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江西省南昌二中2014届高三第十一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


江西省南昌二中 2014 届高三第十一次模拟考试数学(理)试题
一、选择题(题型注释) A. ?1? A. ? B. ??2? B. ? 1.设集合 A ? ??1, 0, 2? ,集合 B ? ? x x ? A且2 ? x ? A ,则 B ? ( C. ??1, ?2? ) D. 2.若复数 z 满足 (1 ? 2i ) z ? 3 ? i ,则复数 z 的虚部为(

?

?



D. ??1, 0?

?a ? 3.设等差数列 n 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.27 B.36 C.42 D.63 4.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )
A.5 5.若双曲线 B .6 C.

7 3

7 i 3

C.

7 5

7 i 5

) .

14 3

D.

19 3

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ,b ? 0 ? 的渐近线与圆 a 2 b2 2 . ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 相切,则双曲线的离心率为( )

2 2 3 A.2 B. 2 C. 3 D. 2 6.若下面框图所给的程序运行结果为 S=20,那么判断框中应填入的关于 k 的条件 是( )

A. k ? 9?

B. k ? 8?

C. k ? 8?

D. k ? 8?

7.已知 ?ABC 中, D是BC 边的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB 、 AC 于点 E 、 F ,若 AE ? ? AB , ) AF ? ? AC ,其中 ? ? 0, ? ? 0 ,则 ?? 的最小值是( 1 1 1 A.1 B. C. D. 2 3 4

?x ? y ? 0 ? 8.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ( a 为常数)表示 ?x ? a ?
的平面区域的面积是 9.那么实数 a 的值为( A. 3 2 ? 2 ) B. ?3 2 ? 2 C. ?5 D. 1 1 9. 已知 ? k ? 1 ,函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? k 的零点分别为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,函数 3 k 的零点分别为 x3 , x4 ? x3 ? x4 ? ,则 ? x4 ? x3 ? ? ? x2 ? x1 ? g ? x ? ? 2x ? 1 ? 2k ? 1 的最小值为( A.1 ) B. log 2 3 C. log 2 6 D.3

10.菱形 ABCD 的边长为

2 3 , ?ABC ? 600 ,沿对角线 AC 折成如图所示的四面体,二面角 B-AC-D 为 3
)

600 ,M 为 AC 的中点,P 在线段 DM 上,记 DP=x,PA+PB=y,则函数 y=f(x)的图象大致为(

y 2 x

y 2 x

y y 2 x 2

o A

1

o B
2

1

o

1 C

o D

1

x

二、填空题(题型注释) 11.已知 a ?

?

3 1 4 (2 x 2 ? x)dx ,则 ( ax ? ) 的展开式中 x 的系数为 0 2 x



12.某写字楼将排成一排的 6 个车位出租给 4 个公司,其中有两个公司各有两辆汽车,如果这两个公司要 求本公司的两个车位相邻,那么不同的分配方法共有________种. (用数字作答) 13.已知平面区域 ? ?

?? x, y ? 0 ? y ?

4 ? x 2 ,直线 l : y ? mx ? 2m 和曲线 C : y ? 4 ? x 2 有两个不同

?

的交点,直线 l 与曲线 C 围成的平面区域为 M ,向区域 ? 内随机投一点 A ,点 A 落在区域 M 内的概率为

?? ? 2 ? . P( M ) ,若 P( M ) ? ? ,1 ,则实数 m 的取值范围是 ? 2? ? ? 14. 空间中任意放置的棱长为 2 的正四面体 ABCD .下列命题正确的是_________.
(写出所有正确的命题的编号) ①正四面体 ABCD 的主视图面积可能是 2 ;

2 6 ; 3 ③正四面体 ABCD 的主视图面积可能是 3 ; ④正四面体 ABCD 的主视图面积可能是 2 ⑤正四面体 ABCD 的主视图面积可能是 4 .
②正四面体 ABCD 的主视图面积可能是

