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专转本数学模拟试题与解析6

江苏省 2012 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷(六) 高等数学

注意事项: 1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。 2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上,写在草稿纸上无效。 3.本试卷五大题 24 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的,请把所选项前得字母填在题后的括号内) 。 1、 当 x ? 0 时, ax ? bx ? c ? cos x 是比 x 高阶的无穷小,则常数 a, b, c 的值为(
2

2



A.

1 a ? , b ? 0, c ? 1 2 1 2

B. a ? ?

1 , b ? 0, c ? 0 2

C. a ? ? , b ? 0, c ? 1

D. a ?

1 , b ? 0, c ? 0 2
) D. 4 条 ) D. ?

2、曲线 y ? A. 1 条 3、设

x2 ?1 的渐近线共有( x 2 ? 3x ? 2
B. 2 条
1 ? x

C. 3 条

? f ( x )e
1 x2

dx ? e

1 ? x

? c ,则 f ?( x) ? (
C.

A. 4、设 e

B. ?

1 x2

2 x3
?x ?0

2 x3

?2 x

?2 x

是 f ( x) 的一个原函数,则 lim
?2 x

f ( x ? 2?x) ? f ( x) ?( ?x
C. 8e
?2 x

A. ?4e

B. 4e

?2 x

D. ?8e )

5、交换二重积分

?

1

0

dy ?

0

2 y ?2

f ( x, y)dx 的积分次序得(
B.

A.

?

0

?2

dx ?

1?

x 2

0

f ( x, y)dy

?

0

?2

dx ?

0 x 2

1?

f ( x, y )dy

C.

?

0

?2

dx ?

1?

x 2

0

f ( x, y )dy

D.

?

0

?2

dx ?

0 x 2

1?

f ( x, y )dy

1

6、下列级数中条件收敛的是( A.

) C.

(?1) n n ? 3n n ?1
?

B.

?
n ?1

?

(?1)n n n ?1
2

? (?1)n sin
n ?1

?

1 n

D.

? (?1) (
n n ?1

?

n3 ? 1 ? n3 ? 1)

二、填空题
1 ? ?(cos x) x2 7、设函数 f ( x) ? ? ? a ?

x ? 0 在 x ? 0 处连续,则 a ? x?0

ex ? a 8、设 x ? 1 是函数 f ( x) ? 2 的可去间断点,则 a ? x ? x?2
9、设函数 ? ( x) ?

?

x2

1

e?t sin t dt ,则 ? ?( x) ?

2

10、设 a ? 5 , b ? 1 , a ? b ? ?3 ,则 a ? b ? 11、设 z ? ln( x ?

y ) ,则 dz 2x

(1,0)

?

12、设 D 是由 x ? y ? 0 , x ? y ? 0 及 x ? 1 所围成的平面区域, 则

?? (2 ? x
D

2

sin y)dxdy ?

三、计算题 13、求极限 lim
x?

?

2

ln sin x (? ? 2 x)2

d2y 14、设函数 y ? y( x) 由方程 y ? 1 ? xe 所确定的函数,求 dx 2
y

2

15、求不定积分 (arcsin x)2 dx

?

16、计算定积分

?

1

?1

x dx 5 ? 4x

3

17、已知平面 ? 过点 M (1, 2, ?1) 及直线 l1 :

x ?3 y ?4 z ? ? ,求过点 (3, 2,1) 平行于平面 2 ?1 3

? x ? 3 ? 2t ? ? ,又与直线 l2 : ? y ? 4 ? 3t 垂直的直线方程。 ? z ?t ?

18、设 z ? xyf ( x ? 2 y, y ? 2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求

?2 z ?x?y

19、计算二重积分

?? x
D

2

xy dxdy ,其中 D ? ? y2
4

?? x, y ? y ? x,1 ? x

2

? y 2 ? 4, x ? 0

?

20、已知二阶常系数线性齐次方程 y?? ? ay? ? by ? 0 的通解为 y ? (c1 ? c2 x)e x ,求微分方程

y??? a y?? b y ? 满足条件 x y(0) ? 2, y?(0) ? 0 的特解。

四、证明题 21、设 ? 是一个常数,且 0 ? ? ? 1 ,证明:对任意的 x ? 0 ,有

1

?

