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2015级高数(上)试卷A及答案(1)


武汉理工大学考试试卷(A 卷)
2015 ~2016 学年 1 学期
… … … … 试 卷 装 订 线 … … … … … … 装 订 线 内 不 要 答 题 , 不 要 填 写 考 生 信 息 … … … … … … 试 卷 装 订 线 … … … …
题号 满分 得分 名 姓 得分 一、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分) ) 。 一 15 二 15 三 56

高等数学 A(上) 课程
四 8 五 6

任课教师 ....
合计 100

1、当 x ? 0 时,与 (1 ? cos x) ln( 1 ? x 2 ) 是等价无穷小的是(

( A)

1 4 x 2

1 ( B) x3 2

(C ) x 4

( D)2 x 4

2、 单调函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 二阶可导, 且 f (1) ? 2, f ' (1) ? 2, f ' ' (1) ? 3 , 则 学 号

d 2x dy 2

?(
y ?2

) 。

(A)

3 4

(B) ?
x x ?1

3 4

(C)

3 8

(D) ?

3 8

3、曲线 y ? e (A) 0

的渐近线有( (C) 2 (D) 3

)条。 ) 。

(B) 1

4、 设函数 f ( x), g ( x) 在 x ? x0 二阶可导, 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0, f ' ( x0 ) g ' ( x0 ) ? 0 , 则 ( (A) x0 不是 f ( x) g ( x) 的驻点; 专业班级 (B) x0 是 f ( x) g ( x) 的驻点,但不是 f ( x) g ( x) 的极值点; (C) x0 是 f ( x) g ( x) 的驻点,且是 f ( x) g ( x) 的极小值点; (D) x0 是 f ( x) g ( x) 的驻点,且是 f ( x) g ( x) 的极大值点。 5、 在[0,1]内 f (0) ? g (0) ? 0, f (1) ? g (1) ? a ? 0, 且f ' ' ( x) ? 0, g ' ' ( x) ? 0 ,I 1 ?

?

1

0

f ( x)dx ,

I 2 ? ? g ( x)dx, I 3 ? ? axdx,则这三个积分的大小关系是(
0 0

1

1

) 。

( A) I1 ? I 2 ? I3
学院

( B) I3 ? I 2 ? I1

(C)I 2 ? I3 ? I1

(D)I 2 ? I1 ? I3

1

得分

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分) ,则 f ( x) 在 x ? 0 连续。

x 的可去间断点,若定义 f (0) ? sin ?x 2、若函数 y ? x 2 sin x 则 y (3) (0) ? 。
1、已知 x ? 0 是函数 f ( x ) ? 3、已知 cos x 是 f ( x) 的一个原函数,则 xf ' ( x ) dx ?
2

?



4、设函数 f ( x ) 可导,且 f ' (1) ? 0.5 ,则 y ? f ( x ) 当自变量 x 在 x ? ?1 处取得增量 ?x ? ?0.1 时, 相应的函数的微分 dy ? 5、曲线 y ? 。 。

2 3/ 2 x 上相应于 0 ? x ? 3 的一段弧的弧长等于 3
三、求解下列各题(本题共 8 小题,每小题 7 分)
x 0

得分

? 1、若 f ( x) 在 x ? 0 的某邻域内连续,求 lim
x ?0

( x ? t ) f (t )dt x t an x

d2y 2、求由方程 y ? 1 ? xe 确定的隐函数 y ? f ( x) 的二阶导数 dx2
y

x ?0

2

3、函数 y ? f ( x) 由参数方程 ?

? x ? t ? sin t d2y 确定,求 dx 2 ? y ? 1 ? cost

4、求不定积分

xe x ? (1 ? e x ) 2 dx

5、求反常积分

?

2

xdx x ?1

1

3

6、若 f ( x) 是 (??,??) 上周期为 4 的可导函数, f (1) ? 0 ,且 lim
h ?0

f (1 ? h) ? f (1 ? h) ? ?4 ,求曲线上 h

点 (5, f (5)) 处的切线方程。

7、已知 f ( x) ?

?

1

0

x ? t dt ,求 f ( x) 在 [0,2] 内的表达式。

8、已知 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? a ,其中 a 为实数,问 a 为何值时,函数 f ( x) 恰有三个零点。

4

得分

四、应用题(本题 8 分)

记由抛物线 y ? ax2 ? (2 ? a) x (a ? 0) 与 x 轴围成的平面图形为 D,问 a 为何值时,平面图形 D 的面 积最小。

5

得分

五、证明题(本题 6 分)

设 f ( x) 在 [0,2] 上连续,在 (0,2) 内可导,且 2 f (0) ? (1) ?? ? (0,2) ,使 f (? ) ? f (0) ;

?

