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【金榜新学案】(新课标)2014高考数学大二轮 专题3 第1课时推理与证明、算法初步课件 文


第1课时 推理与证明、算法初步

高频考点 归纳推 理与类 比推理 直接证 明与间 接证明 算法 初步

考情解读 新课标高考对本部分的考查,主要考查利用归纳 推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结 论.试题以选择题或填空题的形式呈现,属中档 题. 高考对本部分考查的难度多为中档题,也有高档 题,其相关知识常常涉及数学的各个方面,主要 是不等式、数列、三角函数、向量、函数、解析 几何、立体几何等. 算法是历年高考的一个热点,多为选择、填空 题,多为对程序框图直接考查,考查的重点是程 序框图的输出功能、程序框图的补充,以及算法 思想和基本的运算能力、逻辑思维能力.

1.区分两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程: 实验、观察 → 概括、推广 — 猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程: 实验、观察 → 联想、类推 — 猜测新的结论

3.辨明算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构:如图(1)所示.

(2)条件结构:如图(2)和图(3)所示.

(3)循环结构:如图(4)和图(5)所示.

归纳推理与类比推理 (1)(2013·陕西卷)观察下列等式:

12=1,
12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, ?,

照此规律,第n个等式可为_______________.

(2) 给出下面类比推理命题 ( 其中 Q 为有理数集, R 为实数

集,C为复数集):
①“若 a , b∈R ,则 a - b = 0?a = b”类比推出“若 a , b∈C,则a-b=0?a=b”; ②“若 a , b , c , d∈R ,则复数 a + bi = c + di?a = c , b = d”类比推出“若 a , b , c , d∈Q ,则 a + b = c + d?a = c , b =

d”;

③若“ a , b∈R ,则 a - b > 0?a > b”类比推出“若 a ,

b∈C,则a-b>0?a>b”;
④ “ 若 x∈R , 则 |x| < 1? - 1 < x < 1” , 类 比 推 出 “ 若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1”. 其中类比正确的为( A.①② ) B.①④

C.①②③

D.②③④

解析: (1)12=1, 12-22=-(1+2), 12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4), ?, 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+?+n)= (-1)
n+1n?n+1?

2

.

(2)对于③,“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”是错误的, 如 a=2+i,b=1+i,则 a-b=1>0,但 2+i>1+i 不正确; 1 对于④, “若 z∈C, 则|z|<1?-1<z<1”是错误的, 如 y=2+ 1 2 1 1 i,|y|= <1,但-1< + i<1 是不成立的.故选 A. 2 2 2 2

答案:
1n?n+1?

(1)12 - 22 + 32 - 42 + ? + ( - 1)n + 1n2 = ( - 1)n +

2

(2)A

应用合情推理应注意的问题 (1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们 适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.

(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过
程,然后类比推导类比对象的性质. [ 提醒 ] 性. 归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共

1.(1)(2013·陕西卷)观察下列等式:

(1+1)=2×1,
(2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, ?, 照此规律,第 n 个等式可为 __________________________

______________________________________________.

→ |· → +|OA → |· → (2)对于命题: 若 O 是线段 AB 上一点, 则有|OB OA OB =0. 将它类比到平面的情形是: → → → 若 O 是△ABC 内一点, 则有 S△OBC· OA+S△OCA· OB+S△OBA· OC =0,将它类比到空间的情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内 一 点 , 则 有 _______________________________________ _________________________________.

解析:

(1)从给出的规律可看出,左边的连乘式中,连乘

式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个
乘数的指数保持一致,其中左边连乘式中第二个加数从 1 开 始,逐项加1递增,右边连乘式中从第二个乘数开始,组成以1 为首项, 2 为公差的等差数列,项数与第几等式保持一致,则 照 此 规 律 , 第 n 个 等 式 可 为 (n + 1)(n + 2)?(n + n) =

2n×1×3×?×(2n-1).

