当前位置:首页 >> 数学 >> 【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第七节双曲线_图文

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第七节双曲线_图文

第七节 双曲线

1.双曲线的定义

||MF1|-|MF2||



2.双曲线的标准方程和几何性质

图 形

标准方程

x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b ___________

y2 x 2 ? 2 ?1 2 a b ____________

(a>0,b>0)

(a>0,b>0)

范围

x≥a或x≤-a ____________

y≤-a或y≥a ____________

坐标轴 对称轴:_______ 对称性 原点 对称中心:_____ 性 质
顶点 渐近线 离心率

坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____

顶点坐标: 顶点坐标: (-a,0) (a,0) A ________,A (0,a) (0,-a) _______ A1_______,A ______ 2 1 2
b y=± a x ________ a x y= ± b ________

c (1,+∞) a e=___,e ∈________

a,b,c 的关系 性 质 实虚轴

2+b2 a 2 c =______

线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长 2a |A1A2|=___ ;线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=___;2b a叫做双曲线的半实 轴长,b叫做双曲线的半虚轴长.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”).
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹

是双曲线.(

)

(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的 点的轨迹是双曲线.( )

x 2 y2 (3)方程 ? =1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ) m n x 2 y2 (4)双曲线方程 2 ? 2 =λ (m>0,n>0,λ ≠0)的渐近线方程 m n 2 2 x y x y 是 2 ? 2 =0,即 ? =0.( ) m n m n

(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2. (

)

2 2 x 2 y2 x y (6)若双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)与 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的离 a b b a 1 1 心率分别是e1,e2,则 2 ? 2 =1(此结论中两条双曲线为共轭双 e1 e 2

曲线).(

)

【解析】(1)错误.由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而 非双曲线的全部. (2)错误.因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射 线.

(3)错误.当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m<0,n<0时 则表示焦点在y轴上的双曲线.
2 2 b x y (4)正确.因为 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=〒 x即 a a b 2 2 x 2 y 2 =0,∴当λ>0时,x ? y =1(m>0,n>0)的渐近线方程为 ? 2 2 2 2 ? m ? n a2 b 2 x 2 y2 x y x y =0. 即 =0 ,即 ? ? =0.同理当λ<0时,仍成 ? 2 2 2 2 m n m n ?m ?n

立,故结论正确.

(5)正确.等轴双曲线:x2-y2=a2(a>0)的渐近线方程为x2-y2=0即y=〒
显然两直线互相垂直,其实轴、虚轴长均为2a,∴c=
c 2a ? ? 2. a a

a,∴e= 2

x 2 y2 c a 2 ? b2 (6)正确.双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的离心率e1= ? , a b a a 2 2 同理e2= a ? b , b a b 1 1 2 2=1. ∴ 2 ? 2 =( ) +( ) e1 e 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

答案:(1)〓

(2)〓

(3)〓

(4)√

(5)√

(6)√

1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,

则点M的轨迹方程是(
2 2 x y (A) ? =1 16 9 2 2 x y (C) ? =1 9 16

)
x 2 y2 (B) =1(x≥4) ? 16 9 2 2 x y (D) ? =1(x≥3) 9 16

【解析】选D.由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10, 得a=3,c=5,b2=c2-a2=16. 故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支.
x 2 y2 ∴方程为 ? =1(x≥3). 9 16

2 2 x y 2.若双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离 a b

等于实轴长,则该双曲线的离心率为( (A) 5 (B)5 (C) 2 (D)2

)

【解析】选A.由已知得b=2a,∴c2=a2+b2=5a2, ∴c= 5 a,∴离心率e= c ? 5a ? 5.
a a

3.已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4,则它到

另一个焦点的距离为_________.
【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为:
x 2 y 2 =1, 所以a2=3, ? 3 6

又因为点P到一个焦点的距离为4,所以到另一焦点的距离为

4+ 2 3 或4- 2 3(舍).
答案:4+ 2 3

x 2 y2 4.已知双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为 2 3, a b

则双曲线的渐近线方程为_______________. 【解析】依题意知:2b=2,2c= 2 3, 所以b=1,c= 3,a= 2, 因此,双曲线的渐近线方程为:
b x= ? 2 x. a 2 答案:y= ? 2 x 2

y=〒

x 2 y2 5.已知双曲线C: 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一 a b

个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线C的方程为__________.

