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广东省14市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编:立体几何


广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编 立体几何
一、选择题 1、 (潮州市 2016 届高三上学期期末) 右图是一个几何体的正视图和侧视图, 其俯视图是面积为 8 2 的矩形,则该几何体的体积是 A、8 C、16 B、4 2 D、

16 3

2、(东莞市 2016 届高三上学期期末)已知一个几何体的三视图如图所示,图中小正方形的边长为 1,则该几何体的体积为

(A)

10 3

(B)4

(C)6

(D)10

3、(佛山市 2016 届高三教学质量检测(一)(期末))某一简单几何体的三视图如图 2 所示,该几 何体的外接球的表面积是( A. 13? B. 16? C. 25? D. 27?
俯视图 图2
2 2

)

2

2 3

正视图

侧视图

4、(广州市 2016 届高三 1 月模拟考试)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都 俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径, 是斜边长为 2 的直角三角形, 则这个几何体的表面积为

3 ? 12 3 (C) ? 4
(A)

3 ? 6 3 (D) ? 3
(B)

5、(惠州市 2016 届高三第三次调研)某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧, 则该几何体的表面积为( (A) 16 ? 6 2 ? 4? (B) 16 ? 6 2 ? 3? (C) 10 ? 6 2 ? 4? (D) 10 ? 6 2 ? 3? 6、 (揭阳市 2016 届高三上学期期末学业水平考试)已知棱长为 2 的 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的一个面 A1B1C1 D1 在一半球底面上,且 A、 B、C、D 四个顶点都在此半球面上,则此半球的体积为 (A) 4 6? (B) 2 6? (C) 16 3? (D) 8 6? ) )

3
2 1
正视图

2
1
侧视图

2

3
俯视图

7、 (茂名市 2016 届高三第一次高考模拟) 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 (

A、

4 3

B、

2 3

C、

1 3

D、2

8、 (清远市 2016 届高三上学期期末)一个几何体的三视图如图所示,正视图为直角三角形、侧视图 为等边三角形, 俯视图为直角梯形, 则该几何体的体积等于 ( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 9、(汕头市 2016 届高三上学期期末)某几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的外接球表面积 为( )

A. 4 3?

B. 12?

C. 24?

D. 48?

10、(汕尾市2016届高三上学期调研)一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 ( )

11、 (韶关市 2016 届高三上学期调研)如图,圆柱内有一个直三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内, 且底面是正三角形 . 如果三棱柱的体积为 12 3 ,圆柱的底面直径与母线长相 等,则圆柱的侧面积为 A. 12? B. 14? C. 16? D. 18? 12、(湛江市 2016 年普通高考测试(一))一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积 为

A、64+8 ?

B、48+12 ?

C、48+8 ?

D、48+12 ?

13、(肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末))若某圆柱体的上部挖掉一个半球,下部挖掉一个圆 锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图 2 所示,则此几何体的表面积是 (A) 24? (B) 24? ? 8 2? (C) 24? ? 4 2? (D) 32? 14、(珠海市 2016 届高三上学期期末)已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺 寸,可得这个几何体的体积是 ( ) A.2 B.4 C.6 D. 12

2 2 2 正视图    2 侧视图

俯视图

第 11 题图

参考答案: 1、A 2、C

3、C 6、A 11、C

4、A 5、C 7、B 8、A 9、B 10、A 12、A 13、C 14、B

二、填空题 1、(潮州市 2016 届高三上学期期末)已知一个长方体的长、宽、高分别是 5,4,3,则该长方体 的外接球的表面积等于__ 2、(东莞市 2016 届高三上学期期末)如图,等腰直角三角形 ABC,|AB|= 2 ,AC ? L ,三角 形 ABC 绕直线 L 旋转一周,得到的几何体的体积为

3、(惠州市 2016 届高三第三次调研)已知三棱锥 S ? ABC 所在顶点都在球 O 的球面上,且 SC ? 平面 ABC ,若 SC ? AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 120? ,则球 O 的表面积为 . 4、 (揭阳市 2016 届高三上学期期末学业水平考试)如图 2,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画 出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图,则被截 去部分的几何体的表面积为 . 5、(汕尾市 2016 届高三上学期调研)若正方体的棱长为 2,

则该正方体外接球的表面积为
6、(肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末))已知各顶点都 在一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的体 积为 .

