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北京市石景山区2016届高三数学一模考试试卷 理(含解析)

石景山区 2015—2016 学年第一次模拟考试试卷 高三数学(理)

本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 M ? {x | x ? 0 , x ? R} , N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M ? N =( A. )

1? ?0 ,

B.

1? ?0 ,

C.

1? ?0 ,

D.

1? ?0 ,
)

2.设 i 是虚数单位,则复数 A.第一象限

2i 在复平面内所对应的点位于( 1? i
C.第三象限 ) D. y ? x D.第四象限

B.第二象限

3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x3 C. y ?

1 x

x

4.下图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个框图, 2 4 6 10
)

其中菱形判断框内应填入的条件是( A. i ? 5 C. i ? 6 B. i ? 5 D. i ? 6

5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面 积中最大的是( A. 8 C. 10 )

B. 6 2 D. 8 2

1

6.在数列

“ an?1 ? an ”是“数列 ?an ? 为递增 ?an? 中, ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

数列”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0, ? ? 图象如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 后,得到的函数图象的解析式为( A. y ? sin 2 x B. y ? sin(2 x ? )

?
2

) 的部分
个单位

?
6

2? ) 3

C. y ? sin(2 x ?

?
6

)

D. y ? cos 2 x

8.德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n ,如果 n 是偶数, 就将它减半 (即

n );如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n ? 1 ),不断重复这样的运算, 2

经过有限步后,一定可以得到 1. 对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数

n (首项)按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1(注:1 可以多次出现),则 n 的所有不同
值的个数为( A.4 ) B.6 C.32 D.128

第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

x2 2 9.双曲线 ? y ? 1的焦距是________,渐近线方程是________. 2
?x ? 2 y ? 8, ? y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 , 则 z ? 2 x ? y 的最大值等于_____. 10.若变量 x , ? 0 ? y ? 3, ?
11.如图, AB 是半圆 O 的直径, ?BAC ? 30? , BC 为半圆的 切线,且 BC ? 4 3 ,则点 O 到 AC 的距离 OD =________. 12.在平面直角坐标系中,已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 1? s , ( s 为参数),曲线 C 的参 ? y ? 1? s

2

数方程为 ?

?x ? t ? 2 , ( t 为参数),若直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,则 AB =____. 2 ? y ?t x ? 0, ?log 2 x , 关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有一个实根,则实 x x ? 0, ? 3 ,

13.已知函数 f ( x) ? ?

数 a 的取值范围是________. 14.某次考试的第二大题由 8 道判断题构成,要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的 正误判断,每题判断正确得 1 分,判断错误不得分.请根据如下甲,乙,丙 3 名考生的判 断及得分结果,计算出考生丁的得分. 第1 题 第2题 第3 题 第4 题 第5 题 第6 题 第7题 第8 题 甲 乙 丙 丁 × × √ √ × √ × × √ × √ × × × √ × × √ √ √ √ × × × × √ × × √ × × × 得分 5 5 6 ?

丁得了_______________分. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 设△ ABC 的内角 A , 且 b sin A ? 3a cos B . B, C 的对边分别为 a , b, c, (Ⅰ)求角 B 的大小;

c 的值. (Ⅱ)若 b ? 3 , sin C ? 2sin A ,求 a ,

16. (本小题共 13 分) 我市某苹果手机专卖店针对苹果 6S 手机推出无抵押分期付款购买方式,该店对最近购 买苹果 6S 手机的 100 人进行统计(注:每人仅购买一部手机) ,统计结果如下表所示: 付款方式 频数 分1期 35 分2期 25 分3期 分4期 10 分5期

a

b

3

已知分 3 期付款的频率为 0.15 ,请以此 100 人作为样本估计消费人群总体,并解决以下 问题: (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求“购买手机的 3 名顾客中(每人仅购买一部手机) ,恰好有 1 名顾客分 4 期付 款”的概率; (Ⅲ)若专卖店销售一部苹果 6S 手机,顾客分 1 期付款(即全款),其利润为 1000 元; 分 2 期或 3 期付款,其利润为 1500 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2000 元.用 X 表示 销售一部苹果 6S 手机的利润,求 X 的分布列及数学期望.

17. (本小题共 14 分) 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AA1 ⊥ 平 面

ABC , BC ? AC , BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB1 ∥平面 BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得 CP ⊥平面 BDC1 ?若存在,求出 AP 的长; 若不存在,说明理由.

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? x cos x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (π , f (π )) 处的切线方程;

? 1 (Ⅱ)求证:当 x ? (0 , ) 时, f ( x) ? x 3 ; 2 3
(Ⅲ)若 f ( x) ? kx ? x cos x 对 x ? (0 , ) 恒成立,求实数 k 的最大值. 2

?

4

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2 ,离心率为 ,直线 2 a b 2

1 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A , B 两点,且线段 AB 的垂直平分线通过点 (0 , ? ). 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求△ AOB ( O 为坐标原点)面积的最大值.

20. (本小题共 13 分) 若对任意的正整数 n , 总存在正整数 m , 使得数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? am , 则称 {an } 是 “回归数列” . (Ⅰ)①前 n 项和为 Sn

? 2n 的数列 {an } 是否是“回归数列”?并请说明理由;

②通项公式为 bn ? 2n 的数列 {bn } 是否是“回归数列”?并请说明理由; (Ⅱ)设 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 {an } 是“回归数列” ,求 d 的值; (Ⅲ)是否对任意的等差数列 {an } ,总存在两个“回归数列” {bn } 和 {cn } ,使得
an ? bn ? cn (n ? N* ) 成立,请给出你的结论,并说明理由.

