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广东省实验中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学 (理)试题(word)版


广东实验中学 2015—2016 学年(上)高二级选修 2-1 考试 理 科 数 学 命题:先开萍 审定:陈胜方 校对:陈胜方

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡收回。 第一部分选择题(共 60 分) 一、(每题 5 分,共 60 分) 1.在空间中,“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( A.充分不必要条件. C.充要条件. A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 B.必要不充分条件. D.既不充分也不必要条件. ) B.所有能被 2 整除的整 数都不是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 ) )

2.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数 ”的否定是(

3.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确 的是( .. A.若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n C.若 ? ? ? , m / / n 且 n ? ? ,则 m / /?

B.若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , n ? ? 且 m / / n ,则 ? / / ?

4. 已知命题“函数 f ( x), g ( x) 定义在 R 上,h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 如果 f ( x), g ( x) 均为奇函数, 则 h( x) 为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( A.0 B .1 C.2 D.3 )

5.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物线 a 2 b2
)

y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为(
x2 y 2 ? ?1 A. 36 108 x2 y 2 ? ?1 B. 9 27

x2 y 2 ? ?1 C. 108 36

x2 y 2 ? ?1 D. 27 9

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6. 若直线 l : y ? kx ? 1 被圆 C:x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 截得的弦最短, 则直线 l 的方程是 (
2 2



A. x ? y ? 1 ? 0

B. y ? 1

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? 0 ) 2 1 2
正视图 侧视图

7. 已知某锥体的三视图 (单位: cm ) 如图所示, 则该锥体的体积为( A.2 cm
3

B.4 cm

3

C.6 cm

3

D.8 cm

3

?x ? 2 y ? 4 ? 0 y?2 ? 8.若实数 x、 y 满足 ? x ? 0 ,则 z ? 的取值范围 x ?1 ? y?0 ?
为 ( ) A. (??, ?4] ? [ , ??) C. [ ?2, ]

2

2 3

B. (??, ?2] ? [ , ??) D. [ ?4, ]

2 3

俯视图

(第 7 题图)

2 3

2 3

9. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 、F2 , 其一条渐近线方程为 y ? x , 2 b2
) C.0 D.4

点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF PF2 =( 1 · A.-12 B.-2

10.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于 另一条直线的平 面内的轨迹是( A.直线 ) B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

11.如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内 层椭圆引切线 AC,BD,设内层椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,若直线 AC 与 BD 的斜率之积为 a 2 b2
? 1 ,则椭圆的离心率为( 4
1 2
2



A.

B.

2 2

C.

3 2
2 2

D.
2

3 4

12. 设直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A, B 两点, 与圆 ? x ? 5 ? ? y ? r

? r ? 0 ? 相切于点 M,


且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是(

3? A. ?1,

4? B. ?1,

3? C. ? 2,

4? D. ? 2,

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第二部分非选择题(90 分) 二、 填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为_______ _. 1 2 14 .已知 p:(x-m+1)(x-m-1)<0;q: <x< ,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 2 3 的取值范围是________________.

4) 15. 已知抛物线 C: y 2 ? 12x 与点 M( - 3, , 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两
点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k 的值为 16.已知 F 双曲线 x ?
2

.

y2 ? 1 的右焦点, P 在双曲线的左支上, A(0, ,当 ?APF 的周 6 6) 8
.

长最小值时,该三角形的面积为

三、解答题(共 6 大题,共计 70 分) 17. (本题 10 分) 已知 m∈R, 直线 l: mx ? (m2 ? 1) y ? 4m 和圆 C:x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 . (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,若 ?ABC 的面积为

8 ,求直线 l 的方程. 5

18. (本题 10 分)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车 和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载 且只能送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆 乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元,问该公司如何合理计划当天派用两类 卡车的车辆数,可得最大利润?并求出最大利润.

19. (本题 12 分)在五棱锥 P-ABCDE 中,PA=AB=AE=2a,PB=PE=2 2 a, BC=DE=a,∠EAB=∠ABC=∠DEA=90° . (1)求证:PA⊥平面 ABCDE; (2)求二面角 A-PD-E 的正弦值.

P

A D B C

E

第 19 题图 高考提分,学霸之路 www.dz101.com

20 . (本题 12 分)已知 A 、 B 、 C 是椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1上的三个点, O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. y

O

x

21. (本题 12 分)如图,M 是抛物线上 y ? x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B
2

两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; ( 2)若 M 为动点,且∠EMF=90° ,求△ EMF 的重心 G 的轨迹.

P 的轨迹为 E . 22.(本题 14 分)已知 F ,F ,点 P 满足 PF ( ) ( ) 1 - 2,0 2 2,0 1 ? PF 2 ? 2 ,记点
(1)求轨迹 E 的方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P 、 Q 两点 . (i)无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 M (m,0) ,使 MP ? MQ 恒成立,求 实数 m 的值. (ii)在(i)的条件下,求 ?MPQ 面积的最小值.

