 且 B 点不可到达,要测出 A,B 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定 一点 C,可以测出 A,C 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠ CAB=β,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则 A,B 两点间的距离为________ m.

解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°, AB AC 所以由正弦定理得, = , sin C sin B AC· sin C 60×sin 45° ∴AB= = =20 6(m). sin B sin 60° 即 A,B 两点间的距离为 20 6 m. 答案:20 6

题点三:两点都不可到达
3.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,测出 A,B 的距离,测量者可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同 时在 C,D 两 点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC 和△BDC 中, 由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 若测得 CD= B 两点间的距离. 解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°, ∴∠DAC=60°, ∴AC=DC= 3 . 2 3 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求 A, 2

3 2 DC 在△BCD 中,∠DBC=45°,由正弦定理,得 BC= · sin∠BDC= · sin sin∠DBC sin 45° 30°= 6 . 4

在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos 45° 3 3 3 6 2 3 = + -2× × × = . 4 8 2 4 2 8 ∴AB= 6 (km). 4 6 km. 4

∴A,B 两点间的距离为

当 A,B 两点之间的距离不能直接测量时,求 AB 的距离分为以下三类: (1)两点间不可通又不可视(如图①):可取某点 C,使得 A,B 与 C 之间的距离可直接测 量,测出 AC=b,BC=a 以及∠ACB=γ,利用余弦定理得:

AB= a2+b2-2abcos γ. (2)两点间可视但不可到达(如图②):可选取与 B 同侧的点 C,测出 BC=a 以及∠ABC 和∠ACB,先使用内角和定理求出∠BAC,再利用正弦定理求出 AB. (3)两点都不可到达(如图③): 在河边测量对岸两个建筑物之间的距离, 可先在一侧选取 两点 C,D,测出 CD=m,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠ADB,再在△BCD 中求出 BC, 在△ADC 中求出 AC,最后在△ABC 中,由余弦定理求出 AB.

层级一

学业水平达标

1.一只蚂蚁沿东北方向爬行 x cm 后,再向右转 105°爬行 20 cm,又向右转 135°, 这样继续爬行可回到出发点处,那么 x=________.

解析:由正弦定理得 答案: 20 6 3

x 20 20 6 = ,∴x= . 3 sin ∠ACB sin A

2.一艘船以 4 km/h 的速度与水流方向成 120°的方向航行,已知河水流速为 2 km/h, 则经过 3 h,则船实际航程为________ km. 解析:如图所示,在△ACD 中,AC=2 3,CD=4 3,∠ACD=60°, 1 ∴AD2=12+48-2×2 3×4 3× =36. 2 ∴AD=6.即该船实际航程为 6 km. 答案:6 3.从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30°,看正南方向一只船俯角 为 45°,则此时两船间的距离为________米. 解析:如图所示,BC= 3h,AC=h,∴AB= 3h2+h2=2h. 答案:2h 4. 要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度, 在黄浦江西岸选择甲、 乙两观测点, 在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线 及甲、乙两地连线所成的角为 120°,甲、乙两地相距 500 米,则电视塔在这次测量中的高

度是________米. 解析:由题意画出示意图, 设高 AB=h,在 Rt△ABC 中,由已知 BC=h,在 Rt△ABD 中, 由已知 BD= 3 h,在 △BCD 中,由余弦定理 BD2= BC2+ CD2- 2BC· CD· cos∠BCD 得 3h2=h2+5002+h· 500, 解之得 h=500(米). 答案:500 5.如图,为测量一棵树的高度,在地面上选取 A,B 两点,从 A,B 两点分别测得树尖的仰角为 30°,45°,且 A,B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为________m. 解析:由正弦定理,得 PB 60 = , sin?45°-30°? sin 30° 1 2 30 ∴PB= = . sin 15° sin 15° 60× 30 ∴h=PB· sin 45°= · sin 45°=(30+30 3)m. sin 15° 答案:(30+30 3) 6.一船以 22 6 km/h 的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 45°,1 小 时 30 分后航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的南偏东 15°,则灯塔 S 与 B 之间的距离为 ________km. 3 解析: 如图, ∠ASB=180°-15°-45°=120°, AB=22 6× = 2 33 6, SB 33 6 由正弦定理,得 = , sin 120° sin 45° ∴SB=66(km). 答案:66 7.一角槽的横断面如图所示, 四边形 ABED 是矩形, 已知∠DAC=50°, ∠CBE=70°, AC=90,BC=150,则 DE=________. 解析:由题意知∠ACB=120°,在△ACB 中,由余弦定理,得 AB2 = AC2 + BC2 - 2AC· BC· cos ∠ ACB = 902 + 1502 - 1? 2×90×150×? ?-2?=44 100. ∴AB=210,DE=210.