15 . (1) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2?) 中,曲线 ? (cos ? ? sin ? ) ? 2 与 ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 的交点的极坐标为________ (2) (不等式选讲选做题)对于任意 ? ? R, sin ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? a ? ______ 三、解答题(题型注释) 16.已知 {an } 为单调递增的等比数列,且 a 2 ? a5 ? 18 , a3 ? a 4 ? 32 , ?bn ? 是首项为 2,公差为 d 的等 差数列,其前 n 项和为 S n . (1)求数列 {an } 的通项公式;
2 (2)当且仅当 2 ? n ? 4 , n ? N * , S n ? 4 ? d ? log 2 a n 成立,求 d 的取值范围.

2 恒成立,则实数 a 的取值范围 a

17.如图,△ABC 中.角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c 满足 c=l, a 2 ? b 2 ? ab ? 1, 以 AB 为边向 △ABC 外作等边三角形△ABD. (1)求∠ACB 的大小; (2)设∠ABC= ? ,| CD |2 ? f (? ) .试求函数 f (? ) 的最大值及 f (? ) 取得最大值时的 ? 的值.

18.某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后有 L1 , L2 两条巷道通往作业 区(如下图), L1 巷道有 A1 , A2 , A3 三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是 点,被堵塞的概率分别为

1 ; L2 巷道有 B1 , B2 两个易堵塞 2

3 3 , . 4 5

(1)求 L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率; (2)若 L2 巷道中堵塞点个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 EX ,并按照"平均堵塞点少的巷道是较 好的抢险路线"的标准,请你帮助救援队选择一条抢险 路线,并说明理由.

AD CE 1 ? ? (如图 1).将 DB EA 2 △ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 2).
19.等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点,且满足 (1)求证 A1 D ? 平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所 成的角为

? ?若存在,求出 PB 的长,若不存在,请说明理由. 3

x2 y 2 20.如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的左、右焦点 a b 分别为 F1 , F2 ,其上顶点为 A. 已知 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形. (1)求椭圆 C 的方程; ( 2 ) 过 点 Q (?4, 0) 任 作 一 动 直 线 l 交 椭 圆 C 于 M , N 两 点 , 记
MQ ? ? ? QN .若在线段 MN 上取一点 R ,使得 MR ? ?? ? RN ,当 直线 l 运动时,点 R 在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.

21.已知函数

f ? x ? ? ax 2 ? 4ln ? x ? 1?

f ? x? (1)当 a ? 1 时,求 的单调区间; M ? m , f ? m?? P ?1 , 1? f ? x? m ? ? 2 , e ? 1? (2)已知点 和函数 图象上动点 ,对任意 ,直线 PM 倾斜角都是 a 钝角,求 的取值范围.

, a?R .

南昌二中 2014 届高三第十一次模拟考试试题 数学(理)参考答案

【解析】 试题分析:由题知, 2 x1 ? 1 ? k , 2 x 2 ? 1 ? k , 2 x3 ? 1 ?

? 2 x 2 ? x1 ?

1? k 3k ? 1 , 2 x 4 ? x3 ? 1? k k ?1

? 2( x 4 ? x3 ) ? ( x 2 ? x1 )

k k , 2 x4 ? 1 ? . 2k ? 1 2k ? 1 3k ? 1 4 1 ? ? ?3 ? 又 k ? [ ,1) 1? k 1? k 3

? ?3 ?

4 ? [3,??) ? x4 ? x3 ? x2 ? x1 ? [log 2 3,??) 故选 B. 1? k

考点:1、函数的零点;2、指数运算;3、函数的最值. 10.D 【 解 析 】





BM ? 1, AM ?

3 2 4 3 . MP ? 1 ? x, (0 ? x ? 1) ? AP ? ( ) ? (1 ? x) 2 ? x 2 ? 2 x ? , 3 3 3
2 x2 ? 2 x ? 1 .

由题意可得 ?BMP ? 600 . BP ? 12 ? (1 ? x) 2 ? 2(1 ? x) cos 600 ? 所以 y ?

x2 ? 2x ?