【解析】由已知e=

c =2,∴c=2a. a




又一个顶点到相应焦点的距离为1,即c-a=1.

由①②得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,
2 y ∴双曲线C的方程为 x ? =1. 3 2 y 答案: x 2 ? =1 3 2

考向 1

双曲线的定义及应用

【典例1】(1)(2013?阳江模拟)“ab<0”是“方程ax2+by2=c 表示双曲线”的( (A)必要不充分条件 (C)充分必要条件 ) (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(2)(2012?辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个 焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值 为_________.

(3)已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,
B的椭圆,求另一个焦点F的轨迹方程.
x 2 y2 ? 【思路点拨】(1)将方程化为 =1的形式,然后根据充 c c 要条件的判定方法判断即可. a b

(2)解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于 |PF1|,
|PF2|的方程,进而求解.

(3)先根据椭圆的定义得出动点F满足的等式,再探究出动点F
与两定点A,B的差为常数,从而用定义法求轨迹方程 .

2 2 x y 【规范解答】(1)选A.若ax2+by2=c表示双曲线,即 =1 ? c c a b 2 表示双曲线,则 c <0,这就是说“ab<0”是必要条件,然而若 ab

ab<0,c可以等于0,即“ab<0”不是充分条件.

(2)不妨设|PF1|>|PF2|.
由双曲线方程x2-y2=1知a=b=1,c= 2,

由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2
由已知条件PF1⊥PF2及勾股定理得



|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8
上述两式①②联立, 解得|PF1|= 3+1,|PF2|= 3 -1, 故|PF1|+|PF2|= 2 3. 答案: 2 3



(3)由椭圆的定义知: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|, 又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2), 所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2, 所以F的轨迹是双曲线的一支,其中c=7,a=1,b2=48,
2 x 因此所求轨迹方程为: =1(y≤-1). y2 ? 48

【互动探究】本例题(2)中“PF1⊥PF2”改为“∠F1PF2=60°”,

结果如何?
【解析】不妨设|PF1|>|PF2|,

由双曲线方程x2-y2=1,知a=b=1,
c= 2,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2, ∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4 又∠F1PF2=60°,由余弦定理得: |PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=|F1F2|2=(2c)2=8 ② ①

②-①得|PF1||PF2|=4



③代入①得:|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1||PF2| =4+2〓4=12. ∴|PF1|+|PF2|= =
2 2

? PF ? | PF |?
1 2

2

PF1 ? PF2 ? 2 PF1 | PF2 |

= 12 ? 2 ? 4 ? 2 5.

【拓展提升】 1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、 双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建

立它与|PF1||PF2|的联系.

2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点 特别注意条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线, 还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,并且要在其方程中 准确限定变量x(y)的范围.

【变式备选】(2013?绵阳模拟)过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有

一条弦PQ交左支于P,Q两点,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,
则△PF2Q的周长为_________.

【解析】因为x2-y2=8,所以2a= 4 2, 由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|= 4 2, |QF2|-|QF1|= 4 2, 所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|= 8 2, 即|PF2|+|QF2|-|PQ|= 8 2, 又因为|PQ|=7,所以|PF2|+|QF2|=7+ 8 2, 因此,△PF2Q的周长为 |PF2|+|QF2|+|PQ|=14+ 8 2. 答案:14+ 8 2

考向 2

双曲线的标准方程和几何性质

x 2 y2 【典例2】(1)(2012?湖南高考)已知双曲线C: 2 ? 2 =1(a>0, a b

b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为(
x 2 y2 (A) ? =1 20 5 2 2 x y (C) ? =1 80 20
2 2 x y (B) ? =1 5 20 2 2 x y (D) ? =1 20 80

)

(2)(2012?浙江高考改编)如图,F1,F2分别是双曲线
2 2 x y C: 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的 a b

端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线
段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,若|MF2|=|F1F2|,则 C的离心率是______.

