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东北三校2013届高三第二次高考模拟考试 文科数学


2013 年三省三校第二次联合考试文科数学答案
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.B 2.D 3.A 4.C 7.C 8.C 9.D 10.B 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.
[ 0 ,4 ]

5.B 11.A
1 2

6.A 12.B

14.

5 3

15. 7

16.

三.解答题

17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由条件,
f ( x ) ? sin( 2 ( x ?

?
6

)) ? sin( 2 x ? 2? 2

?
3

)

??2 分 ??4 分
?
3 ? 7? 3 ,? 2 A ?

所以, 函数 (Ⅱ)由 8分
?
f ( A) ? 3 2

f (x)

的最小正周期为
?
3 ) ? 3 2

? ?

得 sin(

2A ?

,?

?
3

? 2A ?

?
3

?

2? 3

,? A ?

?
6

??

a sin A

?

c sin C

,? sin

2

?
6

?

1 sin C

,

? sin C ?

2 4



? a ? c ,? C ?

?
2

, ? cos C ?

14 4

,

??10 分
1 2 ? 14 4 ? 3 2 ? 2 4 ? 14 ? 8 6

? sin B ? sin( ? ? A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?

?

?12 分 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ 1 0 0 0 ? 5 % ? 5 0 ,由甲图知,甲组有 4 ? 1 0 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 0 (人) ,∴乙组 有 20 人. 又∵ 4 0 ? 6 0 % ? 2 4 ,∴甲组有 1 人、乙组有 (0 .0 6 2 5 ? 0 .0 3 7 5) ? 4 ? 2 0 ? 8 人符合要 求,
(1 ? 8) ? 5 % ? 1 8 0 (人) ,即估计 1000 名学生中保持率大于等于 60%的人数为 180

人.??4 分 (Ⅱ)乙组准确回忆音节数在 [ 8 ,12 ) 范围内的学生有 0 . 0125 ? 4 ? 20 =1 人,记为 a , [12 ,16 ) 范围 内的学生有 0 . 025 ? 4 ? 20 ? 2 人,记为 A , B , [16 , 20 ) 范围内的学生有 2 人,记为 C , D 从这五人中随机选两人,共有 10 种等可能的结果:
( a , A ), ( a , B ), ( a , C ), ( a , D ), ( A , B ), ( A , C ), ( A , D ), ( B , C ), ( B , D ), ( C , D )

记 “两人均能准确记忆 12 个 (含 12 个) 以上” 为事件 E , 则事件 E 包括 6 种可能结果:
( A , B ), ( A , C ), ( A , D ), ( B , C ), ( B , D ), ( C , D )

故 P(E )

?

6 10

?

3 5

,即两人均准确回忆 12 个(含 12 个)以上的概率为

3 5

??10 分 个

(Ⅲ)甲组学生准确回忆音节数共有:2 ? 4 ? 6 ? 10 故甲组学生的平均保持率为
1 40 ? 288 30 ? 1 40

? 10 ? 8 ? 14 ? 4 ? 18 ? 2 ? 22 ? 1 ? 26 ? 1 ? 288

? 9 . 6 ? 24%

乙组学生准确回忆音节数共有:
( 6 ? 0 . 0125 ? 10 ? 0 . 0125 ? 14 ? 0 . 025 ? 18 ? 0 . 025 ? 22 ? 0 . 075 ? 26 ? 0 . 0625 ? 30 ? 0 . 0375 ) ? 4 ? 432
1 40 432 20 1 40

故乙组学生平均保持率为

?

?

? 21 . 6 ? 54% ? 24%

所以从本次实验结果来看,乙组临睡前背单词记忆效果更好. ??12 分 (回答 2 1 .6 ? 9 .6 等,也可给分) 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? A E ? B E , M P // B E ? M P ? A E ??2 分

又? B C ? 平面 A B E , A E ? 平面 A B E ,? B C ? A E ? N 为 D E 的中点, P 为 AE 的中点, ? NP // AD ,
? AD // BC ,? NP // BC , ? N P ? A E ,

E P A N M B

??4 分

又? N P ? M P ? P , N P , M P ? 平面 P M N
D C

? AE ? 平面 MNP ,? MN ? 平面 MNP ,? AE ? MN

??6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 MP

? AE

,且 MP

?

1 2

BE ?

1 2

? A D // B C ,? A D ? 平 面 A B E , ? MP ? 平面 ABE , ? AD ? MP ,
? AD ? AE ? A , AD , AE ? 平面 ADNP

, ? MP

? 平面 ADNP

??8 分

? A D // B C ,? A D ? 平 面 A B E , ? AD ? AP ,

又?

NP // AD , ? 四边形 ADNP

为直角梯形
1 2
? 1 3

??10 分

(

1 2

? 1) ? 2

3 2 ? 3 3 8

? S 梯 ADNP

?

