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高三复习之圆锥曲线1(椭圆)


江苏省宿迁中学 2009 届高三数学一轮复习教学案 52

圆锥曲线 1
【基础练习】 1. 已知 ? A B C 的顶点 B , C 在椭圆
x
2 2

椭圆

? y ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆 3 的另外一个焦点在 BC 边上,则 ? A B C 的周长是

2. 已知 F1 , F 2 为两定点, F1 F2 ? 4 ,动点 M 满足 M F1 ? M F 2 ? 4 ,则动点 M 的轨迹 是 3. P 是椭圆
x
2

? y ?1
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 上的点,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的

4

2 倍,则 P 点坐标为 4. 设 F 是椭圆
x
2

? y ? 1 的右焦点, 椭圆上的点与点 F 的最大距离为 M, 最小距离为
2

4

m,则椭圆上与点 F 的距离等于 5. 已知椭圆
x
2

1 2

?M

? m ? 的点的坐标为

?

y

2

25

9

? 1 内有一点 B ? 2, 2 ? ,F1 , F 2 为其左右焦点, 是椭圆上的动点, M

则 M F1 ? M F 2 的最大值是 6. 椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 ? 0, 2 ? ,则 k 的值是
2 2

7. 椭圆以坐标轴为对称轴,中心在原点,且长轴是短轴的 3 倍,过点 ? 3, 0 ? ,则椭圆 的方程为 8. 椭圆以坐标轴为对称轴,中心在原点且经过两点 P 圆的方程为 9. 一动圆与已知圆 O 1 : ? x ? 3 ? ? y ? 1 外切,与圆 O 2 : ? x ? 3 ? ? y ? 8 1 内切,则
2 2
2 2

?

6 ,1 , Q ? 3 , ? 2 ,则椭

? ?

?

动圆圆心的轨迹方程为 10. 已知两定点 F1 ? ? 4, 0 ? , F2 ? 4, 0 ? , G 是平面上的动点,H 在线段 F1G 上,P 在线段
???? ? ???? ???? ???? F 2 G 上, F2 G ? 1 0 , 2 F1 H ? F1G , H P ? F1G ? 0 ,则点 P 的轨迹方程为
x
2

例题 1.设 F1 、 F2 是椭圆

?

y

2

9

4

? 1 的两个焦点, P 为椭圆上一点,已知 P , F1 , F 2 是

一个直角三角形的顶点,且 P F1 ? P F 2 ,求

P F1 P F2

的值

例题 2.在面积为 1 的 ? P M N 中,tan M ? M、N 为焦点且过点 P 的椭圆方程

1 2

, tan N ? ? 2 ,建立适当的坐标系,求出以

例题 3.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 e ?

3 2

,直线 y ?

1 2

x ? 1 与椭圆

相交于 A、B 两点,点 M 在椭圆上, O M ?

???? ?

? ? 1 ??? 3 ??? OA ? O B 求椭圆的方程 2 2

例题 4.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值 为 3,最小值为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l: y ? kx ? m 与椭圆 C 相 交于 A、B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点。求证: 直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

【反馈练习】
1. 已知 F1 , F 2 为两定点, F1 F2 ? 4 ,动点 M 满足 M F1 ? M F 2 ? 4 ,则动点 M 的轨 迹是

2.

设椭圆过点(3,0) ,且离心率 e ?

6 3

,则椭圆的标准方程为

3.

设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 e ?

1 2

, 右 焦 点 为 F ? c, 0 ? , 方 程
2 2

a x ? b x ? c ? 0 的两个实根分别是 x 1 和 x 2 ,则点 P ? x1 , x 2 ? 与圆 x ? y ? 2 的位
2

置关系为 在平面直角坐标系中, 已知 ? A B C 的顶点 A ? ? 4, 0 ? 和 C ? 4, 0 ? ,顶点 B ? x , y ? 在椭
x
2

4.



?

y

2

? 1 上,则(1)

sin A ? sin C sin B

?

(2) x ? 2 y 的最小值

25

9

5.

椭圆

x

2

?

y

2

25

9

? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 M F1 的中点,O 是椭圆的

中心,则 ON 等于 6. 已知椭圆的方程为
x
2

?

y m

2 2

16

? 1? m ? 0 ? , 如果直线 y ?

2 2

x 与椭圆的一个交点 M

在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值是 7.椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, e ? 以 PQ 为直径的圆过原点,求椭圆的方程
3 2

它与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于点 P、Q,

8.已知 F1 , F 2 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点, 是椭圆上位于第一象限内一 A

点,点 B 也在椭圆上,且满足 O A ? O B ? 0 (O 是坐标原点) A F2 ? F1 F2 ? 0 。若椭 ,
2 2

??? ?

??? ?

?

???? ?

?????

圆的离心率为 椭圆的方程。

。 (1)求直线 AB 的方程; (2)若三角形 A B F 2 的面积等于 4 2 ,求

9.已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为

6 3

,短轴一个端点到右焦点的距离

为 3。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到
3 2

直线 l 的距离为

,求 ? A O B 面积的最大值。

答案 1. 4 3 . 2. (
4 3 9 ,? 69 9 )

3. (0, ? 1)

4. 10 ? 2 10

5.1

6.

x

2

? y ? 1或
2

x

2

?

y

2

?1

7.

x

2

?

y

2

?1

8.

x

2

?

y

2

?1

9.

x

2

?

y

2

?1

9

9

81

9

3

25

16

25

9

例1.

析: 若 ? F1 P F 2 ? 9 0 ? , 则

| F1 P | | P F2 |

? 2; 若 ? P F 2 F1 ? 9 0 ? , 则

| F1 P | | P F2 |

?

7 2

例2.

x

2

15 4

?

y

2

?1

3

例3.

x

2

? y ?1
2

4 x
2

例4.

?

y

2

? 1 ;定点 (

2 7

, 0)

4

3

【反馈练习】
1.以 F1, F2 为端点的线段
5 4 ; ?

2.

x

2

?

y

2

? 1或

x

2

?

y

2

?1

9

3

9

27

3.点在圆内
2x 5
x
2

4.
2

61

5.4
2 2 x
2

6. 2 2
y
2

2

7

?

8y 5

?1

8. y ?

x;

?

?1

16

8

9.

3

? y ? 1; S m ax ?
2

3 2


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