【思路点拨】(1)利用待定系数法.先根据双曲线的几何性质, 由焦距为10,求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线方程,得a=2b, 从而由a2+b2=c2,求出a,b. (2)利用双曲线的几何性质,结合图形的特征,通过求PQ的中 点,再由|MF2|=|F1F2|构建关于a,b,c的方程,进而求解.

2 2 x y 【规范解答】(1)选A.∵ 2 ? 2 =1的焦距为10, a b

∴c=5= a 2 ? b2
2b ∴ =1,即a=2b a


b x,且P(2,1)在渐近线上, a

又双曲线渐近线方程为y=〒 ②

x 2 y2 由①②解得a= 2 5,b= 5, 所以方程为 =1. ? 20 5

(2)设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0); ∵B(0,b),∴点F1,B所在直线为 ? x ? y =1,

c b b ? y ? x, bc b ? a 双曲线渐近线方程为y=〒 x,由 ? 得Q( ac , ), ? a c?a c?a x y b ? ? ? ? ? 1, y ? ? x, ? ? ? c b a 由 ? ? ? ? x ? y ? 1, ? ? c b 得P(? ac , bc ), a?c a?c bc 2 a 2c ∴线段PQ的中点坐标为( 2 2 , 2 2 ). c ?a c ?a

由a2+b2=c2得,线段PQ的中点坐标可化为( 直线F1B的斜率为k= ,
b c

a 2c c 2 ), , 2 b b

2 c2 c a ∴线段PQ的垂直平分线为y= ? (x ? 2c ), b b b 2 2 令y=0,得x= a 2c +c,∴M( a 2c +c,0), b b 2 ∴|F2M|= a 2c . b 2 a 2c a 由|MF2|=|F1F2|得 2 = 2 c 2 =2c,即3a2=2c2, b c ?a 3 ∴e2= , ∴e= 6 . 2 2 答案: 6 2

【拓展提升】 1.利用待定系数法设双曲线方程的三种常见类型及相应技巧 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程可
2 2 x y 设为 ? =1(mn>0),这样可避免讨论和复杂的计算;也可设 m n

为Ax2+By2=1(AB<0),这种形式在解题时更简便. (2)当已知双曲线的渐近线方程bx〒ay=0,求双曲线方程时,可

设双曲线方程为 b2x2-a2y2=λ(λ≠0),再根据其他条件确定λ
的值.

x 2 y2 (3)与双曲线 2 ? 2 =1有相同的渐近线的双曲线方程可设 a b 2 2 x y 为 2 ? 2 =λ(λ≠0),再根据其他条件确定λ的值. a b

2.双曲线的几何性质的三大关注点

(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点.
(2)“四线”:两对称轴(实、虚轴),两渐近线. (3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角 形,双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的 焦点三角形.

3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意 e= 1 ? ( b ) 2 及判断焦点的位置.
a

(2)已知渐近线方程y=mx(m>0)求离心率时,当焦点不确定时, m=
b a 或m= , 因此离心率有两种可能. a b

【提醒】双曲线中a,b,c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆 之间的关系混淆.

【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0. (1)求该双曲线的离心率. (2)若双曲线经过点P( 6, 2),求双曲线的方程.
2 2 b 2 c ? a 4 【解析】(1)当焦点在x轴上时, ? ,即 ? , 2 a 3 a 9 所以e2= 13, 解得e= 13 ; 9 3 2 2 b 3 c ? a 9 当焦点在y轴上时, ? , 即 ? , a 2 a2 4 13 所以e2= ,解得e= 13 , 4 2 13 即双曲线的离心率为 13 或 . 3 2

(2)由双曲线的渐近线方程为2x〒3y=0, 可设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点P( 6, 2), ∴4〓6-9〓4=λ,λ=-12, 故所求双曲线方程为4x2-9y2=-12,
y2 x 2 即 =1. ? 4 3 3

考向 3

双曲线与直线、圆及其他圆锥曲线的综合

【典例3】(1)(2012?新课标全国卷)等轴双曲线C的 中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线 交于A,B两点, |AB|= 4 3, 则C的实轴长为( (A) 2 (B) 2 2 (C)4 (D)8 )

2 2 x y (2)(2013?东莞模拟)已知椭圆C1: 2 ? 2 =1(a>b>0)与双 a b 2 曲线C2:x 2 ? y =1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1 4

的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三 等分,则( (A)a2= 13
2 (C)b2= 1 2

) (B)a2=13 (D)b2=2

x 2 y2 (3)(2013?中山模拟)已知双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0) a b

的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线
x 2 y2 与椭圆: ? =1有相同的焦点,则该双曲线的标 25 16

准方程为____________.