, MP

?

,
1 3 ? 3 3 8 ? 1 2 ? 3 16

?

四棱锥 M ? ADNP 的体积 V

S ADNP ? MP ?

??12 分

20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)不妨设 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ), B1 (0, b ),
???? ????? ? 2 2 B1 F 1 ? B1 F 2 ? ? c ? b ? ? 2 ? c ?
x
2

| B 1 F1 ? B 1 F1 | ? 2 b ? 2 ,? b ? 1

??1 分

3 ,? a ? 2

??3 分

所以椭圆方程为

? y

2

?1

??4 分

4

(Ⅱ)①当直线 l 1 与 x 轴重合时, 设 A ( ? 2 , 0 ), B ( 2 , 0 ), C (1, 分 ②当直线 l 1 不与 x 轴重合时,设其方程为 x ? my ? 1 ,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 由? 6分
? AC ? DB ? ( MC ? MA ) ? ( MB ? MD ) ? ? MC ? MD ? MA ? MB

3 2

), D (1, ?

3 2

)

? ? 则 AC ? DB ? 3 ?1 ? 2 2 4 ,

???? ????

3

3

15

??5

? x ? my ? 1 ?x
2

? 4y

2

? 4

得 ( m ? 4 ) y ? 2 my ? 3 ? 0 , y 1 ? y 2 ?
2 2

? 2m m
2

? 4

, y1 y 2 ?

?3 m
2

? 4

??

MA ? ( x 1 ? 1, y 1 ) ? ( my 1 , y 1 ), MB ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ? ( my 2 , y 2 )

? ? MA ? MB ? ? ( m

2

? 1) y 1 y 2 ?

3( m m
2

2

? 1) ?4

由 l 2 与 l1 垂直知: ?

MC ? MD ?

3 (1 ? m ) 1 ? 4m
2

2

? AC ? DB ? ? MC ? MD ? MA ? MB ? 3( m m
2 2

? 1) ? 4
2

?

3 (1 ? m ) 1 ? 4m
2

2

? (m

15 ( m
2

2

? 1)

2 2

??10 分

? 4 )( 1 ? 4 m )

?

15 ( m

? 1)

2 2

?

12 5

? 5m 2 ? 5 ? ? ? ? ? 2 ? ?

当且仅当 m 综合①②,

? ? 1 取到“=”.

???? ???? 12 ( A C ? D B ) m in ? 5
1? a x
2

??12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)
f '(x) ? a ? , g'(x) ? 1 x

由题设知 x 0
? ax 0
2

? 0

,且

f ' ( x 0 ) ? g ' ( x 0 ) ,即 a ?

1? a x0
2

?

1 x0

, ??2 分

? x 0 ? 1 ? a ? 0 ,? a ( x 0

2

? 1) ? (1 ? x 0 ) ? 0

因为上式对任意实数 a 恒成立,? ? 故,所求 x 0
?1

? 2 ? x 0 ? 1 ? 0, ? 1 ? x0 ? 0. ?

??4 分

??5 分
? a ?1 x ? ln x ? 1 ,

(Ⅱ) f ( x ) ? g ( x ) ? 1 即 ax 方法一:在 x ? (0, ? ? ) 时 ax 故a
?1

?

a ?1 x

? ln x ? 1 恒成立,则在 x ? 1 处必成立,即 a ? a ? 1 ? 0 ? 1 ,

是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的必要条件.
?1
1 x

??7 分 上, h ( x )
?1

另一方面,当 a
h'(x) ? a ? 1? a x
2

时,记 h ( x )
? ax
2

? ax ?

a ?1 x

? ln x , 则在 ( 0 , ?? )

?

? x ?1? a x
2

?

( ax ? a ? 1 )( x ? 1 ) x
2

??9 分

? a ? 1, x ? 0 ,? ax ? a ? 1 ? 0

? x ? ( 0 ,1 )

时 h'( x) ?

0

, h ( x ) 单调递减; x ? (1, ? ? ) 时 h ' ( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增

? h ( x ) min ? h (1 ) ? 2 a ? 1

? a ?1

,? 2 a

?1?1

,即 h ( x )

?1

恒成立 ??11 分

故a

?1

是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的充分条件.

综上,实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ? 方法二:记 h ( x )
? ax ? a ?1 x

??12 分 上, h ( x )
1 a x
2

? ln x , 则在 ( 0 , ?? )

?1

h'(x) ? a ?

1? a x
2

?

1 x

?

ax

2

? x ?1? a x
2

a(x ? 1 ? ?

)( x ? 1 ) ( x ? 0, a ? 0)

??7 分
h (1 ) ? 2 a ? 1 ? 0

① 若0 ? a ?

1 2

,? 1 ?