(2)将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平面中的图 形的面积类比为空间中的几何体的体积,因此依题意可知:若 → +V → +V O 为四面体 ABCD 内一点,则有 VO-BCD· OA · OB O-ACD O- → → · OC + V · OD =0. - ABD O ABC

答案: (1)(n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1) → +V → +V → +V → =0 (2)VO-BCD· OA · OB · OC · OD O-ACD O-ABD O-ABC

直接证明与间接证明

x2 (2013· 北京卷)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: 4+ y2=1 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0,1), 且四边形 OABC 为菱形时, 求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时, 证明: 四边形 OABC 不可能为菱形.

解析: (1)因为四边形 OABC 为菱形, 所以 AC 与 OB 互相垂直平分. 所以可设
? 1? t2 1 A?t,2?,代入椭圆方程得 4 +4=1, ? ?

即 t=± 3. 所以|AC|=2 3.

(2)证明:假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0.
2 2 ? ?x +4y =4, 由? ? ?y=kx+m

消去 y 并整理得

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- , =k· +m= , 2 2 2 1+4k2 1+4k2 所以 AC 的中点为
? 4km m ? ? M?-1+4k2,1+4k2? ?. ? ?

因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0, 1 所以直线 OB 的斜率为- . 4k 因为
? 1? ?- ?≠-1,所以 k· ? 4k ?

AC 与 OB 不垂直.

所以四边形 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不 可能是菱形.

(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出 一个结论不成立的例子即可. (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法,我们常用

分析法寻找解决问题的突破口,然后用综合法来写出证明过
程,有时候,分析法和综合法交替使用.

1 2 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=1- ,bn= ,其中 4an 2an-1 n∈N*. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求证:在数列{an}中对于任意的 n∈N*,都有 an+1<an.

2 证明: (1)因为 bn+1-bn= - = 2an+1-1 2an-1 2 4an 2 - = - =2(n∈N*). 2an-1 2an-1 2an-1 所以数列{bn}是等差数列.

2

2 ? 1 ? 2?1-4a ?-1 ? n?

(2)要证 an+1<an,只要证 an+1-an<0. 2 因为 a1=1,所以 b1= =2, 2a1-1 所以 bn=2+(n-1)×2=2n. 2 2 1 由 bn= ,得 2an-1= = (n∈N*), bn n 2an-1 n +1 所以 an= , 2n n+2 n+1 -1 所以 an+1-an= - 2n = <0, 2?n+1? 2n?n+1? 所以在数列{an}中对于任意的 n∈N*,都有 an+1<an.

程序框图

(2013·湖北卷)阅读如图所示的程序框图,运行相
应的程序,输出的结果i=________.

解析: 出结果.

按照程序框图的执行流程分析循环过程,得到输

程序框图的执行流程及中间结果如下: 10 第一步:a=10,i=1,a≠4,a 不是奇数,a= =5,i=2; 2 第二步: a≠4, a 是奇数, a=3×5+1=16, i=3; 第三步: a≠4, 16 a 不是奇数,a= =8,i=4;第四步:a≠4,a 不是奇数,a 2 8 = =4,i=5;第五步,a=4,这时跳出循环,输出 i=5. 2

答案: 5

对于循环结构的框图的识图问题,应明确循 环结构的框图的特征,明确框图中变量的变化特点,根据框图 中的条件决定是否执行框图中的运算,从而确定程序运行的结

果.
[提醒 ] 解答有关循环结构的问题时,要写出每一次循环 的结果,以防止运行程序不彻底,造成错误.

3. (1)(2013· 洛阳市统考)如图给出的 1 1 1 1 是计算 + + +?+ 的值的一个框 2 4 6 30 图,其中菱形判断框内应填入的条件是 ( ) A.i<15? C.i<16? B.i>15? D.i>16?

(2)(2013· 安徽“江南十校”联考 ) 执行如图所示的程序框
图,若输出i的值为2,则输入x的最大值是( )

A.5 C.11

B.6 D.22

? 1 1 1 1 ?1? ? ? 解析: (1)依题意,注意到 + + +?+ 是数列 2n?的 2 4 6 30 ? ? ? ?