【思路点拨】(1)设出等轴双曲线方程,与抛物线准线方程 联立,求得A,B两点坐标,利用|AB|=4 3构建方程求解. (2)画出图形,设AB与椭圆的一个交点为C(靠近A的交点), 由题意求出|OC|及∠COx的正切值,进而确定点C的坐标, 代入椭圆方程求得结果. (3)先写出渐近线方程,利用其和圆相切,构建关于a,b的 方程,再利用与椭圆有相同的焦点得c,从而得解.

【规范解答】(1)选C.不妨设点A的纵坐标大于零.
2 2 x y 设 C: ? =1(a>0), 2 2 a a

∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,
? x 2 y2 ? 1, ? ? 联立得方程组 ? a 2 a 2 ? x ? ?4, ? 解得:A(-4, 16 ? a 2 ),B(-4, ? 16 ? a 2 ),

∴|AB|=2 16 ? a 2 = 4 3, 解得a=2,∴2a=4. ∴C的实轴长为4.

(2)选C.如图所示,设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的 交点),则|OC|= , 因tan∠COx=2,
2 , 5 a 2a 1 , , cos∠COx= 则C的坐标为( ),代入椭圆方程得 3 5 3 5 5 2 2 a 4a =1, ? 2 2 45a 45b 1 2 2 2 ∵5=a -b ,∴b = . 2
a 3

∴sin∠COx=

(3)圆C:x2+y2-6x+5=0可化为:(x-3)2+y2=4.
所以其圆心C(3,0),半径r=2,
2 2 x y 双曲线 2 ? 2 =1的渐近线方程是:bx〒ay=0, a b 3b

又渐近线与圆相切,所以
2 2

又椭圆 x ? y =1的焦点为(-3,0),(3,0),
25 16

a ?b
2

2

=2



∴双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),即a2+b2=c2=9 由①②得b=2,c=3,a2=5.
x 2 y2 ∴双曲线的标准方程为: ? =1. 5 4 2 2 x y ? 答案: =1 5 4



【拓展提升】
1.解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧

(1)通法:将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入双曲
线E的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量 x(或变量y)的一元二次方程.解此方程或利用根与系数的关系 整体代入的思想解题. (2)点差法:在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题 时,常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程,作差 后结合已知条件进行转化求解.

【提醒】利用点差法时,对求出的结果要验证其是否满足相交 的要求,即Δ>0. 2.解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略 (1)以图助解,数形结合. (2)各个击破.

【变式训练】已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E 的一个焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且A与B 的中点为N(-12,-15),则E的方程为(
x 2 y2 (A) ? =1 3 6 2 2 (C) x ? y =1 6 3

)

x 2 y2 (B) ? =1 4 5 2 2 x y (D) ? =1 5 4

2 2 x y 【解析】选B.方法一:设双曲线的方程为 ? =1 2 2 a b ?15 ? 0 (a>0,b>0),由题意知直线l的斜率为 =1, ?12 ? 3

可知直线l的方程为y=x-3.
? y ? x ? 3, 联立方程得 ? ? x 2 y2 ? a 2 ? b 2 ? 1, ?

整理得

(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0,
2 6a 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= ? 2 2 , b ?a

6a 2 又A与B中点N(-12,-15),∴? 2 2 =-24, b ?a

∴5a2=4b2, 又∵c=3,∴a2+b2=9,可得a2=4,b2=5.
x 2 y2 ? 故双曲线的方程为 4 5

=1.

