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高三数学下学期第三次模拟考试试题 理(包头一中三模,含解析)

包头一中 2012~2013 学年度第三次模拟考试 高三年级数学(理科)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案涂在答题纸相应的位置)

1.设集合U ? ? 1,2,3,4,5? ,A ? ? 1,2,3? ,B ? ?2,5?则A ? (CU B) ? ( A)?2? ( B)?2,3? (C )?3? ( D)? 1,3?
【答案】D 【解析】 CU B ? ?1,3,4? , 所以A ? CU B ? ?1,3? . 2. 已知函数 f ( x) ? ( ) ? sin x ,则 f ( x) 在[0,2 ? ]上的零点个数为
x

1 2

A.1 【答案】B

B.2

C.3

D.4

【解析】 在同一直角坐标系内画出函数 y ? ( ) 和y ? sin x 的图像, 如图, 由图知函数 f ( x)
x

在[0,2 ? ]上的零点个数为 2.

1 2

3.已知a, b均为单位向量,它们的 夹角为60?,那么a ? 3b ? ( A) 7
【答案】C 【解析】易知: a ? 1, b ? 1, a ? b ? 所以 a ? 3b ? 13 。
2 1 ,所以 a ? 3b ? a ? 3b 2

( B) 10

(C ) 13

( D)4

?

?

2

? a ? 9b ? 6a ? b ? 13 ,

2

2

?y ? x ?1 ? 4.设实数 x,y 满足不等式组 ? y ? x ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?y ? 0 ?
1

A. ?
【答案】A

7 2

B.-2

C.1

D.

5 2

?y ? x ?1 ? 【解析】画出约束条件 ? y ? x ? 2 的可 行域,由可 行域知,目 标函数 z ? x ? 2 y 过点 ?y ? 0 ?
1 3 7 ? 1 3? ? ? , ? 时取最小值,所以最小值为 z ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 。 ? 2 2?
5.已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的 外接球的半径为 A.3 B.6 C.36 D.9 【答案】A 【解析】因为三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直,所以我们可以把三棱锥看做一个长方体 的角,这个长方体对角线的长为 22 ? 42 ? 42 ? 6 ,所以三棱锥外接球的半径为长方体对 角线的一半,因此该三棱锥的外接球的半径为 3. 6.设复数 x ? A.i 【答案】C 【 解 析 ,
1 2 3 2013 2013 C2013 x ? C2013 x 2 ? C2013 x 3 ? ?? C2013 x

2i 1 2 2 3 3 2013 2013 (i 是虚数单位), C2013 x ? C2013 x ? C2013 x ? ?? C2013 x = 1? i
B. -i C. -1 +i D.1+i

】 =

x?

2i ?1 ? i ? 2i ? ? ?1 ? i 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

0 1 2 3 2013 2013 C2013 x 0 ? C2013 x ? C2013 x 2 ? C2013 x 3 ??? C2013 x ? 1 ? ?1 ? x ?

2013

? 1 ? i 2013 ? 1

? 1 i。

?

?

7. 在△ABC 中,若 3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则角 C 为 A.30°或 150° 【答案】B 【 解 析 】 把 两 式 3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1 两 边 进 行 平 方 后 相 加 得 : B. 30° C. 150° D. 60°

25 ? 24 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? 37, 即sin A cos B ? cos A sin B = 1 1 sin ? A ? B ? ? , 即sin C ? ,所以角 C 为 30°。 2 2
8. 设 F1 , F2 是离心率为 2 的双曲线

1 2







x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦点,若在双 a2 b2

曲线左支上存在点 P,使 | OP |?| OF2 | (O 为坐标原点)且 | PF2 |? ? | PF 1 | ,则 ? 的值为
2

(A) 2 ? 3 (C) 2 ? 5 【答案】A

(B)4 (D) 2 ? 6

【 解 析 】 因 为 | OP |?| OF2 | , 所 以 PF2 ? PF1 , 又 | PF2 |? ? | PF 1 | , 设

| PF1 | =m, 则 | PF2 |? ?m
2 2 2 2





?m ? m ?2 a … … … … … … ① ,
2a c2 代入②, 又 2 ? 2, 解得 m ? 2 ? 3 。 ? ?1 a

m? m ? ? m ? 4c ………………②, 由①得:
9.如右图所示,输出的 n 为 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】D