参考答案: 1、 50? 2、

3、【答案】 5? 【解析】记底面三角形 ABC 的外接圆为⊙O′,半径为 r,则 2 r ? 径为 R,因为 SC ? 平面 ABC ,则 2 R ?

BC ? 2 ,所以记球的半 sin120?

? 2r ?

2

? SC 2 ? 1 ? 4 ? 5 ,所以球 O 的表面积为

? 5? S ? 4? R ? 4 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 5? ? ?
2

2

4、 54 ? 18 3

5、12 ?

6、 8 6?

三、解答题 1、(潮州市 2016 届高三上学期期末)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形,侧面 PAB 是 正三角形,AB=2,BC= 2 ,PC= 6 ,E,H 分别为 PA、AB 中点。 (I)求证:PH⊥平面 ABCD; (II)求三棱锥 P-EHD 的体积。

2、(东莞市 2016 届高三上学期期末)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是正方形, PA=AB=1,PA⊥平面 ABCD,E 为棱 PB 上一点,PD∥平面 ACE,过 E 作 PC 的垂线,垂足为 F。 (I)求证:PC⊥平面 AEF; (II)求三棱锥 P-AEF 的体积。

? 3、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测 (一) (期末) ) 如图 4,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 AAC 1 1C
侧面 ABB1 A 1 1 ? 60? , 1 , AC ? AA 1 ? 2 AB , ?AAC
C H C1

AB ? AA1 , H 为棱 CC1 的中点, D 为 BB1 的中点.
(Ⅰ) 求证: A1D ? 平面 AB1H ; (Ⅱ) 若 AB ? 2 ,求三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积.
B A D B1 A1

图4

BC ? 2 , 4、 (广州市 2016 届高三 1 月模拟考试) 在直三棱柱 ABC ? A AB ? AC ? AA1 ? 3 , 1B 1C1 中,

D 是 BC 的中点, F 是 C1C 上一点.
(Ⅰ)当 CF ? 2 时,证明: B1F ⊥平面 ADF ; (Ⅱ)若 FD ? B1D ,求三棱锥 B1 ? ADF 的体积. A1 F

C1 B1

C A

D B

5、(惠州市 2016 届高三第三次调研)

? 如 图 , 已 知 等 腰 梯 形 ABCD 中 , A D / / B C, A B
A

A E? B D ? M ,将 ?BAE 沿着 AE 翻折成 ?B1 AE .
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 B1DM ; (Ⅱ)若 B1C ? 10 ,求棱锥 B1 ? CDE 的体积

1 AD ? 2 D

B? C2 , 是 E BC 的 中 点 , B1

M
B E

C A
M
E

D

C

6、(揭阳市 2016 届高三上学期期末学业水平考试)如图 4,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 AB 中点. (Ⅰ)求证:BC1∥平面 A1CD; (Ⅱ)若四边形 CB B1C1 是正方形,且 A 1D = 求多面体 CAC 1 1BD 的体积.
B A A1

5,

D C 图4 图3 B1 C1

7、(茂名市 2016 届高三第一次高考模拟) 如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=AD =2,CD=4,四边菜 ADE1F1 是正方形,且平面 ADE1F1⊥平面 ABCD,M 是 E1C 的中点。 (1)证明:BM∥平面 ADE1F1; (2)求三棱锥 D-BME1 的体积。

8、(清远市 2016 届高三上学期期末)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC=CB,D,E 分别 是 AB, BB1 的中点。 (1)证明: BC1 // 平面 A1CD ; (2)求证:CD⊥平面 ABB1A1; (3)设 AA =AC=CB=2, AB=2 2 ,求 E 到截面 A1 DC 的距离 d. 1

9、(汕头市 2016 届高三上学期期末)如图 4 ,在直三棱柱

??C ? ?1?1C1 中,底面 ??? C 为等腰直角三角形, ???C ? 90? , ?? ? 4 , ??1 ? 6 ,点 ? 是 ??1 中点.
(I)求证:平面 ?1?C ? 平面 ??1C1C ; (II)求点 ? 到平面 ?1?C 的距离.