4 1 ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 .由于两个函数的对称轴分别为 x ? 1 或 x ? .所以 3 2

图象的走向为选项 D 所示. 【考点】1.立几中的线面关系.2.函数的图象近似判断.3.函数关系式的建立. 11. 150 12.24 13. [0,1] 14.① ② ③ ④ 【解析】对于四面体 ABCD ,如下图:

1 ? 2 ? 3= 3 ,③正确; 2 当光线平行于底面 BCD ,沿 CO 方向时,主视图为以 BD 为底,正四面体的高 AO 为高
当光线垂直于底面 BCD 时,主视图为 ?BCD ,其面积为

1 3 2 2 6 ,② 正确; ? 2 ? 22 ? (2 ? ) ? 2 3 3 当 光 线 平 行 于 底 面 BCD , 沿 CD 方 向 时 , 主 视 图 为 图 中 △ ABE , 则 其 面 积 为
的三角形,则其面积为

1 3 3 2 ? 2? ? 22 ? (2 ? ) ? 2 ,①正确; 2 2 3
将正四面体放入正方体中, 如上右图, 光线垂直于正方体正对我们的面时, 主视图是正方形, 其面积为 2 ? 2 ? 2 ,并且此时主视图面积最大,故④ 正确,⑤ 不正确. 【考点】1.几何体的三视图;2.几何图形的面积. 15.①(2, ) ②?? ?,0 ? ? ?1,2? (2)因为 sin ? ? [-1,1],所以对于任意 ? ? R, sin ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? a ? 即 5-2 sin ? ? a ?

? 2

2 恒成立, a

是 ?? ?,0 ? ? ?1,2? 。 考点: 本题主要考查简单曲线的极坐标方程, 绝对值不等式的性质, 三角函数的图象和性质。 点评:中档题, (2)是恒成立问题,这类题目的一般解法是转化成求函数的最值问题,本题 转化成求 5-2 sin ? 最小值,是问题易于得解。 16. (1) a n ? a 2 ? q n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 n ?1 ; (2) d 的取值范围为 (?? , ? 3) 【解析】 试题分析: (1) {an } 为单调递增的等比数列,说明 q ? 1 ,又根据 a3 ? a 4 ? a 2 ? a5 ? 32 ,

2 2 ,而 5-2 sin ? 最小值为 3,所以 3 ? a ? ,解得,实数 a 的取值范围 a a

a 2 ? a5 ? 18 , 列出关于 a 2 , a5 的方程组,解出 a 2 , a5 ,最后根据等比数列的性质,求出 {an } ( 2 ) 由 题 意 ?bn ? 是 首 项 为 2 , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 写 出 S n 的 表 达 式 , 代 入
2 2 ,整理得 d ? n ? (4 ? 5d ) ? n ? 8 ? 4d ? 0 ,按照当且仅当 2 ? n ? 4 , S n ? 4 ? d ? log 2 a n

n ? N * ,列出不等式组,求出 d 的取值范围. 试题解析: (1)因为 {an } 为等比数列,所以 a3 ? a 4 ? a 2 ? a5 ? 32

所以 ?

?a 2 ? a5 ? 18 ?a 2 ? a5 ? 32
2

所以 a 2 , a5 为方程 x ? 18 x ? 32 ? 0 的两根; 又因为 {an } 为递增的等比数列, 所以 a n ? a 2 ? q n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 n ?1 ; (2)由题意可知: bn ? 2 ? (n ? 1) d , S n ? 2n ? 由已知可得: 2n ? 所以 所以 a 2 ? 2 , a5 ? 16 , q 3 ? 8 从而 q ? 2 ,

(n ? 1) ? n d ? 4 ? (2n ? 2) d , 2 d ? n 2 ? (4 ? 5d ) ? n ? 8 ? 4d ? 0 ,
*

(n ? 1) ? n d, 2

当且仅当 2 ? n ? 4 ,且 n ? N 时,上式成立,
2 设 f (n) ? d ? n ? (4 ? 5d ) ? n ? 8 ? 4d ,则 d ? 0 , 所以