1 1 ? ? ,此时不满足 S ? 0 ,继续循环; 2n ? 13 11 1 1 1 ? ? - ,此时不满足 S ? 0 ,继续循环; 第二次循环: n ? n ? 1 ? 2, S ? S ? 2n ? 13 11 9 1 1 1 1 ? ? - - ,此时不满足 S ? 0 ,继续循; 第三次循环: n ? n ? 1 ? 3, S ? S ? 2n ? 13 11 9 7 1 1 1 1 1 ?? - - - , 第四次循环:n ? n ? 1 ? 4, S ? S ? 此时不满足 S ? 0 , 继续循环; 2n ? 13 11 9 7 5 1 1 1 1 1 1 ? ? - - - - ,此时不满足 S ? 0 ,继续 第五次循环: n ? n ? 1 ? 5, S ? S ? 2n ? 13 11 9 7 5 3
【解析】第一次循环:n ? n ? 1 ? 1, S ? S ? 循环; …… 第












3

n ? n ? 1 ? 13, S ? S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? - - - - -1+1+ + + + + + ,此时满足 2n ? 13 11 9 7 5 3 3 5 7 9 11 13

S ? 0 ,结束循环,因此输出的 n 为 13.
10.如上图,已知函数 y ? sin x, x ? [?? , ? ] 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分),若 随机向圆 O:x +y = ? 内投入一米粒,则该米粒落在区域 M 内的概率是
2 2 2

A.

4 ?2

B.

4 ?3

C.

2 ?2

D.

2 ?3

【答案】B 【解析】易知:圆的面积为 ? ,区域 M 的面积为 2
3

?

?

0

sin xdx ? 2 ? ? cos x ? 0 ? 4 ,所以该米

?

粒落在区域 M 内的概率是

4 。 ?3

11. 某班要从 A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务,则上届任职的 A,B,C 三人都不再连任原职务的方法种数为 (A)30 【答案】B 【解析】如果还是选 A,B,C 三人当选,则有 2 种方案;若 A,B,C 三人中有一人落选,则有
2 1 1 2 C3 C2 ? 3 ? 18 种选法;若 A,B,C 三人中有两人落选,则有 C3 C2 ? 4 ? 12 种选法,因此不

(B)32

(C)36

(D)48

同的选法有 2+18+12=32. 12.设集合 A ? [0,1), B ? [1,2] ,函数 f ( x) ? ? 则 x0 的取值范围是 A.( log 2 【答案】A 【解析】 当 x0 ? A, 时,f ? x0 ? ? 2 0 ??1,2? , 所以 f [ f ( x0 )] ? 4 ? 2 ? 2 0 ? 4 ? 2 0 ??0,1? ,
x x x ?1

2 x , ( x ? A), x0 ? A, 且 f [ f ( x0 )]? A, 4 ? 2 x, ( x ? B),

3 ,1 ) 2

B.( log3 2,1 )

C.(

2 ,1 ) 3

D.[0,

3 ] 4

又 x0 ? A, ,所以解得: log 2

3 ? x0 ? 1。因此选 A。 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题纸相应位置的 横线上)
4

13.经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和年饮食支出 y (万元)具有线性相关关系,

? =0.254 x +0.321,由回归直线方程可知,家庭 并得到 y 关于 x 的线性回归直线方程: y
年收入每增加 l 万元,年饮食支出平均增加 【答案】0.254. 万元.

? =0.254 x +0.321:家庭年收入每增加 l 万元,年饮食 【解析】根据线性回归直线方程: y
支出平均增加 0.254 万元. 14.点 P(4,-2)与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点所连线段的中点的轨迹方程是 【答案】 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 【 解 析 】 设 轨 迹 上 任 意 一 点 的 坐 标 为 E( x, y) , 对 于 圆 上 的 点 为 F ( x0 , y0 ) , 则 .

? 4 ? x0 ?x ? ? x0 =2x-4 ? 2 ,即 ? , 把 点 F ( x0 , y0 ) 代 入 圆 的 方 程 , 得 : ? ? ?2 ? y0 ? y ? y0 ? 2 y ? 2 ? ? 2

? 2x-4 ?

2

? ? 2 y ? 2 ? ? 4 ,即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 。
2

15.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1 , a n ?1 ?