1 x? ? (1 ? ) ? x

?

22、 设函数 f ( x) 在 x ? 0 的某邻域内有定义, 且 f (0) ? 0 ,lim
x ?0

1 ? cos x x(e ? 1)
x2

f ( x) ?

1 , 证明: 2

f ( x) 在 x ? 0 处可导,且 f ?(0) ? 1
5

五、综合题 23、设抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 过点 (0, 0) 点,当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 ,又已知它和直线

x ? 1, y ? 0 所围成的图形面积是
积最小。

1 ,求 a, b, c 的值,使该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体 2

24、求满足下列条件的最低次多项式:当 x ? 1, x ? 3 时,分别取得极值 6 和 3 。

6

江苏省 2012 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析(六) 高等数学

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的,请把所选项前得字母填在题后的括号内) 。 2、 当 x ? 0 时, ax ? bx ? c ? cos x 是比 x 高阶的无穷小,则常数 a, b, c 的值为(
2

2



B.

1 a ? , b ? 0, c ? 1 2 1 2

B. a ? ?

1 , b ? 0, c ? 0 2

C. a ? ? , b ? 0, c ? 1

D. a ?

1 , b ? 0, c ? 0 2

解析:由题意可得, lim

ax 2 ? bx ? c ? cos x ? 0 从而可推出分子 ax2 ? bx ? c ? cos x 2 x ?0 x

该题中有三个待定的未知数,如何求解呢? 三个未知数,必须利用三个等量关系列出方程,解出未知数。这就需要熟悉无穷小量阶 的比较理论和罗比达法则。 因为 lim

ax 2 ? bx ? c ? cos x ?0 x ?0 x2
2

从而该极限的分子也必定是无穷小量。

ax ? bx ? c ? cos x) ? 0 ,由此可得 c ? 1 从而 lim( x ?0
再使用罗比达法则可得 lim

2ax ? b ? sin x ? 0, x ?0 2x
x ?0

因为分母为无穷小量,故 lim(2ax ? b ? sin x) ? 0 ,由此可得 b ? 0

对 lim

2ax ? b ? sin x ? 0 继续使用罗比达法则, x ?0 2x 2a ? cos x 1 ? 0 ,由此解得 a ? ? 2 2

可得 lim
x ?0

本题答案选择(C) 2、曲线 y ?

x2 ?1 的渐近线共有( x 2 ? 3x ? 2



7

A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 解析:渐近线有三种,水平,铅直和斜渐近线

f ( x) ? A ,表明 y ? f ( x) 有水平渐近线 y ? A 若 lim x ??

lim f ( x) ? ? ,表明 y ? f ( x) 有铅直渐近线 x ? x0 若x ?x
0

若 lim x ??

f ( x) ? k 存在,且 lim[ f ( x) ? kx] ? b 表明 y ? f ( x) 有斜渐近线 y ? kx ? b x ?? x
x2 ?1 ( x ? 1)( x ? 1) ? 2 x ? 3x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2)

因为 y ? f ( x) ?

lim f ( x) ? 1, 从而 y ? 1是水平渐近线。 x ??
lim f ( x) ? ? ,从而 x ? 3 是铅直渐近线。
x ?2

lim f ( x) ? ?2 ,从而 x ? 1 不是渐进线。
x ?1

因为 lim x ??

f ( x) ? 0 ,从而没有斜渐近线。 x

该题有两条渐近线 答案选 B

3、设

? f ( x )e
1 x2

?

1 x

dx ? e

?

1 x

? c ,则 f ?( x) ? (
C.

) D. ?

A.

B. ?

1 x2

2 x3

2 x3

解析:本题考察导数与积分的关系 对

? f ( x )e

?

1 x

dx ? e

?

1 x

? c 两边关于 x 求导,可得 f ( x)e

?

1 x

?e (

?

1 x

1 ) x2

解得: f ( x) ?

1 x2

两边关于 x 再求导可得 f ?( x) ? ?