? f (1) ? 0 ? f (2) ? 0 ?d ? 0 ? ?? ? d ? ?3 , ? f ( 4 ) ? 0 d ? ? 3 ? ? ? ? f (5) ? 0 所以 d 的取值范围为 (?? , ? 3) .
考点:等比数列的性质,等差数列的前 n 项和公式,整系数二次函数的性质. 17. (1)

? ? ; (2)当 ? ? 时, f ?? ? 取得最大值 3. 3 3

【解析】 试题分析:本题主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用、倍角公式、两角和与差的 正弦公式、三角函数最值等数学知识,考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算 能力.第一问,利用余弦定理直接求 cos C ,在三角形内解角 C 的大小;第二问,在三角形 BCD 中利用余弦定理先得到 f (? ) 的表达式也就是 | CD | ,再在三角形 ABC 中利用正弦定 理得到 a 的表达式,代入到 f (? ) 中,利用倍角公式、两角和的正弦公式化简 f (? ) ,由题
2

? ? ,求函数 f (? ) 的最大值. ? a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? 1 1 试题解析:⑴ 在 ?ABC 中, cos C ? ? ? 2ab 2ab 2
意, ? ? ? 0, ∠ ACB ? ∴

? ?

2? 3

?

? 2? ? c ? sin ? ?? ? ? 3 ? ? 2 sin ? 2? ? ? ? ⑵ 由正弦定理知 a ? ? ? ? 3 ? 3 ? sin 3 ?? ? 2 ∴ f ?? ? ? a ? 1 ? 2a ? cos ? ? ? ? ?3 ? 4 2 ?? ? ?? ? ?? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? 3 3 ?3 ? ?3 ? ?3 ?

3

4分

6分

2? ? 2? ?? 2 ? 2? ? 1 ? cos ? ? 2? ? ? ? sin ? ? 2? ? ? 1 ? 3? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 5 2? ? 2? ? ? 2? ? ? 5 4 ? 5? ? ? ? ? 3 sin ? ? 2? ? ? cos ? ? 2? ? ? ? ? sin ? ? 2? ? 10 分 3 3? ? 3 ? ? 3 ?? 3 3 ? 6 ? ? ? 2? ? 由于 ? ? ? 0, 12 分 ? ,故仅当 ? ? 时, f ?? ? 取得最大值 3. 3 ? 3 ? ?
考点:1.余弦定理;2.正弦定理;3.倍角公式;4.两角和的正弦公式;5.三角函数最值.

1 L 18. (1)三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率为 2 ; (2)选择 2 巷道为抢险路线为好,
该巷道平均堵塞点少. 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) L1 巷 道 中 , 三 个 易 堵 塞 点 最 多 有 一 个 被 堵 塞 的 概 率

1 1 1 1 1 P( A) ? C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? ; 2 2 2 2 (2)若 L2 巷道中堵塞点个数为 X ,先写出 X 的分布列,根据分布列求出数学期望 EX ,
同样的方法求出 EY ,而 EX ? EY ,所以选择 L2 巷道为抢险路线为好. 试题解析: (1)设 " L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞 " 为事件 A
0 1 则 P ( A) ? C3 ? ( )3 ? C3 ?

1 2

1 1 2 1 ?( ) ? 2 2 2 3 3 3 3 9 P( X ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 4 5 4 5 20

(2)依题意, X 的可能取值为 0,1,2

3 3 1 P( X ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 5 10 3 3 9 P( X ? 2) ? ? ? 4 5 20 所以,随机变量 X 的分布列为 0 1 2 X 1 9 9 P 10 20 20 EX ? 0 ?