?bn ?的前 n 项和为 S n ,则 S n 为
【答案】

an ( n ? N? ) .设 bn ? an ? an?1( n ? N? ) ,数列 2a n ? 1


______

n 2n ? 1

【解析】因为 a n ?1 ? 数列 ?

an 1 1 1 1 ? 2 ? ,即 - =2 ,所以 an an ?1 an 2a n ? 1 ,所以两边取倒数,得: an?1

?1? 1 (n ? 1) ? 2n ? 1 , 所 以 ? 是 首 项 为 1 , 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 所 以 =1+2 an ? an ?

an =

1 1 1 1? 1 1 ? , 所 以 bn ? an ? an?1 = ? = ? ? ? , 所 以 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

Sn

? b1 ? b2 ? …+bn

1 ?? ? ??1 ? 2 ??

1 1 1 1 ? ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …+ ? 3 ? 3? ? 5 7 n 2? ? ?5 ? n?

?? ?? ? ?1

1 2

1

1? 1 ? n 。 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
16.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 给出定义:设 f ?( x ) 是函数 y ? f ( x)
3 2

的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x 0 ,则称点 ( x 0 , f ( x 0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任

5

何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。给定函数

f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? 3 2 12

, 请 你 根 据 上 面 探 究 结 果 , 计 算

f(

1 2 3 2012 )? f( )? f( ) ? ... ? f ( ) =____________. 2013 2013 2013 2013

【答案】2012 【解析】易知: f ??( x) ? 2 x ? 1,由 f ??( x) ? 2 x ? 1? 0,得 x ?

1 ?1 ? ,所以点 ? , 2 ? 为函数 2 ?2 ?

f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? 的 “ 拐 点 ” 也 就 是 对 称 中 心 , 所 以 3 2 12 2 2 0 1 1 3 (? ? f ) (? f ) 2 ,? ? f ( 2 0 1 3 2 0 1 3 ) 所? , 以 (

f(

1 2 0 1 2 ? ) f ( ? ) f2 , 2 0 1 3 2 0 1 3

2 0 1 0 ) 2 , 2 0 1 3 2 0 1

f(

1 2 3 2012 )? f( )? f( ) ? ... ? f ( ) =2012. 2013 2013 2013 2013

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (Ⅰ)若 cos

?
2

?
4

cos ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离

? ,求函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象 3 左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数.
等于

18. (本小题满分 12 分) 2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务 区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名 驾 驶 员 进 行 询 问 调 查 , 将 他 们 在 某 段 高 速 公 路 的 车 速 ( km/t ) 分 成 六 段 : [60,65),[65,70),[70,75), [75,80),[80,85), [85,90)后得到如下图的频率分布直 方图.问:

6

(1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在 [65,70)的车 辆数 X 的分布列及其均值(即数学期望) .

19. (本小题满分 12 分)如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在 的平面互相垂直. AB ∥ CD , AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB . (1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值.
E

B C D

A

20.(本小题满分 12 分)

3 y2 x2 已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: 2 ? 2 =1 经过 A(1,0)点,且离心率为 . a b 2
(I)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)过抛物线 C2: y ? x ? h (h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N,
2

记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G、H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值.

3 2 21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx 在 点 (3, f (3)) 处 的 切 线 方 程 为

12 x ? 2 y ? 27 ? 0 ,且对任意的 x ??0, ??? , f ?( x) ? k ln( x ? 1) 恒成立.
7

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值;

.... . . . . . . .......................... 考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题纸上把所选题号涂黑.

22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,AB 是 的弦,C、 F是 上的点,OC 垂直于弦 AB,过点 F 作 的切线,交 AB 的

延长线于 D,连结 CF 交 AB 于点 E. (1) 求证: ;

(2) 若 BE = 1,DE = 2AE,求 DF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数, ),曲线 C 的极坐标方程为

, (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 ? 变化时,求|AB|的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 (1)求不等式 (2 )若关于 X 不等式 . 的解集 S ; 有解,求参数 t 的取值范围.

校三模参考答案

8

一.选择题:1-5

DBCAA

6-10 CBADB

11-12 BA 15.

二. 填空题: 13.0.254. 14. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1
三.17.解(I)由 cos 即 cos(

?
4

cos ? ? sin

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

n 16.2012 2n ? 1
2分

2

,?? ?

?

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 又T ?

?
4

4
依题意,

4分

)

2?