10、(汕尾市2016届高三上学期调研)如图,在四棱锥P—ABCD 中,侧面PAB 为正三角形,侧面 PAB⊥底面ABCD,E 为PD 的中点,AB⊥AD, BC∥AD,且AB=BC=

1 AD=2. 2

(1)求证CE∥平面PAB; (2)求四棱锥P—ABCD 的体积.

11、(韶关市 2016 届高三上学期调研)如图,四边形 ABCD 是矩形, AB ? 1, AD ? 2 , E 是 AD 的中点, BE 与 AC 交于点 F , GF ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证: AF ? 面 BEG ; (Ⅱ) 若 AF ? FG ,求点 E 到平面 ABG 距离.
B F D G

C

E 12、(湛江市 2016 年普通高考测试(一))如图,三棱柱 ABC- A A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC,AB1⊥平面 A1CD,AC⊥BC,D 为 AB 中点。 (I)证明:CD⊥平面 AA1B1B; (II)若 AA1=1,AC=2,求三棱锥 C1-A1DC 的体积。

13、(肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末))如图 3,正方形 ABCD 的边长为 2 2 , E 、 F 分 别是 DC 和 BC 的中点, H 是正方形的对角线 AC 与 EF 的交点, N 是正方形两对角线的交点,现 沿 EF 将 ?CEF 折起到 ?PEF 的位置,使得 PH ? AH ,连结 PA,PB,PD(如图 4). (Ⅰ)求证: BD ? AP ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? BDP 的高.

14、(珠海市 2016 届高三上学期期末) 如图,四棱锥 P ? ABCD 底面 ABCD 为平行四边形,且 AC ? BD ? O ,

P

PA ? PC , PB ? BD ,平面 PBD ? 平面 PAC (I)求证 PB ? 面 ABCD (II)若 ?PAC 为正三角形,?BAD ? 60? ,且四棱锥 P ? ABCD 的体积为

6 ,求侧面 ?PCD 的面积. 6

A O B

D

C

第 19 题图 参考答案: 1、(Ⅰ)证明:∵ ?PAB 是正三角形且 H 是 AB 的中点, ∴ PH ? AB .……………………..………………1 分 ∵在 ?PBC 中, PB ? AB ? 2 , BC ?
P

2,
E H F

PC ? 6 ,
2 2 2 ∴ PC ? PB ? BC .

∴ BC ? PB .…………………………….…..……3 分 又 BC ? BA ,且 PB ? BA ? B ,

B

C

PB 、 BA ? 平面 PAB ,
∴ BC ? 平面 PAB ,…………………………………4 分 又 PH ? 平面 PAB , ∴ BC ? PH .………………………………………5 分 又 AB ? BC ? B , AB 、 BC ? 平面 ABCD , ∴ PH ? 平面 ABCD .…………………………..………6 分 (Ⅱ)解法一:

A

D

由(Ⅰ)可知 PH 是三棱锥 P ? AHD 的高. 在 Rt ?PAH 中, PA ? AB ? 2 , AH ? ∴ PH ?

1 AB ? 1 . 2

PA2 ? AH 2 ? 4 ?1 ? 3 .………………7 分
1 1 2 , ? AH ? AD ? ?1? 2 ? 2 2 2

又 S?AHD ?

∴ VP ? AHD ?

1 1 2 6 .………………9 分 ? S?AHD ? PH ? ? ? 3? 3 3 2 6

过点 E 作 EF // PA ,交 AB 于点 F ,又点 E 是 PA 的中点, 所以 EF ? 平面 AHD ,且 EF ?

