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【章】向量及三角函数综合题


教学课题

向量

教学目标

重点、难点

1.掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用; 2.掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、 求值域、求单调区间等问题中的应用. 3.理解和掌握平面向量有关的概念; 4.熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算; 5.熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用; 6.明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用; 1.向量的综合应用。 2.用向量知识,实现几何与代数之间的等价转化。 3.三角函数图象与性质的应用
教学内容

三角函数与平面向量综合题的六种类型
题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例 1】(2007 年高考安徽卷)已知 0 ? ? ?

?
4

, ? 为 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
8

) 的最小正周期,

a ? (tan(? ?

?
4

), ?1), b ? (cos ? , 2), a ? b ? m ,求

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 的值. cos ? ? sin ?

题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 【例 2】 (2006 年高考浙江卷)如图,函数 y ? 2sin(? x ? ? ), x ? R (其中 0 ? ? ? 于点(0,1) 。 ? (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点,求 PM 与 PN 的夹角。

?
2

)的图像与 y 轴交

题型三:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 3】(山东卷)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

题型四:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例 4】(2007 年高考陕西卷) f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m,cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2x,1) , x ? R ,且 函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( (Ⅰ)求实数 m 的值;

?
4

, 2) .

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。

题型五:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法
?x π? ? ? ? 【例 5】 (2007 年高考湖北卷)将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?2 ? 平移,则平移后所得图象的解析 ?3 6? ? 4 ? 式为( ) ?x ?? ?x π? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ?x π ? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 3 12 ? ? ? 3 12 ?

题型六:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 【例 6】 (2006 年高考湖北卷)设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ?

3 成立的 x 的取值集. 2

【跟踪训练】 1.设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x), b ? (sin x, ?3cos x) ,

c ? (? cos x,sin x), x ? R .
(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的

d.

2.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ;

?
2

?? ?

?
2



(Ⅱ)求 a ? b 的最大值.


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