1 9 9 27 ? 1? ? 2 ? ? 10 20 20 20 (方法一)设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y ,则 Y 的可能取值为 0,1,2,3 1 1 1 1 3 1 P(Y ? 0) ? C30 ? ( )3 ? P(Y ? 1) ? C3 ? ? ( )2 ? 2 8 2 2 8 1 1 3 1 1 3 P(Y ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? P(Y ? 3) ? C3 ? ( )3 ? 2 2 8 2 8 所以,随机变量 Y 的分布列为 0 1 2 3 Y 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 3 1 3 EY ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 8 8 8 8 2
因为 EX ? EY ,所以选择 L2 巷道为抢险路线为好.

(方法二)设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y ,则随机变量 Y ~ B (3, ) ,所以, EY ? 3 ? 因为 EX ? EY ,所以选择 L2 巷道为抢险路线为好. 考点:分布列、数学期望. 19.(1)参考解析; (2) PB ? 【解析】

1 2

1 3 ? 2 2

5 2

AD CE 1 ? ? EA 2 ,等边三角形 ABC 的边长为 3.所以可得 AD ? DE ,所以 试题分析:(1) 由 DB A1 ? DE ? B AD ? DE
在三角形 ADE 翻折过程中 始终成立.又由于 成直二面角.由平面与平 面垂直的性质定理可得 1 平面 BCED . (2) 由于平面 A1 BD ? 平面 BCED.假设存在点 P, 过点 P 作 BD 的垂线, 垂足为 H.则 ?PA1 H 为所求的角.假设 BP 的长为 x,根据题意分别求出相应的线段 A1 H , HP .即可得结论. (1) 因为等边△ ABC 的边长为 3,且 所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60 ,
2 2

AD ?

AD CE 1 ? ? , DB EA 2

由余弦定理得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60 ? 3 . 因为 AD ? DE ? AE , 所以 AD ? DE . 折叠后有 A1 D ? DE
2 2 2

(4 分)

A1

D E H B C P

因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A1 DE ? 平面 BCED 又平面 A1 DE 平面 BCED ? DE , A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , (6 分) 所以 A1 D ? 平面 BCED (2)由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角 坐标系 D ? xyz 如图

z

A1

D E H B x 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a 所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 因为 ED ? 平面 A1 BD , P C y

?

?

?

? ?

? ?

(8 分)

所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 , 所以 sin 60 ?

?

PA1 DE PA1 DE
? 3 , 2
(10 分)

4a ? 4a ? 5 ? 3 5 解得 a ? 4 5 即 PB ? 2a ? ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意 2
2

?

3a

所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1 BD 所 成 的 角 为 60 , 此 时 PB ? (12 分) 考点:1.线面垂直.2.图形的翻折问题.3.线面角.4.空间想象力.

5 2

x2 y 2 ? ? 1; 20. (1)椭圆 C 的方程为 (2)定直线的方程为 x ? ?1 . 4 3
【解析】 试题分析: (1) 因为 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形, 所以 c ? 1, 的方程为

a ? 2, b ? 3 ,椭圆 C

x2 y 2 ? ? 1; (2)设直线方程为 y ? k ( x ? 4) ,与椭圆方程联立,结合韦达定理, 4 3 x ?4 表示出 ? ? ? 1 .; x2 ? 4
设点 R 的坐标为 ( x0 , y0 ), 则由 MR ? ?? ? RN ,解得 x0 ? ?1 ,故点 R 在定直线 x ? ?1 上.

试题解析: (1)因为 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形,所以 c ? 1, 椭圆 C 的方程为

a ? 2, b ? 3 ,所以,

( 2 ) 由 题 意 知 , 直 线 MN 的 斜 率 必 存 在 , 设 其 方 程 为 y ? k ( x ? 4) . 并 设

x y ? ?1 4 3

2

2

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 , 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0, 3 ? y ? k ( x ? 4) ?
则 ? ? 144(1 ? 4k ) ? 0,
2

x1 ? x2 ?

?32k 2 , 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?
x1 ? 4 . x2 ? 4

64k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2

由 MQ ? ? ? QN 得 ?4 ? x1 ? ? ( x2 ? 4), 故 ? ? ?