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广东实验中学 2015—2016 学年(上)高二级选修 2-1 考试 数 学(理科)答案及评分标准 一、选择题 1~12 BDBCB AABCD CD 二、填空题 1 3? 13. x2+y2=2 14. ? ?-3,2? 三、解答题 17.(本题 10 分)

15.

3 2

16. 12 6

m 4m m x? 2 ,直线 l 的斜率 k ? 2 ,——2 分 m ?1 m ?1 m ?1 m 1 2 1 ≤ ,当且仅当 m ? 1 时等号成立. 因为 m ≤ ( m ? 1) ,所以 k ? 2 2 m ?1 2 ? 1 1? 所以,斜率 k 的取值范围是 ? ? , ? . ——4 分 ? 2 2? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,其中 k ≤ . 2 ? 2) ,半径 r ? 2 . 圆 C 的圆心为 C (4, ——5 分 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d ? . ——6 分 1? k 2
解: (Ⅰ)直线 l 的方程可化为 y ?
2

(

AB 2

)2 ? r 2 ? d 2 ? 4 ?

4k 4 ? AB ? , 2 1? k 1? k2

——8 分

? S?ABC ?

1 4|k | 8 1 4k 2 8 ? ,解得 k ? ? ? ? ? ,? 2 2 1? k 5 2 1? k2 1? k2 5

——9 分

所求的直线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 y ? 2 ? 0 18.(本题 10 分) 解:设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为 x , y

——10 分

——1 分

? x ? y ? 12 ? ?2 x ? y ? 19 ? 则根据条件得 x , y 满足的约束条件为 ?10 x ? 6 y ? 72 ——4 分 ? x ? 8, y ? 7 ? ? ? ? ?x ? N , y ? N
目标函数 z ? 450 x ? 350 y . 作出约束条件所表示的平面区域如图,——7 分

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然后平移目标函数对应的直线 450 x ? 350 y ? 0 (即 9 x ? 7 y ? 0 )知, 当直线经过直线 x ? y ? 12 与 2 x ? y ? 19 的交点(7,5)时, 目标函数取得最大值,即 z ? 450 ? 7 ? 350 ? 5 ? 4900 ——9 分

答:该公司派用甲、乙型卡车的车辆数分别 7 辆和 5 辆时可获得最大利润 4900 元.—10 分 19. (本题 12 分) (1)在△PAB 中,PA=2a,PB=2 2 a,AB=2a ∴PB2=PA2+AB2 ∴PA⊥AB ——2 分

在 ?PAE 中,PA=2a,PE=2 2 a,AE=2a ∴PE2=PA2+AE2 ∴PA⊥AE ——4 分

又 AB∩AE=A,AB ? 平面 ABCDE,AE ? 平面 ABCDE ∴PA⊥平面 ABCDE ——6 分

(2)过 E 作 EH⊥AD 于 H,过 H 作 HF⊥PD 于 F,连 EF,则 EH⊥平面 PAD,EF⊥PD ∴∠EFH 为二面角 A-PD-E 的平面角 又在 Rt△AED 中,EH·AD=AE·DE ? EH= 在 Rt△PDE 中, ,EF·PD=DE·PE ? EF= ∴sin∠EFH= ——8 分

2 5

a

——9 分

2 3

2 a,

——10 分

3 EH = 10 10 EF 3 10 10
——12 分

故二面角 A-PD-E 的正弦值为 20.(本题 12 分) 解:(I)椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1的右顶点 B 的坐标为(2,0).因为四边形 OABC 为菱形, 4
1 ? m2 ? 1 , 4
——2 分

所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 A(1, m ),代入椭圆方程得 即m ? ?

3 . 2
1 1 | OB | ? | AC |? ? 2 ? 2 | m |? 3 . 2 2

所以菱形 OABC 的面积是

——4 分

法一、(II)当 B 不为顶点时,不妨设 A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则

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2 2 ? ? x1 ? 4 y1 ? 4 ? 2 2 ? ? x2 ? 4 y2 ? 4

两式相减, k AC ? ?

x1 ? x2 , 4( y1 ? y2 )

——7 分

令 AC 中点 M ( x0 , y0 ) ,则

k AC ? ?

x0 ( x0 ? 0, y0 ? 0, ) , 4 y0
x0 y0 1 ? ? ? ? ?1 , 4 y0 x0 4

——10 分

则 k AC ? kOM ? ?

——11 分 ——12 分

故四边形 OABC 不可能是菱形.

法二、(II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点, 所以可设 AC 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) . ——5 分

由?

? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? y ? kx ? m

消去 y 并整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 . ——7 分

x1 ? x2 y ? y2 x ?x 4km m ?? ?k? 1 2 ?m? , 1 .——9 分 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 m 4 km 所以 AC 的中点为 M( ? , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为 ? . ——10 分 4k 1 ) ? ?1 , 因为 k ? ( ? ——11 分 4k
设 A ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则 所以当点 B 不是 W 的顶点时 ,四边形 OABC 不可能是菱形. 21.(本题 12 分)
2 解: (1)设 M(y 0 ,y0) ,直线 ME 的斜率为 k(l>0)
2 则直线 MF 的斜率为-k,方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 ).
2 ? ? y ? y0 ? k ( x ? y 0 ) ,消 x得ky2 ? y ? y0 (1 ? ky0 ) ? 0 2 ? ?y ? x

——12 分

——1 分 ——2 分

∴由 ?

——3 分

解得 yF ?

1 ? ky0 (1 ? ky0 ) 2 ,? xF ? k k2

——5 分

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∴ kEF

1 ? ky0 1 ? ky0 2 ? y ? yF 1 k ?k (定值) ? E ? ? k ?? 2 2 ? 4 ky xE ? xF (1 ? ky0 ) (1 ? ky0 ) 2 y0 0 ? k2 k2 k2

——6 分

所以直线 EF 的斜率为定值. (2) 当?EMF ? 90?时, ?MAB ? 45? , 所以k ? 1,
2 直线 ME 的方程为 y ? y0 ? ( x ? y0 )
2 ? ? y ? y0 ? x ? y0 由? 得 E((1 ? y0 )2 ,1 ? y0 ) 2 ? ?y ? x

——7 分

——8 分

同理可得 F ((1 ? y0 )2 , ?(1 ? y0 )).

——9 分

2 2 ? ? (1 ? y0 ) 2 ? (1 ? y0 ) 2 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF y0 x ? ? ? ? ? 3 3 3 ——10 分 设重心 G(x, y) ,则有 ? ? x ? xM ? xE ? xF ? y0 ? (1 ? y0 ) ? (1 ? y0 ) ? ? y0 ? 3 3 3 ?

2 消去参数 y0 得 y ?

1 2 2 x ? ( x ? ). 9 27 3

——12 分

22. (本题 14 分) 解: (1)由 | PF 1 | ? | PF2 |? 2 ?| F 1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1、F2 为焦点的双曲线右支,
2 由 c ? 2, 2a ? 2, ? b ? 3 ,故轨迹 E 的方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ? 1). 3

——3 分

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,与双曲线方 程联立消 y 得 (k ? 3) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2

?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? ? ? x ? x ? 4k ? 0 1 2 k2 ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 k ?3 ?

解得 k2 >3

——5 分

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(i)? MP ? MQ ? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? y1 y2

? ( x1 ? m)(x 2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ? (2k 2 ? m)(x1 ? x 2 ) ? m 2 ? 4k 2 (k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) 4k 2 ( 2k 2 ? m) ? ? m 2 ? 4k 2 2 2 k ?3 k ?3 2 3 ? (4m ? 5)k ? ? m 2 .???????? 7分 2 k ?3 ?

? MP ? MQ,? MP ? MQ ? 0 ,
2 2 2 故得 3(1 ? m ) ? k (m ? 4m ? 5) ? 0 对 任意的 k ? 3 恒成立,
2
2 ? ?1 ? m ? 0 ?? 2 , 解得m ? ?1. ∴当 m =-1 时,MP⊥MQ. ? m ? 4 m ? 5 ? 0 ?

当直线 l 的斜率不存在时,由 P(2,3), Q(2,?3)及M (?1,0) 知 结论也成立, 综上,当 m =-1 时,MP⊥MQ. (ii)由(i)知, M (?1, 0) ,当直线 l 的斜率存在时, ——8 分

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 6

1? k2 , k2 ? 3

M 点到直线 PQ 的距离为 d ,则 d ?

3k 1? k2
——10 分

∴ S?MPQ ?

k 1? k2 (1 ? k 2 )k 2 1 (1 ? k 2 )k 2 PQ d ? 9 ? 9 ? 9 2 k2 ? 3 k2 ? 3 (k 2 ? 3)2
1 12 7 ? ? 1 ,因为 ? 0 2 t t t

令 k ? 3 ? t (t ? 0) ,则 S?MPQ ? 9
2

所以 S?MPQ ? 9

12 7 ? ?1 ? 9 t2 t
1 ?3? 6 ? 9 2

——12 分

当直线 l 的斜率不存在时, S ?MPQ ?

——13 分 ——14 分

综上可知 S?MPQ ? 9 ,故 S?MPQ 的最小值为 9.

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