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3.2 简单的三角恒等变换(3个课时)1


3.2 简单的三角恒等变换(3 个课时)
一、课标要求: 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中 的应用. 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、 分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及 变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提 高学生的推理能力. 三、教学目标 通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程 中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使 用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 四、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式 的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三 角变换的特点,提高推理、运算能力. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高 从整体上把握变换过程的能力. 五、学法与教学用具 学法:讲授式教学 六、教学设想: 学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具,从而使三角变换的 内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能力提供了新的平台.下面我们以习题 课的形式讲解本节内容. 例 1、试以 cos? 表示 sin
2

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2

?
2



解:我们可以通过二倍角 cos ? ? 2 cos 因为 cos ? ? 1 ? 2sin 因为 cos ? ? 2 cos
2 2

2

?
2
2

? 1 和 cos ? ? 1 ? 2sin 2
? 1 ? cos ? ; 2 1 ? cos ? . 2

?
2

来做此题.

?
2

,可以得到 sin

?
2

?
2

? 1 ,可以得到 cos 2

?
2

?

又因为 tan

2?

2

?

2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2

sin 2

?

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差 异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换 的重要特点. 例2、求证: (1) 、 sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?

(2) 、 sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



证明: (1)因为 sin ?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? 是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着 手.

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
两式相加得 2sin ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ; 即 sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?

(2)由(1)得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ①;设 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , 那么 ? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2



把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin ? ? 2sin 思考:在例2证明中用到哪些数学思想?

? ??
2

cos

? ??
2



例2

证明中用到换元思想, (1)式是积化和差的形式, (2)式是和差化积的形式,在后

面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式. 例3、求函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期,最大值和最小值. 解: y ? sin x ? 3 cos x 这种形式我们在前面见过,

?1 ? 3 ?? ? y ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin x ? cos x ? 2sin ? x ? ? , ? ?2 ? 2 3? ? ? ?
所以,所求的周期 T ?

2?

?

? 2? ,最大值为2,最小值为 ?2 .

点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用. 小结:此节虽只安排一到两个课时的时间,但也是非常重要的内容,我们要对变换过程中体 现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用. 作业:

P 157 ? P 158

T1 ? T4


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