2

0

f ( x)dx 。证明:

(2)对任意实数 ? , ?? ? (0,2) ,使 f ' (? ) ? ? ( f (? ) ? f (0)) ? 0

6

标准答案:一、ADCDC。 二、1、

1

?
x



2、6; 3、 ? x sin x ? cos x ? C ;
x

4、0.1; 5、14/3。

三、1、解:原式 = lim
x ?0

x ? f (t )dt ? ? tf (t )dt
0 0

x2

? (2分) ? lim
x ?0

x

0

f (t )dt 2x
y

1 1 (4分) ? lim f ( x) ? f (0) 2 x ?0 2
……..7 分 …………3 分 ………….7 分

2、解: x ? 0时,y ? 1 。

dy e e dy ? ? ? ?e y dx 1 ? xe 2? y dx x?0

y

d 2 y e y (2 ? y) ? e y dy d2y ? ? ? dx dx2 (2 ? y ) 2 dx2
3、解:

? 2e 2
x ?0

dx dy dy sin t t ? 1 ? cos t , ? sin t ? ? ? cot , ……………….3 分 dt dt dx 1 ? cos t 2 1 t ? csc 2 d2y d t dt 1 2 ?? ? (cot ) ? ? 2 ……………..7 分 2 dt 2 dx 1 ? cost dx (1 ? cost ) 2 1 x 1 )( 3分) ?? ?? dx (5分) 4、解:原式= ? xd (? x x 1? e 1? e 1? ex x e?x x ??? dx ? ?( ? ln(1 ? e ? x )) ? C …………..7 分 x ?x x 1? e 1? e 1? e

2 8 2 (3分) ? (x ? 1) 2 1 ? 2 x ?1 ? 5、解:原式= ? x ? 1dx ? ? ….7 分 1 1 3 3 x ?1 1 6、解:由表达式可知 f (1) ? 0 ? f (5) ? 0 . …………….2 分。 f (1 ? h) ? f (1 ? h) f (1 ? h) ? f (1) f (1 ? h) ? f (1) lim ? lim ? lim x ?0 h ?0 又因为 h?0 h h ?h ? 2 f ' (1) ? ?4 ? f ' (1) ? ?2 ? f ' (5) ? ?2
2 2

dx

3

2

则曲线在点 (5,0) 处的切线方程为 y ? ?2 x ? 10 7、解:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ?
1

………………..5 分 …………………7 分
1 x

?

x

0

( x ? t )dt ? ? (t ? x)dt ? x 2 ? x ? 1

1 。 。 。2 分 2

? ( x ? t )dt ? x ? 2
0

………………5 分



1 ? 2 x ? x ? ,0 ? x ? 1 ? ? 2 f ( x) ? ? ?x ? 1 , 1? x ? 2 ? 2 ?

……………..7 分

… … … … 试 卷 装 订 线 … … … … … … 装 订 线 内 不 要 答 题 , 不 要 填 写 考 生 信 息 … … … … … … 试 卷 装 订 线 … … … …

7

8、解:令 f ' ( x) ? 3( x ? 3)(x ? 1) ? 0 得驻点 x ? ?3, x ? 1 。 。 。 。 。 。 。2 分 x -3 (-3,1) 1 (??,?3) 0 ? f ' ( x) 增 极大值 27+a 减 f ( x) 又 lim f ( x) ? ?? , lim f ( x) ? ?? , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分
x ? ?? x ? ??

(1,??)
+ 增

0 极小值-5+ a

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所以当 27 ? a ? 0,?5 ? a ? 0 ? ?27 ? a ? 5 时, f ( x) 恰有三个零点。

……..7 分

四、解:抛物线与 x 轴的交点坐标为 (0,0), ( 则

a?2 a?2 ,0) (这里 ? 0 )……..2 分 a a a ?2 (2 ? a) 3 S (a) ? ? a (ax2 ? (2 ? a) x)dx ? …………….5 分 0 6a 2

令 S ' (a) ? ?

(2 ? a) 2 (a ? 4) ? 0 得唯一驻点 a ? ?4 且取极小值,故当 a ? ?4 时,平面图形 6a 3
9 4
……..8 分
x

的面积最小,为 S ( ?4) ?

五、证明: (1)设 F ( x) ?

?
2

0

f (t )dt ,则 F ( x) 在[0,2]上连续,在(0,2)上可导。由拉格朗

日定理可知: ?? ? (0,2) ,使 。 。 。 。 。 。3 分 F (2) ? F (0) ? ? f ( x)dx ? 2F ' (? ) ? 2 f (? ) ? f (? ) ? f (0) 。
0

(2)记 G( x) ? e ( f ( x) ? f (0)) ,则 G(0) ? G(? ) ? 0 ,由罗尔定理: ?? ? (0,? ) ? (0,2) 使 G '(? ) ? 0 ? f '(? ) ? ? ( f (? ) ? f (0)) ? 0 . …………..6 分

?x

8

9


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