1 3 . PH ? 2 2

∴ VE ? AHD ?

1 1 2 3 6 .………………11 分 S?AHD ? EF ? ? ? ? 3 3 2 2 12 6 6 6 .……12 分 ? ? 6 12 12

∴三棱锥 P ? EHD 的体积为 VP ? EHD ? VP ? AHD ? VE ? AHD ? 解法二: 在 Rt ?PAH 中, PA ? AB ? 2 , AH ? 所以 PH ?

1 AB ? 1 . 2

PA2 ? AH 2 ? 4 ?1 ? 3 .…………………………7 分
P

又 E 是 PA 的中点, 所以 S?PEH ?

1 1 1 1 1 3 …9 分 S?PAH ? ? ? AH ? PH ? ? ?1? 3 ? 2 2 2 2 2 4

由(Ⅰ)可知 BC ? 平面 PAB 且 BC ? 又 AD // BC 且 AD ? BC ,

2.

E H A

B

C

所以 AD ? 平面 PAB 且 AD ? 2 .………………10 分 所以 VP ? EHD ? VD ?PEH 2、

D

1 1 3 6 ………………12 分 ? ? S?PEH ? AD ? ? ? 2? 3 3 4 12

3、【解析】(Ⅰ)连结 AC1 ,因为 ?ACC1 为正三角形, H 为棱 CC1 的中点,

? 面 ABB1 A1 , 所以 AH ? CC1 ,从而 AH ? AA1 ,又面 AAC 1 1C
AH ? 面 AAC 面 AAC 1 1C ? 面 ABB 1, 1 1C , 1A 1 ? AA

AH ? A1D …①,……2 分 所以 AH ? 面 ABB1 A 1 D ? 面 ABB 1 ,又 A 1A 1 ,所以
设 AB ?

2a ,由 AC ? AA1 ? 2 AB ,所以 AC ? AA1 ? 2a , DB1 ? a ,
H C1 G A1 B1

DB1 AB 1 ? ? 1 1 ,又 ?DB1 A1 ? ?B1 A1 A ? 90? ,所以 ?A1DB1 ? ?AB1 A1 , B1 A1 2 AA1
所以 ?B1 AA 1 ? ?B 1A 1D ,又 ?B 1A 1D ? ?AA 1D ? 90? , 所以 ?B1 AA 1 ? ?AA 1D ? 90? , 设 AB1 ? A 1D ? O ,则 A 1 D ? AB 1 …②,…………………5 分 由①②及 AB1 ? AH ? A ,可得 A1D ? 平面 AB1H .…………………6 分
B C

A D

M

(Ⅱ)方法一:取 AA1 中点 M ,连结 C1M ,则 C1M // AH ,所以 C1M ? 面 ABB1 A 1 .…………7 分 所以 VC1 ? AB1 A1 ?

1 1 6 ,…………………10 分 S?AB1 A1 ? C1M ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3

所以三棱柱 ABC ? A VC1 ? AB1A1 ? 6 .…………………12 分 1B 1C1 的体积为 3

G ,连结 AG ,因为 ?AA1C1 为正三角形,所以 AG ? AC 方法二:取 AC 1 1 中点 1 1,
? 面 ABB1 A1 ,面 AAC 因为面 AAC 1 1C 1 1C ? 面 ABB 1, A 1 B1 ? 面 ABB 1A 1 ? AA 1A 1,

A1B1 ? AA1 ,所以 A1B1 ? 面 AAC 1 1C ,又 AG ? 面 AAC 1 1C ,所以 A 1 B1 ? AG ,
又 AC 1 1?A 1B 1 ? A 1 ,所以 AG ? 平面 A 1B 1C1 ,所以 AG 为三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的高,……9 分 经计算 AG ? 3 , S?A1B1C1 ?