2 x3

4、设 e

?2 x

是 f ( x) 的一个原函数,则 lim
?2 x

?x ?0

f ( x ? 2?x) ? f ( x) ?( ?x
C. 8e
?2 x


?2 x

A. ?4e

B. 4e

?2 x

D. ?8e

解析:该题考察导数定义 f ?( x) ? lim h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) h
8

式子当中的 h 应当理解为中间变量,看成文字。

f ?( x) ? lim
解得 lim

( ?2 ?x )?0

f [ x ? (?2?x)] ? f ( x) (?2?x)

?x ?0

f ( x ? 2?x) ? f ( x) ? ?2 f ?( x) ? 4e?2 x ?x

5、交换二重积分

?

1

0

dy ?

0

2 y ?2

f ( x, y)dx 的积分次序得(
B.



A.

?

0

?2

dx ?

1?

x 2

0

f ( x, y)dy

?

0

?2

dx ?

0 x 2

1?

f ( x, y )dy

C.

?

0

?2

dx ?

1?

x 2

0

f ( x, y )dy

D.

?

0

?2

dx ?

0 x 2

1?

f ( x, y )dy

? ?2 ? x ? 0 ? 0 ? y ?1 ? 解析:写出积分区域 ? ,转化为 x 型积分区域为 ? 1 0 ? y ? x ?1 ?2 y ? 2 ? x ? 0 ? ? 2
从而原积分转化为 答案选择(A) 6、下列级数中条件收敛的是( ) C.

?

0

?2

dx ?

1?

x 2

0

f ( x, y)dy

(?1) n n A. ? 3n n ?1
?

B.

?
n ?1

?

(?1)n n n ?1
2

? (?1)
n ?1

?

n

sin

1 n

D.

? (?1) (
n n ?1

?

n3 ? 1 ? n3 ? 1)

解析:下面的四个级数都是交错级数,需要判断何时条件收敛,需要判断哪些级数绝对 发散;

? un ? ?
n ?1
?

?

?

n ?1

? un ?1 1 (?1)n n n ? ? ,原级数绝对收敛 ,正项级数比式判别法 lim ? n n n ?? u 3 3 n ?1 3 n

?
n ?1
? n ?1

(?1) n n n2 ? 1
? n

的通项 lim un ? lim
n ?? n ??

(?1)n n n2 ? 1

? 1 ? 0 ,不符合级数收敛必要条件;

?u

? ? (?1)n sin
n ?1

1 ? 1 ? 1 ?? sin ~ ? ,原级数不绝对收敛; n n?1 n n?1 n

由莱布尼兹判别法知级数

? (?1)
n ?1

?

n

1 (C)正确 sin 收敛。 n

9

? un ? ? (?1)n ( n3 ? 1 ? n3 ? 1) ??
n ?1 n ?1 n ?1

?

?

?

2 n ?1 ? n ?1
3 3

~?
n ?1

?

2 n
3 2

,级数发散;

二、填空题
1 ? ?(cos x) x2 7、设函数 f ( x) ? ? ? a ?

x ? 0 在 x ? 0 处连续,则 a ? x?0
x ?0

解析:函数在 x ? 0 处连续,等价于 lim f ( x) ? f (0) ,即
1 1 1 cos x ?1 cos x ?1 x 2 ? 1 2

lim(cos x)
x ?0

x2

? a ; lim(cos x)
x ?0

x2

? lim[1 ? (cos x ? 1)]
x ?0

?e

8、设 x ? 1 是函数 f ( x) ?

ex ? a 的可去间断点,则 a ? x2 ? x ? 2 ex ? a 的可去间断点, x2 ? x ? 2

解析: x ? 1 是函数 f ( x) ?

说明 lim f ( x) ? lim
x ?1 x ?1

ex ? a ex ? a 当中分子分母皆为无穷小量,且该极限 ? lim x 2 ? x ? 2 x?1 ( x ? 2)( x ? 1)
x

还要存在,故有 lim(e ? a ) ? 0 ,得到 a ? e 。
x ?1

进一步地,可求得 lim

ex ? e e(e x ?1 ? 1) e( x ? 1) e ? lim ? lim ? x ?1 ( x ? 2)( x ? 1) x ?1 ( x ? 2)( x ? 1) x ?1 ( x ? 2)( x ? 1) 3
x2

9、设函数 ? ( x) ?