答案:210

8.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始________ h 后,两车的 距离 最小.

解析:如图所示,设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶到 E,则 AD=80t,BE=50t.因为 AB=200,所以 BD=200- 80t,问题就是求 DE 最小时 t 的值.由余弦定理:DE2=BD2+BE2 -2BD· BEcos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)· 50t=12 900t2 70 -42 000t+40 000.当 t= 时,DE 最小. 43 70 答案: 43 9.某海上养殖基地 A,接到气象部门预报,位于基地南偏东 60°相距 20( 3+1)海里 的海面上有一台风中心,影响半径为 20 海里,正以每小时 10 2 海里的速度沿某一方向匀 速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 3+1)小时后开始持续影响基地 2 小 时.求台风移动的方向.

解:如图所示,设预报时台风中心为 B,开始影响基地时台风中心为 C,基地刚好不受影响时台风中心为 D,则 B,C,D 在一直线上,且 AD =20,AC=20. 由题意 AB=20( 3+1),DC=20 2, BC=( 3+1)· 10 2=10( 6+ 2). 在△ADC 中,因为 DC2=AD2+AC2, 所以∠DAC=90°,∠ADC=45°. 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+AB2-BC2 3 cos∠BAC= = . 2AC· AB 2 所以∠BAC=30°,又因为 B 位于 A 南偏东 60°, 60°+30°+90°=180°,所以点 D 位于 A 的正北方向, 又因为∠ADC=45°, 所以台风移动的方向为北偏西 45°. 10.如图,测量人员沿直线 MNP 的方向测量,测得塔顶 A 的仰 角分别是∠AMB=30°,∠ANB=45°,∠APB=60°,且 MN= PN=500 m,求塔高 AB.

解:设 AB=x,∵AB 垂直于地面, ∴△ABM,△ABN,△ABP 均为直角三角形. ∴BM= BP= x x = 3x,BN= =x. tan 30° tan 45°

x 3 = x. tan 60° 3

在△MNB 中,由余弦定理 BM2=MN2+BN2-2MN· BN· cos∠MNB, 在△PNB 中,由余弦定理 BP2=NP2+BN2-2NP· BN· cos∠PNB, 又∵∠MNB 与∠PNB 互补,MN=NP=500, ∴3x2=250 000+x2-2×500x· cos∠MNB, 1 2 x =250 000+x2-2×500x· cos∠PNB, 3 10 ①+②,得 x2=500 000+2x2, 3 ∴x=250 6或 x=-250 6(舍去). 所以塔高为 250 6 m. ① ②

层级二

应试能力达标

1.一船以 24 km/h 的速度向正北方向航行,在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 30° 方向上,15 min 后到点 B 处望见灯塔在船的北偏东 65°方向上,则船在点 B 时与灯塔 S 的 距离是______ km.(精确到 0.1 km) 解析:作出示意图如图. 由题意知, AB = 24× 15 6 = 6 ,∠ ASB = 35° ,由正弦定理 = 60 sin 35°

BS ,可得 BS≈5.2(km). sin 30° 答案:5.2 2.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40°处,A,B 两船间的距离为 3 km,则 B 船到灯塔 C 的距离为________ km. 解析:如图,由题意可得, ∠ACB=120°,AC=2,AB=3.设 BC=x,则由余弦定理可得: AB2 = BC2 + AC2 - 2BC· ACcos 120° ,即 32 = x2 + 22 - 2×2xcos 120°, 整理得 x2+2x=5,解得 x= 6-1. 答案: 6-1