5

答案及试题解析 1【知识点】集合的运算 【试题解析】因为 故答案为:D 【答案】D

2【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为 所以,对应的点位于第二象限 故答案为:B 【答案】B

3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值 【试题解析】 因为 A. 只有 D. 故答案为:D 【答案】D 不是奇函数, B. 不是增函数, C. 不是增函数 ,

既是奇函数又是增函数

4【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为

判断框内填入的条件是 故答案为:A 【答案】A

输出

的值

5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 【 试 题 解 析 】 因 为 如 图 为 原 几 何 体 的 直 观 图 , 面 积 中 最 大 的 是 , 故答案为:C

6

【答案】C

6【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为 , 所以, “ 故答案为:B 【答案】B ”是“数列 为递增数列”的必要不充分条件 不能推出数列 为递增数列,由数列 为递增数列能推出

7【知识点】三角函数图像变换 【试题解析】因为由图像可知 ,

过点

,又





,图象向

右平移

个单位后

故答案为:C 【答案】C

8【知识点】合情推理与演绎推理 【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为 故答案为:B 【答案】B 共六个不同取值

9【知识点】双曲线 【试题解析】因为 焦距 渐近线方程是

7

故答案为:



【答案】



10【知识点】线性规划 【试题解析】因为如图为可行域, 在 取得最大值 10

故答案为:10 【答案】10

11【知识点】几何选讲 【试题解析】因为 故答案为:3 【答案】3

8

12【知识点】参数和普通方程互化 【试题解析】因为 ,得 故答案为: 【答案】 ,联立得 得

13【知识点】零点与方程函数图象 【试题解析】因为原命题等价于函数 点,a 为直线 故答案为: 在 x 轴上的截距,有图像可得 。 与 图像只有一个交

【答案】

14【知识点】合情推理与演绎推理 【试题解析】因为由已知得第 3、4 题应为一对一错,所以丙和丁得分相同 所以,丁的得分也是 6 分。

9

故答案为:6 【答案】6

15【知识点】解斜三角形 【试题解析】 (Ⅰ) 由正弦定理得 在△ 中, ,即 , , , ,

. (Ⅱ) 由余弦定理 ,由正弦定理得 , ,





解得

,∴



【答案】见解析

16【知识点】概率综合 【试题解析】 (Ⅰ)由题意得 ,

所以 , 又 ,所以 . (Ⅱ)设事件 为“购买一部手机的 3 名顾客中,恰好有 1 名顾客分 4 期付款” , 由题意得:随机抽取一位购买者,分 期付款的概率为 , 所以 (Ⅲ)记分期付款的期数为 , 因为 可能取得值为 元, , 元, , 元, . ,依题意得 , , ,

并且易知

10

, , 所以 的分布列为

所以 的数学期望 【答案】见解析

17【知识点】立体几何综合 【试题解析】 (Ⅰ)证明:连接 ∵ 又 ∵ ∴ 是 是矩形,∴ 的中点,∴ 平面 ∥平面 , . , , 是 ∥ 平面 ,与 的中点. . , 相交于 ,连接 .

(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,则 , 设 , 是平面 , 的一个法向量,





令 易知

,则 是平面

, 的一个法向量,





由题意知二面角

为锐角,

11

∴二面角

的余弦值为 .

(Ⅲ)假设侧棱

上存在一点

(

),使得

平面





,即





∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱 上不存在点 ,使 ⊥平面 .

【答案】见解析

18【知识点】导数的综合运用 【试题解析】解: (Ⅰ) 所以切线方程为 (Ⅱ)令 , . , .







时,设

,则

所以



单调递减,



,所以

12

所以 所以

在 .

上单调递减,所以



(Ⅲ)原题等价于 即 令 易知 所以 故 在 对 ,则 ,即 ,所以

对 恒成立,

恒成立,

. 在 单调递增,

单调递减,所以 .



综上所述, 的最大值为 【答案】见解析

19【知识点】椭圆

【试题解析】解: (Ⅰ)由已知可得

解得



故椭圆

的标准方程为



(Ⅱ)设





联立方程

消去 当 即

得 , 时,



13





所以 当 时,线段





的垂直平分线显然过点

因为

,所以

,当

时,取到等号.



时,因为线段

的垂直平分线过点



所以



化简整理得









又原点

到直线

的距离为



所以

而 则



, .

所以当

,即

时,

取得最大值



14

综上,

最大值为



【答案】见解析

20【知识点】数列综合应用 【试题解析】解:(Ⅰ)①∵ 当 当 ∴数列 ②∵ 时, 时, ; ,存在 ,使得 ,作差法可得 ,

是“回归数列” . ,∴前 项和 ,根据题意



一定是偶数,∴存在

,使得

∴数列

是“回归数列” .

(Ⅱ)

,根据题意,存在正整数

,使得

成立

即 ∴ ,即

, .





(Ⅲ)设等差数列 总存在两个回归数列 使得 证明如下: ???9 分 ,

数列

前 时,

项和 ; 时, ;



15

时,

为正整数,当

时,



∴存在正整数

,使得

,∴

是“回归数列”

数列



项和

存在正整数

,使得

,∴

是“回归数列” ,所以结论成立. 【答案】见解析

16


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