?

1

e?t sin t dt ,则 ? ?( x) ?

2

解析:变上限函数的求导公式,对于很多同学可能会觉得不容易记牢 在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆

?

b( x)

a( x)

f (t )dt ? F (t )

b( x) a( x)

? F [b( x)] ? F [a( x)]

(?

b( x)

a( x)

f (t )dt )? ? ( F[b( x)] ? F[a( x)])? ? f (b( x))b?( x) ? f (a( x))a?( x)
x2
2 4 4

? ?( x) ? ( ? e?t sin t dt )? ? e? x sin x 2 ( x 2 )? ? 2 xe? x sin x 2
1

10、设 a ? 5 , b ? 1 , a ? b ? ?3 ,则 a ? b ? 解析: a ? b ? a b cos ? ? 5 ?1? cos? ? ?3 ,解得 cos ? ? ? ,则
10

3 5

sin ? ?

4 (两向量之间的夹角介于 0 与 ? 之间,从而正弦值为正) 5
4 ?4 5

a ? b ? a b sin ? ? 5 ?1?

11、设 z ? ln( x ?

y ) ,则 dz 2x

(1,0)

?

解析: dz ?

?z ?z dx ? dy ; ?x ?y

y x? 2x ?z 1 y ( x ? )?y (1,0) ? y ?y 2x x? 2x 1 dz (1,2) ? dx ? dy 2

?z ?x

(1,0)

?

1

(x ?

y )?x 2x

(1,0)

?

2x y (1 ? 2 ) 2 2x ? y 2x 2x 1 ( ) 2 2x ? y 2x

(1,0)

?1



(1,0)

?

(1,0)

?

1 2

12、设 D 是由 x ? y ? 0 , x ? y ? 0 及 x ? 1 所围成的平面区域, 则

?? (2 ? x
D

2

sin y)dxdy ?

解析: 该题的区域是关于 x 轴对称的区域,在对称的区间内找一对对称点 ( x, y ) 和

( x, ? y) ,函数 f ( x, y) ? x2 sin y , f ( x, ? y) ? x2 sin(? y) ? ? x 2 sin y
从而

?? x
D

2

sin ydxdy ? 0 ,原积分等于 ?? 2dxdy ? 2SD ? 2
D

三、计算题 13、求极限 lim
x?

?

2

ln sin x (? ? 2 x)2 cos x cos x 1 ? lim lim ?4(? ? 2 x)sin x x?? ?4(? ? 2 x) x?? sin x
2 2

解析:原式 ? lim ?
x? 2

? lim
x?

?

2

cos x ? sin x 1 ? lim ?? ? ?4(? ? 2 x) x? 8 8
2

11

14、设函数 y ? y( x) 由方程 y ? 1 ? xe y 所确定的函数,求 解析:对方程 y ? 1 ? xe y 所两边关于 x 求导,可得

d2y dx 2

y? ? e y ? xe y y?
对上式两边关于 x 再求导,可得
y y ?? x ?y y? ?? ey y?? e y e ?y ? y

x e? ? y

整理可得

y?? ?

2e2 y ? xe3 y (1 ? xe y )3

15、求不定积分 (arcsin x)2 dx 解析:该题可直接使用分布积分,但是反三角函数有时积分比较繁琐,为此,可使用换元法 将反三角函数转换为三角函数处理 分设 t ? arcsin x ,则 x ? sin t ,原积分转化为

?

? (arcsin x)

2

dx ? ? t 2 d sin t ? t 2 sin t ? ? sin tdt 2 ? t 2 sin t ? 2? t sin tdt

? t 2 sin t ? 2? td cos t ? t 2 sin t ? 2[t cos t ? ? cos tdt ] ? t 2 sin t ? 2? td cos t ? t 2 sin t ? 2[t cos t ? sin t ] ? c
换元可得, I ? x(arcsin x)2 ? 2[ 1 ? x 2 arcsin x ? x] ? c

16、计算定积分

?