3.如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从 A 点出发沿正北方 向行进 x m 到达 B 处发现生命迹象,然后向右转 105°,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象,这时它向右转 135°回到出发点,那么 x=________. 解析:由题图,知 AB=x,∠ABC=180°-105°=75°,∠BCA=180°-135°= 45° ,∵ BC = 10 ,∠ BAC = 180° - 75° - 45° = 60° ,∴ 10sin 45° 10 6 = . 3 sin 60° 答案: 10 6 3 x 10 = ,∴ x = sin 45° sin 60°

4.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向, 另一灯塔在船的南偏西 75°方向, 则这只船的速度是________海里/小时. 解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以 ∠CAD=∠CDA=15°, 从而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 5 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 =10 海里/小时. 0.5 答案:10 5.如图所示, 在山底 A 处测得山顶 B 的仰角∠CAB=45°, 沿倾斜角 为 30°的山坡向山顶走 1 000 m 到达 S 点, 又测得山顶仰角∠DSB=75°, 则山高 BC 为________ m. 解析: ∵∠ SAB = 45° - 30° = 15° ,∠ SBA =∠ ABC -∠ SBC = AS· sin 135° 45°-(90°-75°)=30°,在△ABS 中,AB= = sin 30° 2 =1 000(m). 2 1 000× 1 2 2 2

=1 000 2,∴BC

=AB· sin 45°=1 000 2× 答案:1 000

6.如图,从气球 A 上测得其正前下方的河流两岸 B,C 的俯角 分别为 75°,30°,此时气球的高度 AD 是 60 m,则河流的宽度 BC 是________ m. 解析:由题意知,在 Rt△ADC 中,∠C=30°,AD=60 m, ∴AC=120 m.在△ABC 中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-75°=105°,

2 120× 2 ACsin∠BAC 由正弦定理,得 BC= = =120( 3-1)(m). sin∠ABC 6+ 2 4 答案:120( 3-1) 7.在一次海上联合作战演习中, 红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向, 相距 12 n mile 的水面上, 有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75° 方向前进,若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45° +α 方向拦截蓝方的小艇,若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察 艇所需的时间和角 α 的正弦值. 解:如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇, 则 AC=14x,BC=10x, ∠ABC=120°.根据余弦定理得 (14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°, 解得 x=2.故 AC=28,BC=20. 根据正弦定理得 解得 sin α= BC AC = , sin α sin 120°

20sin 120° 5 3 = . 28 14 5 3 . 14

所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为

8.在四边形 ABCD 中, 已知 AD⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA =60°,∠BCD=135°,求 BC 的长. 解:在△ABD 中,设 BD=x, 由余弦定理,得 BA2=BD2+AD2-2BD· AD· cos∠BDA, 即 142=x2+102-2· 10x· cos 60°, 整理得:x2-10x-96=0, 解得 x1=16,x2=-6(舍去), 由 AD⊥CD,∠BDA=60°,知∠CDB=30°, 由正弦定理,得 BC BD = , sin∠CDB sin∠BCD

16 ∴BC= · sin 30°=8 2. sin 135°

(时间 120 分钟

满分 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.将答案填在题中的横线上) 1.已知△ABC 中,a= 2,b= 3 ,B=60°,那么角 A=________. a b 解析:由正弦定理得: = , sin A sin B 2sin 60° asin B 2 sin A= b = = . 2 3 又 a<b,∴A<B,∴A=45°. 答案:45° 2.在△ABC 中,AB= 5,AC=5,且 cos C= 9 ,则 BC=________. 10

解析:由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos C,得 5=25+BC2-9BC,解得 BC =4 或 5. 答案:4 或 5 3.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,若 b=2a,B=A+60°,则 A =________. 解析: ∵b=2a, ∴sin B=2sin A. 又 B=A+60°, ∴sin (A+60°)=2sin A, 即 sin Acos 60°+cos Asin 60°=2sin A,化简,得 sin A= 答案:30° 4.在△ABC 中,已知 AB=3,AC=2,BC= 10,则 AB ·AC =________. 解析:由向量模的定义和余弦定理可以得出| AB |=3,| AC |=2,cos〈 AB , AC 〉 AB2+AC2-BC2 1 = = , 2AB· AC 4 3 3 cos A,∴tan A= ,∴A=30°. 3 3

???? ????
????