1 a

? 1

, x ? (0 ,1) 时, h ' ( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增, h ( x ) ? 矛盾;
? 1 , (1, ?? ) a



这与 ( 0 , ?? ) 上 h ( x ) ② 若
1 2 ? a ? 1

?1

??8 分 上 h'( x) ?
0 , h ( x ) 递增,而 h (1 ) ? 2 a ? 1 ? 1 ,

, 0 ? ?1 ? 1
?1

这与 ( 0 , ?? ) 上 h ( x ) ③若 a
?1

矛盾;??9 分
x ? ( 0 ,1 )

,? 1 ?

1 a

? 0

,?

时 h'( x) ?

0

, h ( x ) 单调递减; x ? (1, ? ? ) 时 h ' ( x ) ? 0 , h ( x )

单调递增 ,即 h ( x ) 综上,实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ?
? h ( x ) min ? h (1 ) ? 2 a ? 1 ? 1
?1

恒成立 ??11 分 ??12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 BE. ∵BC 为⊙O 的切线 ∴∠ABC=90° ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠AEB=90° ∴∠DBE+∠OBE=90° ,∠AEO+∠OEB=90° ∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB ∴∠DBE=∠AEO ∵∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠CBE, ∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE , ∴
CE CB ? CD CE

……2 分 ……4 分

∴CE =CD·CB

2

……6 分 ……8 分 ……10 分

(Ⅱ)∵OB=1,BC=2 ,∴OC= 5 , ∴CE=OC-OE= 5 -1 由(Ⅰ)CE
2 2 =CD?CB 得( 5 -1) =2CD,∴CD=3- 5

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)直线 l : 2 ? c o s (? ?
?
6 )? 3 ,即
3 ? co s ? ? ? sin ? ? 3,

? 直线 l 的直角坐标方程为 3 x ? y ?
?

3,

点 P (0, 3 ) 在直线 l 上.

??5 分

1 ? x ? ? t, ? ? 2 (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? 3 ?y ? 3 ? t ? 2 ?

( t 为参数) ,曲线 C 的直角坐标方程为

x

2

?

y

2

?1

5

15

将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,

有 3( ?

1 2

t) ? ( 3 ?
2

3 2

t ) ? 1 5,? t ? 2 t ? 8 ? 0 , ? ? 36 ? 0 ,设方程的两根为 t1 , t 2 ,
2 2

? P A ? P B ? t1 t 2 ? t1 t 2 ? ? 8 ? 8

??10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)原不等式等价于 2 x ? 7 ? 1 ? x ? 1 当 x ? 1 时, ? ( 2 x ? 7 ) ? 1 ? ? ( x ? 1) ,解得 x ? 7 ? x 不存在; 当1 ? x ?
7 2 7 2

时, ? ( 2 x ? 7 ) ? 1 ? ( x ? 1) ,解得 x ? 3 ? 3 ? x ?
7 2 ? x ? 5.

7 2 ;

当x ?

时, ( 2 x ? 7 ) ? 1 ? ( x ? 1) ,解得 x ? 5 ? ??5 分 与函数 y
? ax

综上,不等式的解集为 ?3 ,5 ? (Ⅱ) 方法一:由函数 y 当且仅当 a ?
2 7
? f (x)

的图象可知,

或 a ? ? 2 时,函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? ax 的图象有交点,
2 7 , ?? )

故存在 x 使不等式 f ( x ) ? a x 成立时, a 的取值范围是 ( ?? , ? 2 ) ? [ 方法二: f ( x ) ? a x 即 2 x ? 7 ? 1 ? ax (ⅰ)当 x ? 若a 若a
?2 ? 0

??10 分



7 2

, ( a ? 2 ) x ? 6 ? 0 能成立 ,
? 2) x ? 6 ? 7 2 ? 2) x ? 6 ? 7 2 (a ? 2) ? 6 (a ? 2) ? 6 ? 6 ? 0 7 2

,则 ( a ,则 ( a

,? a

? 2

满足条件; 解得:
2 7 ? a ? 2

?2 ? 0

,由

(a ? 2) ? 6 ? 0

.

?a ?

2 7 7 2

??7 分 时, ( a ? 2 ) x ? 8 ? 0 能成立 ,
? 8 a ? 2

(ⅱ)当 x ? 若a 若a 若a
? 2 ? 0

,则在 x ,则 ( a ,则 ( a

时就有 ( a

? 2) x ? 8 ? 0

,? a

? ?2

满足条件;

? 2 ? 0

? 2) x ? 8 ? ?8 ? 0

,? a

? ?2

不满足条件;
7 2 (a ? 2) ? 8 ? 0

?2 ? 0

? 2) x ? 8 ?

7 2

(a ? 2) ? 8

由 ,

,解得 a

?

2 7

.

?a ?

2 7

或 a ? ?2 . 2 7

??9 分

综上, a ?

或 a ? ?2 .

即 a 的取值范围是 ( ?? , ? 2 ) ? [

2 7

, ?? )

??10 分

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