1

?1

x dx 5 ? 4x

解析:令 5 ? 4 x ? t , x ?

1 1 (5 ? t 2 ) ,则 dx ? ? tdt ,原积分可转化为 4 2

(5 ? t 2 ) 1 1 3 1 I ?? (? t )dt ? ? (5 ? t 2 )dt ? 3 1 4t 2 8 6
1

12

17、已知平面 ? 过点 M (1, 2, ?1) 及直线 l1 :

x ?3 y ?4 z ? ? ,求过点 (3, 2,1) 平行于平面 2 ?1 3

? x ? 3 ? 2t ? ? ,又与直线 l2 : ? y ? 4 ? 3t 垂直的直线方程。 ? z ?t ?
解析:要求直线方程,就要求直线的方向向量和直线上面的一个定点 设所求直线为 L ,显然,根据题意,直线 L 在过点 (3, 2,1) 平行于平面 ? 的平面内,从 而需求该平面的法向量, 法向量也即平面 ? 的法向量, 在平面内的直线 l1 :

x ?3 y ?4 z ? ? 2 ?1 3

上任取两点,不妨取 (3, 4,0) 和 (5,3,3) 两点,由此可得平面 ? 的两个向量

(2, 2,1) 和 (4,1, 4) ,则
i j k 2 1 2 1 2 2 n? ? 2 2 1 ? i? j? k ? 7i ? 4 j ? 6k 1 4 4 4 4 1 4 1 4
所求直线 L 的法向量垂直于 n? ,还与直线 l2 垂直,所以直线 L 的方向向量为

i j Sl ? 7 ?4 2 ?3

k ?4 ?6 ? ?3 1

?6 i 1

7 ?6 7 ? 4 ? j ? k 2 1 2? 3

? 2? 2i

1 ? 9j

? 13 k

直线 L 过点 M (1, 2, ?1) ,从而所求直线为

x ? 3 y ? 2 z ?1 ? ? 22 19 13

18、设 z ? xyf ( x ? 2 y, y ? 2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 解析:该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。

?2 z ?x?y

?z ? yf ? xyf1?( x ? 2 y )?x ? xyf 2?( y ? 2 x)?x ? yf ? xyf1?? 2 xyf 2? ?x
?2 z ? ( yf ? xyf1?? 2 xyf 2?)?y ? f ? y( f )?y ? x( yf1?)?y ? 2 x( yf 2?)?y ?x?y
?y ? ?? ? f ? y[ f1? ( ? 2? ) f? ]x f ? [1 ? y f ?(1 ) x ] f2 y f ? ?y2 ( 2 ? 2[ ) ]

? ( ?2 ) ? 2f ? ] ? x [1?f ? y(1?? ? f ?y [ 1f f ( ? 2) ? 1?? f2 )? ] x 2 2?f[ ? y 2?? ( f ?( ? 2 )2?? f2 1 1
13

)]

?? ? 5xyf12 ?? ? 2 xyf 22 ?? = f ? ( x ? 2 y) f1?? ( y ? 2 x) f 2? ? 2 xyf11
说明:解这类题目,需要写清中间步骤,如果有部分小错,但是中间步骤正确,仍有很 高的得分率。

19、计算二重积分

?? x
D

2

xy dxdy ,其中 D ? ? y2

?? x, y ? y ? x,1 ? x

2

? y 2 ? 4, x ? 0

?