2 2 x y 方法二:设双曲线的方程为 2 ? 2 =1(a>0,b>0),由题意知 a b

c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:
2 2 ? x1 y1 ? 2 ? 1, ? 2 ?a b ? 2 2 x y ? 2 ? 2 ? 1, ? ? a 2 b2

2 y1 ? y2 b ? x1 ? x 2 ? 4b2 ? 2 ? 2, 两式作差得: x1 ? x 2 a ? y1 ? y 2 ? 5a

又直线AB的斜率是 ?15 ? 0 =1,
?12 ? 3

所以4b2=5a2,将4b2=5a2与a2+b2=9联立,
解得a2=4,b2=5,
x 2 y2 ? 所以双曲线的方程为 =1. 4 5

【易错误区】 忽略讨论双曲线的焦点位置致误
x 2 y2 【典例】(2013?天津模拟)已知双曲线 =1(mn>0)的 ? m n 一条渐近线方程为y= 4 x,则该双曲线的离心率e为_______. 3

【误区警示】本题易出现的错误是误认为焦点在x轴上,不讨
论焦点位置而丢解.

【规范解答】当m>0,n>0时,
n b 2 16 ∴ ? 2 ? , m a 9

n 4 ? , m 3

e= 1 ? ( b ) 2 ? 1 ? 16 ? 5;
a 9 3
2 m a m 4 当m<0,n<0时, ? , ? ? 16 , n 3 n b2 9

e= 1 ? ( b ) 2 ? 1 ? 9 ? 5 .
a 16 4

故该双曲线的离心率为 或 答案:
5 5 或 3 4

5 3

5 . 4

【思考点评】

1.双曲线的焦点位置与渐近线方程的关系
若焦点在x轴上,则渐近线方程为y=〒 b x;若焦点在y轴上,
a

则渐近线方程为y=〒 x.若焦点位置不确定,则要分类讨论.
2.巧设共渐近线的双曲线方程
x 2 y2 b 共渐近线y=〒 x的双曲线的标准方程可设为 2 ? 2 =λ(λ为 a b a

a b

参数,λ≠0),再利用待定系数法求解,可避免分类讨论 .

x 2 y2 1.(2012?福建高考)已知双曲线 ? 2 =1的右焦点与抛物线 4 b

y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等 于( )

(A) 5

(B) 4 2

(C)3

(D)5

【解析】选A.由题知y2=12x的焦点为(3,0),由题意知4+b2=9,

b2=5,双曲线的焦点到其渐近线的距离为b= 5.

2 2 x y 2.(2013?广州模拟)P为双曲线 ? =1的右支上一点,M,N 9 16

分别是圆(x+5)2+y2=4和圆(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|

的最大值为(
(A)9

)
(B)8 (C)7 (D)6

【解析】选A.由已知,双曲线的焦点F1,F2正好为两圆的圆心. 如图所示,当且仅当PM,PN分别过两圆圆心时,|PM|-|PN|最大.

此时,|PM|=|PF1|+2,|PN|=|PF2|-1, ∴|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|-|PF2|)+3=9.

x 2 y2 3.(2012?天津高考)已知双曲线C1: 2 ? 2 =1(a>0,b>0)与双 a b 2 2 x y 曲线C2: =1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F( 5, 0), ? 4 16

则a=______,b=______.
?b 4 ? , 【解析】由题意可得 ? 解得:a=1,b=2. ?a 2 ?a 2 ? b 2 ? 5, ?

答案:1

2

x 2 y2 4.(2012?湖北高考)如图,双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的两 a b

顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2 为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则 (1)双曲线的离心率e=______. (2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩 形ABCD的面积S2的比值
S1 =______. S2

1 1 2 2 化简得: ? bc ? b ? c a, OF2 B2 2 2 c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,又e>1,则e= 1 ? 5 . 2

【解析】(1)如题干图:S

(2)由题意知:S1=2bc,在△OF2B2中连接OA,则AF2=b,矩形
2ab , c S1 c2 e3 2 ? 5 2a 2 4a 3 b ? 2bc ? 3 ? ? . AB= , S 2= , 则 2 S2 4a b 2 2 c c 答案:(1) 1 ? 5 (2) 2 ? 5 2 2

ABCD边长AD=

5.(2013?湛江模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F
x 2 y2 恰好是双曲线 2 ? 2 =1的右焦点,且两条曲线的交点的连线 a b

过F,则该双曲线的离心率是________.