????

????

????

???? ???? 1 3 ∴ AB ·AC =3×2× = . 4 2
答案: 3 2 2 ,AC=4,AB=5,则△ABC 的面积是________. 2

5.在△ABC 中,sin A+cos A=

π? 2 解析:sin A+cos A= 2sin? ?A+4?= 2 , π 1 A+ ?= , 即 sin? ? 4? 2 π 5π 7π ∵0<A<π,∴A+ = ,即 A= . 4 6 12

6+ 2 5 6+5 2 1 1 ∴S△ABC= ×AC×AB×sin A= ×4×5× = . 2 2 4 2 答案: 5 6+ 5 2 2

6.在△ABC 中,b= 2a,B=2A,则△ABC 为________三角形. 解析:由正弦定理知:sin B= 2sin A, 又∵B=2A,∴sin 2A= 2sin A. ∴2cos A· sin A= 2sin A. ∴cos A= 2 .∴A=45°,B=90°. 2

故△ABC 为等腰直角三角形. 答案:等腰直角 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3bcos A=ccos A+acos C, 则 tan A 的值是________. 解析: 由正弦定理, 3bcos A=ccos A+acos C 可化为, 3sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos 1 2 2 C=sin(A+C)=sin B.∴cos A= ,∵0<A<π,∴sin A= , 3 3 从而 tan A= 答案:2 2 8.已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7, c=6,则 b=________. 1 解析:化简 23cos2A+cos 2A=0,得 23cos2A+2cos2 A-1=0,解得 cos A= .由余弦定 5 理,知 a2=b2+c2-2bccos A,代入数据解方程,得 b=5. 答案:5 π 9.在△ABC 中,若 b=5,B= ,tan A=2,则 sin A=________,a=________. 4 sin A 解析:因为在△ABC 中,tan A=2,所以 A 是锐角,且 =2,sin2A+cos2A=1, cos A a b 2 5 联立解得 sin A= ,再由正弦定理得 = ,代入数据解得 a=2 10. 5 sin A sin B 答案: 2 5 5 2 10 sin A =2 2. cos A

1 10.钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=________. 2

1 1 1 2 解析:S△ABC= AB· BCsin B= ×1× 2sin B= ,∴sin B= ,∴B=45°或 135°. 2 2 2 2 若 B=45°, 则由余弦定理得 AC=1, ∴△ABC 为直角三角形, 不符合题意, 因此 B=135°, 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2-2×1× 2× - 答案: 5 11.如图所示为起重机装置示意图, 支杆 BC=10 m, 吊杆 AC=15 m, 吊索 AB=5 19 m,起吊的货物与岸的距离 AD 为________ m. 解析:在△ABC 中,AC=15 m,AB=5 19 m,BC=10 m, 由余弦定理得 cos∠ACB AC2+BC2-AB2 = 2×AC×BC 152+102-?5 19?2 = 2×15×10 1 =- . 2 ∴sin∠ACB= 3 . 2

? ?

2? =5,∴AC= 5. 2?