? ?? ? ?? ? 2 ?4 解析:该题适合使用极坐标,积分区域为 ? 0 ? r ? 2 ?
? 2 2 r cos ? sin ? xy 3 2 dxdy ? d ? rdr ? ? 2 2 2 ?? ? ? 0 x ?y r 8 4 D

20、已知二阶常系数线性齐次方程 y?? ? ay? ? by ? 0 的通解为 y ? (c1 ? c2 x)e x ,求微分方程

y(0) ? 2, y?(0) ? 0 的特解。 y??? a y?? b y ? 满足条件 x
解:方程 y?? ? ay? ? by ? 0 的通解为 y ? (c1 ? c2 x)e x 解说明方程有两个相同的特征根 ?1 ? ?2 ? 1 ,从而特征方程为 (? ? 1)2 ? 0 即 ? ? 2? ? 1 ? 0 ,故原方程为 y?? ? 2 y? ? y ? 0
2

方程 y?? ? 2 y? ? y ? x 的特解可设为 y* ? x0e0 x (ax ? b) ,代入方程可解得 y* ? x ? 2 对应齐次方程的通解为 y ? (c1 ? c2 x)e ,从而非齐次方程的通解为
x

y ? (c1 ? c2 x)e x ? x ? 2 ,由初始条件 y(0) ? 2, y?(0) ? 0
x 可解得 c1 ? 0, c2 ? ?1 ,解得特解为 y ? ? xe ? x ? 2

四、证明题 21、设 ? 是一个常数,且 0 ? ? ? 1 ,证明:对任意的 x ? 0 ,有

1

?

1 x? ? (1 ? ) ? x

?

证明:欲证原不等式成立,只需要证明

1

?

1 x? ? (1 ? ) ? x ? 0

?

设 F ( x) ?

1

?

1 x? ? (1 ? ) ? x

?

14

x ?1 F ?( x)? ? x?1 ? 1 ? 得唯一的驻点 0
?2 F (1) ? 0 F ??( x)? (a ? 1? )x ? 知函数有唯一的极大值 0

原不等式得证。

22、 设函数 f ( x) 在 x ? 0 的某邻域内有定义, 且 f (0) ? 0 ,lim
x ?0

1 ? cos x x(e x ? 1)
2

f ( x) ?

1 , 证明: 2

f ( x) 在 x ? 0 处可导,且 f ?(0) ? 1
1 2 x 1 1 2 lim f ( x ) ? lim f ( x) ? 2 2 x x ?0 xx 证明: x ?0 x(e ? 1) 2 2 ,可推得

1 ? cos x

lim
可得
x ?0

f ( x) ? 1 函数 f ( x) 在 x ? 0 的某邻域内有定义,且 f (0) ? 0 x


lim 从而
x ?0

f ( x) f ( x) ? f (0) ? lim ? f ?(0) ? 1 x ?0 x x?0

五、综合题 23、设抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 过点 (0, 0) 点,当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 ,又已知它和直线

x ? 1, y ? 0 所围成的图形面积是
积最小。

1 ,求 a, b, c 的值,使该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体 2

解:抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 过点 (0, 0) ,从而 c ? 0



? (ax
0

1

2

? bx)dx ?

1 1 1 1 ,可得 a ? b ? ,即 2a ? 3b ? 3 2 3 2 2

围成的图形面积绕 x 轴旋转而成的旋转体积为
1 1 1 1 V ? ? ? (ax 2 ? bx)2 dx ? ? [ a 2 ? ab ? b] 0 5 2 3

将 b ? 1?

2 a 代入上式消元,可得 3
15

1 2 1 2 1 2 V ( a)? ? [ a ? a( 1 ? a) ? (? 1 a )] 5 2 3 3 3 ? ? [? 2 2 5 1 a ? a? ] 15 18 3 2 2 5 1 a ? a ? ] 最小,由 15 18 3 4 5 25 a ? ] ? 0 ,解得 a ? 15 18 24

欲使得 V (a) ? ? [?

V ?(a) ? ? [?

进一步解得 b ? 1 ?

2 11 a? 3 36

24、求满足下列条件的最低次多项式:当 x ? 1, x ? 3 时,分别取得极值 6 和 3 。 解:要求最低次多项式:当 x ? 1, x ? 3 时,分别取得极值 6 和 3 。 则 x ? 1, x ? 3 时必须为函数 f ( x) 的驻点,则有

f ?( x) ? a( x ?1)( x ? 3) ? a( x 2 ? 4 x ? 3)

1 f ( x) ? a ( x 3 ? 2 x 2 ? 3 x) ? c 3
由 f (1) ? 6 和 f (3) ? 3 可解得 f ( x) ? x3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 2

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