【解析】由已知得 即p=2c

p =c, 2


p 2

又两条曲线的交点的连线过F,可得交点坐标为( , p),
p p x 2 y2 ( , -p).即点( , p)在双曲线 2 ? 2 =1上, 2 2 a b p 2 ( ) 2 p 所以有 22 ? 2 ? 1 ② a b

由①②得:b2c2-4a2c2=a2b2 又b2=c2-a2,代入③整理得 c4-6a2c2+a4=0,解得:( c ) 2 ? 3 ? 2 2,
a



又双曲线的离心率e= c >1,∴e2=3+ 2 2.
a

得e= 2 +1. 答案: 2 +1

x 2 y2 1.如图,F2为双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的右焦点,E为OF2 a b

中点,过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别与y轴交于C,D 两点,B为双曲线右顶点.若四边形ACBD的内切圆经过点E,则双 曲线的离心率为( (A)2 (B) 3 (C) 2 (D) 2 3
3

)

【解析】选C.由题意得:直线AD的方程为:
b y= (x+a),即:bx-ay+ab=0, a

因为直线AD与四边形ACBD的内切圆相切,
c ab ? 故 ?a=b, 2 2 2 a ?b

2 c 2a ∴双曲线的离心率为e= ? ? 2. a a

故选C.

x 2 y2 2.以双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左焦点F为圆心,作半径为 a b

b的圆F,则圆F与双曲线的渐近线( (A)相交 (B)相离 (C)相切

) (D)不确定

【解析】选C.由已知双曲线的左焦点F为( ? a 2 ? b 2 , 0), 渐近线方程为y=〒
b x,即bx〒ay=0. a b a 2 ? b2

∴圆心F到渐近线的距离d=

a ?b
2

2

=b,

又圆F的半径为b,所以圆F与双曲线的渐近线相切.

x 2 y2 3.已知双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,一条渐近线 a b

平分圆x2+y2-4x+2y=0,则双曲线的标准方程为_____________. 【解析】由已知2c= 2 5,∴c= 5, 又渐近线bx+ay=0过圆(x-2)2+(y+1)2=5的圆心(2,-1). ∴有2b-a=0,即a=2b. 又a2+b2=5,即(2b)2+b2=5,解得b=1,
x2 ∴a=2,所以双曲线的标准方程为 ? y 2 =1. 4 2 x 答案: ? y 2 =1 4


更多相关文档:

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第七节双曲线 - 第七节 双曲线 1.双曲线的定义 ||MF1|-|MF2|| < 2.双曲线的标准方程...

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)课时作业....doc

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)课时作业:第八章 第七节双曲线 - ()温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合 适的观看...

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第六节椭 圆

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第六章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第六章 第七节数学归纳法 - 第七节 数学归纳法 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列...

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第三节圆 的

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第三节圆 的...y2 ? 1? ? 0 所表示的曲线图形是( ) 【解析】选D.方程 x ? 1lg ? ...

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第十章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第十章 第七节离散型随机变量及其分布列 - 第七节 离散型随机变量及其分布列 1.随机变量的有关概念 (...

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第二节直线的

...第三节空间点、直线、平面之间的位置关系_图文.ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第七章 第三节空间点

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第三章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第三章 第八节应 用举例 - 第八节 应用举例 1.三角形中常用的面积公式 (1)S= 1 ah(h表示边a上...

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(福建用)课时作业....doc

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(福建用)课时作业:第八章 第七节双 曲线] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合 适的观看...

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)课时作业....doc

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)课时作业:第六章 第七节数学归

...配套课件:第五章 第二节等差数列及其前n项和_图文.ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第五章 第二节等差数

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第十章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第十章 第五节古 典

...配套课件:第三章 第六节简单的三角恒等变换_图文.ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第三章 第六节简单的

...配套课件:第十一章 第一节绝对值不等式_图文.ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第十一章 第一节绝对

...第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数_图文.ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第三章 第一节任意角

...配套课件:选修4-1 第二节直线与圆的位置关系_图文.ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:选修4-1 第二节直

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(福建用)课时作业....doc

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(福建用)课时作业:第八章 第七节双 曲线 - 课时提升作业(五十六) 一、选择题 1.已知双曲线 心率为( ) 4 x 2 y2 ...

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第四章 第....ppt

【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第四章 第四节平面向

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com