1 1 A1 B1 ? A1C1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ,………………11 分 2 2

所以三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积 V ? S?A1B1C1 ? AG ? 4、

2 ? 3 ? 6 .………………12 分

5、【解析】(I) 连接 DE,由题意可知四边形 ABED 和 AECD 是平行四边形, 又 AB=AD,所以 ABED 是菱形 故 BM ? AE , DM ? AE. (2 分) 即 B1 M ? AE , DM ? AE. (4 分)

又因为 DM ? B1M ? M , MD 、 B1 M ? 平面 B1 MD ,所以 AE ? 平面 B1 MD .(5 分) 由题可得 AE∥CD,所以 CD ? 平面B 1 DM (6 分)

(Ⅱ) 连接 CM,由(Ⅰ)得 AB=AE=BE=2 ,所以 ?B1 AE 为等边三角形 ,

? B1M ? 3

(7 分)又 CM ?

DM 2 ? CD2 ? 7 , B1C ? 10
(9 分) (10 分)

? B1M 2 ? CM 2 ? B1C 2 ,即 B1 M ? MC
又 B1 M ? AE , MC ? AE ? M ,? B1M ? 平面 CDE

1 1 AE ? DM ? ? 2 ? 3 ? 3 (11 分) 2 2 1 1 ?VB1 ?CDE ? S?CDE ? B1 M ? ? 3 ? 3 ? 1 (12 分) 3 3 S ?CDE ?
6、(I)证法 1:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,--------2 分 ∵D 为 AB 的中点,∴DE∥BC1,-----4 分 ∵BC1 ? 平面 A1CD,DE ? 平面 A1CD,------------5 分 ∴BC1∥平面 A1CD. -----------------------------6 分 【证法 2:取 A1B1 中点 D1 ,连结 BD1 和 C1D1 ,-----1 分 ∵ BD 平行且等于 A1D1 ∴ A1D / / BD1 ∴四边形 BD A1D1 为平行四边形 -----------------------------------2 分
A D1 C B B1 C1 A1

∵ A1D ? 平面 ACD , BD1 ? 平面 ACD 1 1 ∴ BD1 / / 平面 ACD ,------------------------------3 分 1 同理可得 C1D1 / / 平面 ACD ------------------------4 分 1 ∵ BD1 ? C1D1 ? D1

/ / 平面 BD1C1 ∴平面 ACD 1

D

又∵ BC1 ? 平面 BD1C1 ∴BC1∥平面 A1CD. -------------------------------6 分】 (Ⅱ) ? AD +A =A1D 1A = 5 又 B1B ^ BC, B1B / / A1 A 又 AD ? BC ? B
2 2 2

\ A1 A^ A D , -------------------------------------7 分 \ A1 A ^ BC ,

\ A1 A ^ 面 ABC -------------------------------------------9 分

(法一)∴所求多面体的体积 V ? VABC ? A1B1C1 ? VA1 ? ACD ? VB? A1B1C1 -----------------------10 分

1 1 ? AA1 ? S?ABC ? ? AA1 ? S ?ACD ? ? BB1 ? S ?A1B1C 3 3 1 1 1 3 2 ? ? AA1 ? S ?ABC ? ? 2 ? ? ?2 ? 3 2 2 2 2
即所求多面体 CAC 1 1BD 的体积为 3 .----------------12 分
B D

A

A1 E C H B1 C1

【( 法二)过 点 A1 作 A1 H ? B1C1 于 H ,∵平 面 BB1C1C ? 平面 A1 B1 C1 且平面 BB1C1C ? 平 面 A1 B1 C1 ? B1C1 ∴ A1 H ? 平面 BB1C1C ,------10 分 ∴所求多面体的体积 V ? VA1 ? ACD ? VA1 ? A1CC1 ? S?BCD ? AA1 ? S?BCC1 ? A1H

1 3

1 3

1 1 3 1 1 ? ? ? ? 4 ? 2 ? ? ? 4 ? 3 ? 3 .------------------------------------------12 分】 3 2 4 3 2 7、