又∠ACB+∠ACD=180°. ∴sin∠ACD=sin∠ACB= 3 . 2 3 15 3 = m. 2 2

在 Rt△ADC 中,AD=AC· sin∠ACD=15× 答案: 15 3 2

12.在△ABC 中,A=60°,最大边与最小边是方程 3x2-27x+32=0 的两个实根,那 么 BC 边的长为________. 解析:由已知可设最大边与最小边分别为 b,c , 则 b+c=9,b· c= 32 . 3

因为 A=60°,所以 BC 既不是最大边也不是最小边, 所以 BC2=b2+c2-2bccos 60° =b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=81-32=49, 即 BC=7. 答案:7 13.如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin

∠BAC=

2 2 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 2 2 ,且 AD⊥AC, 3

解析:因为 sin∠BAC=

π 2 2 ? 2 2 所以 sin? ?2+∠BAD?= 3 ,所以 cos∠BAD= 3 ,在△BAD 中,由余弦定理得, BD= AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD = 2 2 ?3 2?2+32-2×3 2×3× = 3. 3

答案: 3 14.某人在 C 点测得塔 AB 在南偏西 80°,仰角为 45°,沿南偏东 40°方向前进 10 米到 O,测得塔 A 仰角为 30°,则塔高为________米. 解析:画出示意图,如图所示,CO=10,∠OCD=40°,

∠BCD=80°,∠ACB=45°,∠AOB=30°, AB⊥平面 BCO, 令 AB=x,则 BC=x,BO= 3x, 在△BCO 中,由余弦定理得 ( 3x)2=x2+100-2x×10×cos(80°+40°), 整理得 x2-5x-50=0, 解得 x=10,x=-5(舍去),所以塔高为 10 米. 答案:10 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)在锐角△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2asin B= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. a b 解:(1)由 2asin B= 3b 及正弦定理 = , sin A sin B 得 sin A= 3 . 2

π 因为 A 是锐角,所以 A= . 3 (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 得 b2+c2-bc=36. 又 b+c=8,所以 bc= 28 . 3

1 由三角形面积公式 S= bcsin A,得 2 7 3 △ABC 的面积为 . 3 a2-b2 sin?A-B? 16.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,求证: 2 = . c sin C sin Acos B-cos Asin B 证明:右边= sin C = sin A sin B · cos B- · cos A sin C sin C

2 2 2 2 2 2 a a +c -b b b +c -a = c· -c · 2ac 2bc



a2+c2-b2 b2+c2-a2 a2-b2 - = 2 =左边, 2c2 2c2 c a2-b2 sin?A-B? = . c2 sin C

所以

17.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2 +c2+ 3bc. (1)求角 A 的大小; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值. 解:(1)由余弦定理得 cos A= b2+c2-a2 - 3bc 3 = =- . 2bc 2bc 2

5π 又 0<A<π,所以 A= . 6 1 (2)由(1)得 sin A= ,又由正弦定理及 a= 3得 2 1 1 asin B S= bcsin A= · · asin C=3sin Bsin C, 2 2 sin A 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C). 所以,当 B=C,即 B= π-A π = 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 2 12

18. (本小题满分 16 分)某观测站在城 A 南偏西 20°方向的 C 处, 由城 A 出发的一条公 路,走向是南偏东 40°,在 C 处测得公路距 C 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去, 走了 20 千米后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这人还要走多少千米可到达城

A? 解:如图所示, 设∠ACD=α,∠CDB=β. 在△CBD 中,由余弦定理得 cos β= = BD2+CD2-CB2 2BD· CD

202+212-312 1 =- , 7 2×20×21

4 3 ∴sin β= . 7 而 sin α=sin(β-60°) =sin βcos 60°-sin 60°cos β = 4 31 31 5 3 ·+ ·= . 7 2 2 7 14

AD 21 在△ACD 中, = , sin 60° sin α ∴AD= 21×sin α =15(千米). sin 60°

所以这人再走 15 千米就可到城 A. 19.(本小题满分 16 分)在△ABC 中,BC=6,点 D 在 BC 边上,且(2AC-AB)cos A= BCcos C. (1)求角 A 的大小; (2)若 AD 为△ABC 的中线,且 AC=2 3,求 AD 的长; (3)若 AD 为△ABC 的高,且 AD=3 3,求证:△ABC 为等边三角形. 解:(1)由(2AC-AB)cos A=BCcos C 及正弦定理,得 (2sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 1 得 2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,所以 cos A= .因为 2 0°<A<180°,所以 A=60°. BC AC (2)由正弦定理 = , sin∠BAC sin B 得 sin B= ACsin∠BAC 1 = . BC 2

因为 A+B<180°,所以 B=30°, 所以 C=90°. 因为 D 是 BC 的中点,所以 DC=3, 由勾股定理,得 AD= AC2+DC2= 21.