设点 R 的坐标为 ( x0 , y0 ), 则由 MR ? ?? ? RN 得 x0 ? x1 ? ?? ( x2 ? x0 ) 解得 x0 ?

x1 ? ? x2 ? 1? ?

x1 ?

x1 ? 4 ?24 ? x2 x2 ? 4 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) 3 ? 4k 2 ? ? ? ?1 x1 ? 4 24 ( x ? x ) ? 8 1 2 1? 3 ? 4k 2 x2 ? 4

故点 R 在定直

线 x ? ?1 上. 考点:椭圆的性质、设而不求思想、定直线问题. 21. (1)单调递增区间为 ? 2, ?? ? ,单调递减区间为 ?1, 2 ? ; (2) a ?

1 4

【解析】 试题分析: (1)先求导,再令导数等于 0,解导数大于 0 得函数的增区间,解导数小于 0 得 函数的减区间。 (2)可将问题转化为在 ? 2, c ? 1? 上 f ? x ? ? 1 恒成立问题,即在 ? 2, c ? 1? 上

2 ? ax 2 ? ax ? 2 ? 4 f ? x ?max ? 1 。先求导 f ' ? x ? ? 2ax ? ? ,因为 x ? ? 2, c ? 1? ,故可只 x ?1 x ?1 2 讨论分子的正负问题,不妨令 g ? x ? ? ax ? ax ? 2 ,讨论 g ? x ? 在区间 ? 2, c ? 1? 上的正负问 题,同时注意对 a 的讨论。根据导数正得增区间导数负得减区间,再根据函数的单调性求函
数的最值。
2 解:⑴ 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 4ln( x ? 1) ,定义域为 (1 ,? ?) , 4 2 x 2 ? 2 x ? 4 2( x ? 1)( x ? 2) f ?( x) ? 2 x ? ? ? x ?1 x ?1 x ?1

所以当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递增区间为 (2 ,? ?) ,单调递减区间为 (1 ,2) . ⑵ 因为对任意 m ? [2 ,e ? 1] ,直线 PM 的倾斜角都是钝角,
f ( m) ? 1 ?0 m ? [2 , e ? 1] 所以对任意 ,直线 PM 的斜率小于 0,即 m ? 1 , f ( m) ? 1 , 即 f ( x) 在区间 [2 ,c ? 1] 上的最大值小于 1,

f ?( x) ? 2ax ?

4 2(ax 2 ? ax ? 2) ? x ?1 x ?1 , x ? (1 ,? ?) .
f ( x)max ? f (2) ? 0 ? 1 , 显然成立,

2 令 g ( x) ? ax ? ax ? 2 ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?4ln( x ? 1) 在 [2 ,e ? 1] 上单调递减,

所以 a ? 0 . ② 当 a ? 0 时,二次函数 g ( x) 的图象开口向下, 且 g (0) ? ?2 , g (1) ? ?2 , ?x ? (1 ,? ?) , g ( x) ? 0 ,故 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (1 ,? ?) 上单调递减, 故 f ( x) 在 [2 ,e ? 1] 上单调递减, f ( x) max ? f (2) ? 4a ? 1 ,显然成立,所以 a ? 0 . g x g 0 ? ?2 g ?1? ? ?2 ⑶ 当 a ? 0 时,二次函数 ? ? 的图象开口向上,且 ? ? , . ?x0 ? ?1 ,? ? ? x ? ?1 ,x0 ? g ? x? ? 0 x ? ? x0 ,? ? ? g ? x? ? 0 所以 ,当 时, . 当 时, . f ? x? 1 , ? ? ? ? 内先递减再递增. 所以 在区间 f ? x? 2 ,e ? 1? f ? 2 ? f ? e ? 1? 故 在区间 ? 上的最大值只能是 或 . ? ? ? f ? 2 ? ? 1, ?4a ? 1, 1 ? ? 2 0?a? f ? e ? 1? ? 1. a ? e ? 1? ? 4 ? 1. ? ? ? ? 4. 所以 即 所以 1 a? 4. 综上 考点:1 用导数研究函数的性质;2 分类讨论思想。


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