8、【证明】:(1)连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点, ………………1 分 又 D 是 AB 的中点,连接 DF,则 BC1∥DF. ………………2 分

? DF ? 平面 A1CD, BC1 ? 平面 A1CD………………3 分
………………4 分 ? BC1∥平面 A1CD (2)? ABC-A1B1C1 是直三棱柱,? AA1⊥平面 ABC,……5 分 ………………6 分 ? CD ? 平面 ABC,? AA1⊥CD, 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,? CD⊥AB,…………7 分 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1, ………………8 分 (3)由 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 得 ∠ACB=90° ,CD= 2 ,A1D= 6 ,DE= 3 ,A1E=3, 故 A1D2+DE2=A1E2,DE⊥A1D,………………9 分

1 1 ? VC ? DEA1 ? ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1 3 2
∴ VE?DCA1 ? VC?DEA1

………………10 分

又 CD⊥A1D,∴△A1DC 为直角三角形,……………………11 分 ∴ ? 3 ?d ?1, ∴ d ?

1 3

3 ……………12 分

法 2:∵ CD⊥平面 ABB1A1 ,且 CD ? 平面 A1DC. ∴ 平面 A1CD⊥平面 ABB1A1 . ……………………………………………………10 ∵ 平面 A1CD∩平面 ABB1A1=DA1 且 ED⊥DA1 ∴ED⊥平面 A1CD,∴ED 为 E 到平面 A1CD 的距离………………………………11 在 Rt△DBE 中,ED= DB2 ? BE2 ? 3 ………………………………………12 9、解: (Ⅰ)记 AC1 与 A1C 的交点为 E .连结 ME .

? 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,点 M 是 BB1 中点,

? MA1 ? MA ? MC1 ? MC ? 42 ? 32 ? 5 ……2 分

因为点 E 是 AC1 、 A1C 的中点, 所以 ME ? AC1 , ME ? A1C , ……4 分 又 AC1 ? AC ? E 从而 ME ? 平面 AAC 1 1 1C . 因为 ME ? 平面 A1MC ,所以平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C . ……6 分

H, (Ⅱ)过点A作 AH ? AC 1 于点
由(Ⅰ)平面 A1MC ? 平面 AAC 1 1C ,平面 A 1MC ? 平面 AAC 1 1C ? AC 1 , 而 AH ? 平面 AAC 1 1C ……2 分

? AH

即为点 A 到平面 A1MC 的距离. ……3 分

在 ?A1 AC 中, ?A ,AC ? 4 2, AC1 ? 68 1 AC ? 90? , AA 1 ?6

? AH ?

AA1 ? AC 6 ? 4 2 24 34 ? ? AC 34 68 1
24 34 34
……6 分

即点 A 到平面 A1MC 的距离为 10、

11、证法 1: ∵四边形 ABCD 为矩形,∴ ?AEF ∽ ?CBF , ∴

AF EF AE 1 ? ? ? CF BF BC 2

……………1 分

又∵矩形 ABCD 中, AB ? 1, AD ?

2 ,∴ AE ?
6 2

2 , AC ? 3 2

在 Rt ?BEA 中, BE ?

AB 2 ? AE 2 ?

∴ AF ?

2 6 1 3 , BD ? BE ? AC ? 3 3 3 3
2 2

……………2 分

在 ?ABF 中, AF ? BF ? (

3 2 6 ) ? ( ) 2 ? 1 ? AB 2 3 3
……………4 分 ∴ AC ? GF ∴ AF ? 平面 BEG ……………5 分 ……………6 分

? ∴ ?AFB ? 90 ,即 AC ? BE

∵ GF ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD 又∵ BE ? GF ? F , BE, GF ? 平面 BCE

证法 2:(坐标法)证明 K AC ? K BE ? ?1,得 AC ? BE ,往下同证法 1. (2)在 Rt ?AGF 中, AG ?

AF 2 ? GF 2 ? (

3 2 3 6 ) ? ( )2 ? 3 3 3

在 Rt ?BGF 中, BG ?