1 1 3 (3)证明:因为 AD· BC= AB· ACsin∠BAC,且 AD=3 3,BC=6,sin∠BAC= , 2 2 2 所以 AB· AC=36. 因为 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC, 所以 AB2+AC2=72,所以 AB=AC=6=BC, 故△ABC 为等边三角形. 20. (本小题满分 16 分)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 2c-a = . b (1)求 sin C 的值; sin A cos A-2cos C cos B

1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 a b c 解:(1)由正弦定理,设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B 所以 cos A-2cos C 2sin C-sin A = . cos B sin B

即(cos A-2cos C)· sin B=(2sin C-sin A)· cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin (B+C). sin C 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A.因此 =2. sin A (2)由 sin C =2 得 c=2a. sin A

1 1 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B= , b=2, 得 4=a2+4a2-4a2× .解得 a=1, 4 4 从而 c=2. 1 15 又因为 cos B= ,且 0<B<π,所以 sin B= . 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4


赞助商链接
更多相关文档:

...数学·必修5(苏教版)练习:第1章1.3正弦定理、余弦定...

2016-2017年《金版学案》数学·必修5(苏教版)练习:第1章1.3正弦定理余弦定理的应用 Word版含解析 - 数学学习资料 第1章 1.3 解三角形 正弦定理、余弦...

2017-2018学年北师大必修5数学《正弦定理与余弦定理》...

2017-2018学年北师大必修5数学正弦定理余弦定理》作业练习含试卷分析详解_数学_高中教育_教育专区。语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元...

...形13正弦定理余弦定理的应用一学案苏教版必修5(数学...

高中数学第一章解三角形13正弦定理余弦定理的应用一学案苏教版必修5(数学教案) - 1.3 正弦定理余弦定理的应用(一) 学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决...

...1.3 正弦定理、余弦定理的应用教案 苏教版必修5

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.3 正弦定理余弦定理的应用教案 苏教版必修5_数学_高中教育_教育专区。1 .3 正弦定理余弦定理的应用 (...

必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题

必修5_第一章_正弦定理余弦定理_知识点及典型例题_数学_高中教育_教育专区。正弦定理余弦定理 要点梳理 1.正弦定理 其中 R 是 a b c ? ? ? 2R sin ...

高中数学必修5第一章正弦定理、余弦定理单元测试卷

高中数学必修5第一章正弦定理余弦定理单元测试卷_数学_高中教育_教育专区。金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 正弦定理余弦定理单元测试卷一、选择题 1.在△...

...正弦定理、余弦定理的应用(2)》教案(苏教版必修5)

高中数学 1.3正弦定理余弦定理的应用(2)》教案(苏教版必修5) - 第 6 课时:§1.3 正弦定理余弦定理的应用(2) 【三维目标】 :一、知识与技能 1....

...形13正弦定理余弦定理的应用二学案苏教版必修5(数学...

高中数学第一章解三角形13正弦定理余弦定理的应用二学案苏教版必修5(数学教案) - 1.3 正弦定理余弦定理的应用(二) 学习目标 1.会运用测仰角(或俯角)解决...

...高二数学百所名校好题分项解析汇编(2018版)(必修5)(...

专题01 正弦定理余弦定理-高一高二数学百所名校好题分项解析汇编(2018版)(必修5)(原卷版)_数学_高中教育_教育专区。2017-2018 学年高一数学(必修 5)百所...

2018届高三理科数学一轮复习《三维设计》课时作业24 正...

2018届高三理科数学一轮复习《三维设计》课时作业24 正弦定理余弦定理 解析版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业(二十四) 正弦定理余弦定理 [练基础...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com