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

T ? ? 2 3
6分

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

8分

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )
10 分 12 分 (2 分) (4 分)

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 18.解:(1)系统抽样

? 12

(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 设 图 中 虚 线 所 对 应 的 车 速 为 x

, 则 中 位 数 的 估 计 值 为 :

0 . ? 0 1? 5

0 ?. 0 ?2

x ? 77.5 5? 0 ?. x 0 4? 5 ? 0 .解得 ? 0 6 ( 7 5 )

0 . 5
(6 分)

即中位数的估计值为 77.5

9

19 解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB 2分 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 4分 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . 6分 (2)因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 , 则 O(0,0,0), A(?1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E (0,0,1) . 所以 EC ? (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1,0) . 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? , 所以 sin ? ? | cos? EC, OD? | ?

| EC ? OD | 3 , ? | EC || OD | 3
3 3
12 分

即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为

?1 ? b 2 ? 1, ? y2 3 ?c 2 ? 1 .…4 20.解: (Ⅰ)由题意 ? ? ,得 a ? 2, b ? 1,椭圆 C1 的方程为 x ? , 4 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?

2 (Ⅱ)设 P t , t ? h ,由 y? ? 2 x ,抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k ? y?

?

?

x ?t

? 2t ,

所以 MN 的方程为 y ? 2tx ? t ? h ,……………5 分
2

代入椭圆方程得 4 x ? 2tx ? t ? h
2 2

?

?

2

? 4 ? 0,
2

化简得 4 1 ? t

?

2

?x

2

? 4t ? t 2 ? h ? x ? ? t 2 ? h ? ? 4 ? 0


4 2 2 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点,故 ? ? 16 ? ? ?t ? 2 ? h ? 2 ? t ? h ? 4 ? ??0

设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 中点横坐标为 x0 ,则
2 x1 ? x2 t ? t ? h ? x0 ? ? , 2 2 ?1 ? t 2 ?

…………………8 分

设线段 PA 的中点横坐标为 x3 ?

1? t , 2

10

由已知得 x0 ? x3 即

t ?t 2 ? h ? 2 ?1 ? t
2

?

?

1? t , ②………………10 分 2

显然 t ? 0 , h ? ? ? t ? ? 1?

? ?

1 t

? ?



当 t ? 0 时, t ? ? 2 ,当且仅当 t ? 1 时取得等号,此时 h ? ?3 不符合①式,故舍去; 当 t ? 0 时, ? ?t ? ? ? ? ? ? 2 ,当且仅当 t ? ?1 时取得等号,此时 h ? 1 ,满足①式。 综上, h 的最小值为 1.………………12 分 21. 解: (Ⅰ)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ? 分

1 t

? 1? ? t?

9 9 ,∴ 27 a ? 9b ? ? ① --------------1 2 2
--------------2分

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx, f ?(3) ? ?6 ,∴ 27 a ? 6b ? ?6 ②
1 3 1 1 3 1 2 ∴ f ( x) ? ? x ? x 2 3 2

①②联立,解得 a ? ? , b ?

--------------4分

(Ⅱ) f ?( x)= ? x2 ? x ,∴ ? x2 ? x ? k ln( x ? 1) 在 x ??0, ??? 上恒成立; 即 x2 ? x ? k ln( x ? 1) ? 0 在 x ? ?0, ?? ? 恒成立; -------------5 分

设 g ( x) ? x2 ? x ? k ln( x ? 1) , g (0) ? 0 ,∴只需证对于任意的 x ? ?0, ?? ? 有 g ( x) ? g (0)

g ?( x) ? 2 x ? 1 ?
-----------7 分

k 2x2 ? x ? k ?1 ? , x ? ? 0, ?? ? x ?1 x ?1



h( x) ? 2x2 ? x ? k ?1



1)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即 k ?

9 时, h( x) ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 8
--------------8 分

g ( x) 在 ?0, ?? ? 单调递增,∴ g ( x) ? g (0)
2)当 ?=1 ? 8(k ? 1) ? 0 ,即 k ? 由 x1 ? x2 ? ?

9 2 时,设 x1 , x2 是方程 2 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两根且 x1 ? x2 8

1 ,可知 x1 ? 0 , 2

分 析 题 意 可 知 当 x2 ? 0 时 对 任 意 x ? ?0, ?? ? 有 g ( x) ? g (0) ; ∴ k ? 1 ? 0, k ? 1 , ∴1 ? k ?

9 8

--------------10 分 ---------12 分

综 上 分 析 , 实 数 k 的 最 小 值 为 1 .

11

12

13


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