BF 2 ? GF 2 ? (

6 2 3 ) ? ( ) 2 ? 1 ………… ……………8 分 3 3

在 ?ABG 中, AG ?

6 , BG ? AB ? 1 3

∴ S ?ABG ?

1 6 30 5 1 6 6 ………………………………10 分 ? ? ? ? 1 ? ( )2 ? ? 2 3 6 6 2 3 6

设点 E 到平面 ABG 的距离为 d ,则

1 1 S ?ABG ? d ? S ?ABF ? GF , 3 3

………………………………11 分

1 2 3 ? ? 1? S ABF ? GF 2 2 3 ? 30 ? ∴d ? 10 S ?ABG 5 6

………………………………12 分

12、

13、 (Ⅰ)证明: ∵ E 、 F 分别是 CD 和 BC 的中点, ∴EF//BD. 又∵ AC ? BD ,∴ AC ? EF , 故折起后有 PH ? EF . 又 (2 分) 所 以 (1 分)

PH ? AH



PH ?





ABFED .

(3 分) (4 分)

又∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PH ? BD , ∵ AH ? PH ? H , AH , PH ? 平面 APH , ∴ BD ? 平面 APH , 又 AP ? 平面 APH ,∴ BD ? AP (Ⅱ)解:∵正方形 ABCD 的边长为 2 2 , ∴ AC ? BD ? 4 , AN ? 2, NH ? PH ? 1 , PE ? PF ∴ ?PBD 是等腰三角形,连结 PN ,则 PN ? BD , PN ? ∴ ?PBD 的面积 S?PBD ?

(5 分) (6 分)

(7 分)

NH 2 ? PH 2 ? 2
(8 分)

1 1 BD ? PN ? ? 4 ? 2 ? 2 2 2 2

设三棱锥 A ? BDP 的高为 h ,则三棱锥 A ? BDP 的体积为

1 2 2h VA? BDP ? S?PBD ? h ? 3 3
由(Ⅰ)可知 PH 是三棱锥 P ? ABD 的高,∴三棱锥 P ? ABD 的体积:

(9 分)

1 1 1 1 1 4 VP ? ABD ? S?ABD ? PH ? ? AB ? AD ? PH ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? (11 分) 3 3 2 3 2 3
∵ VA? BDP ? VP? ABD ,即

2 2h 4 ? ,解得 h ? 2 ,即三棱锥 A ? BDP 的高为 2 . (12 分) 3 3

14、(I)证明:由于四边形 ABCD 为平行四边形,所以 O 为 AC 的中点;连接 PO

? PA ? PC ? AC ? PO ? 平面 PBD ? 平面 PAC ,

———1 分

又? 平面 PBD ? 平面 PAC =PO , AC ? 平面 PAC

? AC ? 面 PBD ? AC ? PB

—————4 分

又? PB ? BD ,且 AC ? BD ? O , AC、BD ? 面ABCD

? PB ? 面 ABCD

—————6 分

(II)解:由(I)知 AC ? 面 PBD ,所以 AC ? BD ,可知底面 ABCD 为菱形; 设 AB ? BC ? a ,又因为 ?BAD ? 60? ,所以 BD ? a , AC ? 3a 因为 ?PAC 为正三角形,所以 PC ? 3a —————7 分

由(I)知 PB ? BC ,从而 ?PBC 为直角三角形,? PB ?

2a —————8 分

1 1 1 6 解得: a ? 1 ———9 分 VP ? ABCD ? S ABCD PB ? ? 3a 2 2a ? 3 3 2 6
所以 PC ? 3 、 CD ? 1 、 PB ?

2
—————10 分

P

? PD ? PB2 ? BD2 ? 3

取 CD 的中点 E ,连接 PE ,可知 PE ? CD

PE ? PC 2 ? CE 2 ?

11 1 11 S PCD ? CD?PE ? 2 2 4

—12 分

A O B

D


C


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