前 15 项和,结合题意得,菱形判断框内应填入的条件是“i> 15?”,选 B. ?x ?2-1>3 (2)执行该程序可知? ? ? ?1?x -1?-2≤3 ?2?2 ?
? ?x>8 ? ? ?x≤22

?8<x≤22.故 x 的最大值是 22.

答案: (1)B (2)D

创新探究 探究与程序框图的知识交汇 高考对算法的考查集中在程序框图,特点是带有循环结构

的程序框图,主要通过数列求和、求积,统计中的平均数、方
差的计算,函数值的计算等设计试题,解决的方法是弄清楚程 序框图中的计数变量和累加变量的关系,弄清楚循环结束的控 制条件,通过逐步计算、模拟程序的计算方法找到其中的规 律.

(2013·四川卷)某算法的程序框图如图所示,其中
输入的变量x在1,2,3,?,24这24个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y的值为i的概

率Pi(i=1,2,3);
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程 序重复运行 n 次 后,统计记录了输出 y 的值为 i(i = 1,2,3) 的频 数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行次 输出y的值为1 输出y的值为2 输出y的值为3 数n 的频数 的频数 的频数 30 14 6 10 ? 2 100 ? 1 027 ? 376 ? 697

乙的频数统计表(部分) 运行次 数n 30 ? 2 100 输出y的值为1 的频数 12 ? 1 051 输出y的值为2 的频数 11 ? 696 输出y的值为3 的频数 7 ? 353

当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程
序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位 同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

解析:

(1)变量 x 是在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中随机

产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时, 1 输出 y 的值为 1,故 P1=2; 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时, 输出 y 的值 1 为 2,故 P2=3;

当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 1 P3=6. 1 所以输出 y 的值为 1 的概率为 ,输出 y 的值为 2 的概率为 2 1 1 3,输出 y 的值为 3 的概率为6.

(2)当n=2

100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=

1,2,3)的频率如下: 输出y的值为1的 输出y的值为2 输出y的值为3 频率 甲 乙 1 027 2 100 1 051 2 100 的频率 376 2 100 696 2 100 的频率 697 2 100 353 2 100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求 的可能性较大.

本题是程序框图与古典概型、频率、随机变
量的分布列、期望相结合的题目,考查考生的数据处理能力、 应用意识和创新意识.求解本题的关键是理解框图的意义,x是 奇数则y为1,x是偶数又能被 3整除,则y为3,否则y为2,从而 把x分为3类,问题即可解决.

(2013·山东六校联考)某工厂欲加工一件艺术品,需要用到
三棱锥形状的坯材,工人将如图所示的长方体 ABCD - EFGH 材料切割成三棱锥H -ACF.

(1)若点M,N,K分别是棱HA,HC,HF的中点,点G是NK 上的任意一点,求证:MG∥平面ACF;

(2) 已知原长方体材料中, AB = 2 m , AD = 3 m , DH = 1
m,根据艺术品加工需要,工程师必须求出该三棱锥的高. 工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序,其框图如图所 示,则运行该程序时乙工程师应输入的 t 的值是多少? ( 要求写 出简单演算或推证的过程)

解析:

(1)∵HM=MA,HN=NC,HK=KF,

∴MK∥AF,MN∥AC.
∵MK?平面ACF,AF?平面ACF,∴MK∥平面ACF, 同理可证MN∥平面ACF, ∵MN,MK?平面MNK,且MK∩MN=M, ∴平面MNK∥平面ACF,

又MG?平面MNK,故MG∥平面ACF.

(2)由程序框图可知 a=CF,b=AC,c=AF, b2+c2-a2 AC2+AF2-CF2 ∴ d= = =cos∠CAF, 2bc 2AC· AF 1 1 2 ∴e=2bc 1-d =2AC· AF· sin∠CAF=S△ACF, 3t 1 1 又 h= ,∴t= he= h· S =V 三棱锥 H e 3 3 △ACF 积相等的小三棱锥所得, 1 1 ∴V 三棱锥 H-ACF=2×3×1-4×3×2×3×2×1=6-4=2, 故 t=2.
-ACF



∵三棱锥 H -ACF 为将长方体 ABCD-EFGH 切掉 4 个体


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