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广东省广州市2017届高考数学二模试卷(解析版)(理科)

2017 年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)
选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合 A={x||x﹣1|<1},B={x|1﹣ ≥0},则 A∩B=( ) A.{x|1≤x<2}B.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|0<x<1} 2.若复数 z 满足(3﹣4i+z)i=2+i,则复数 z 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.执行如图所示的程序图,则输出的 S 值为( )

A.4 B.3 C.﹣2 D.﹣3 4.从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中任取 3 个数字组成没有重复数字的三位数, 则这个三位数是偶数的概率为( ) A. B. C. D. 5.函数 f(x)=ln(|x|﹣1)+x 的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

6.已知 cos(

)= ,则 sinθ=( )

A. B. C.﹣ D.﹣ 7.已知点 A(4,4)在抛物线 y2=2px (p>0)上,该抛物线的焦点为 F,过点 A 作该抛物线准线的垂线,垂足为 E,则∠EAF 的平分线所在的直线方程为( ) A.2x+y﹣12=0 B.x+2y﹣12=0 C.2x﹣y﹣4=0 D.x﹣2y+4=0 8.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是棱 A1D1 的中点,过 C1,B,M 作正方体的截面,则这个截面的面积为( )

A.

B.

C. D.

9.已知 k∈R,点 P(a,b)是直线 x+y=2k 与圆 x2+y2=k2﹣2k+3 的公共点,则 ab 的最大值为( )

A.15 B.9 C.1 D.﹣

10.已知函数 f(x)=2sin(ωx+ )(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有 3 个 最高点,则 ω 的取值范围为( ) A.[ , )B.[ , ) C.[ , )D.[4π,6π) 11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则 该三棱锥的体积为( )

A. B. C. D.16

12.定义在 R 上的奇函数 y=f(x)为减函数,若 m,n 满足 f(m2﹣2m)+f(2n ﹣n2)≥0,则当 1≤n≤ 时, 的取值范围为( )
A.[﹣ ,1] B.[1, ] C.[ , ]D.[ ,1]
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知点 O(0,0),A(﹣1,3),B(2,﹣4), =2 +m ,若点 P 在 y 袖上,则实数 m= . 14.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,传本的《孙 子算经》共三卷,其中下卷:“物不知数”中有如下问题:“今有物,不知其数, 三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二,问:物几何?”其意思为: “现有一堆物品,不知它的数目,3 个 3 个数,剩 2 个,5 个 5 个数,剩 3 个,7 个 7 个数,剩 2 个,问这堆物品共有多少个?”试计算这堆物品至少有 个. 15.设(x﹣2y)5(x+3y)4=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9,则 a0+a8= . 16.在平面四边形 ABCD 中,连接对角线 BD,已知 CD=9,BD=16,∠BDC=90°, sinA= ,则对角线 AC 的最大值为 .
三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)解答须写出文字说明,证明过程或演算步 骤 17.(12 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1a2a3=8,S2n=3(a1+a3+a5+…+a2n ﹣1)(n∈N*) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=nSn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18.(12 分)如图,ABCD 是边长为 a 的菱形,∠BAD=60°,EB⊥平面 ABCD,FD ⊥平面 ABCD,EB=2FD= a (Ⅰ)求证:EF 丄 AC; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值.

19.(12 分)某商场拟对商品进行促销,现有两种方案供选择.每种促销方案

都需分两个月实施,且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以

往促销的统计数据,若实施方案 1,顶计第一个月的销量是促销前的 1.2 倍和 1.5

倍的概率分别是 0.6 和 0.4.第二个月销量是笫一个月的 1.4 倍和 1.6 倍的概率都

是 0.5;若实施方案 2,预计第一个月的销量是促销前的 1.4 倍和 1.5 倍的概率分

别是 0.7 和 0.3,第二个月的销量是第一个月的 1.2 倍和 1.6 倍的概率分别是 0.6

和 0.4.令 ξi(i=1,2)表示实施方案 i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数. (Ⅰ)求 ξ1,ξ2 的分布列: (Ⅱ)不管实施哪种方案,ξi 与第二个月的利润之间的关系如表,试比较哪种方 案第二个月的利润更大.

销量倍数 ξi≤1.7 1.7<ξi<2.3

ξi2.3

利润(万元) 15

20

25

20.(12 分)已知双曲线 ﹣y2=1 的焦点是椭圆 C: + =1(a>b>0)的

顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动点 M 在椭圆 C 上,且|MN|= ,记直线 MN 在 y 轴上的截距为 m, 求 m 的最大值. 21.(12 分)已知函数 f(x)= ﹣ax+b 在点(e,f(e))处的切线方程为 y=﹣ax+2e. (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)若存在 x∈[e,e2],满足 f(x)≤ +e,求实数 a 的取值范围.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中.已知直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣2=0,

曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数),设直线 l 与曲线 C 交于 A,B

两点. (1)求线段 AB 的长 (2)已知点 P 在曲线 C 上运动.当△PAB 的面积最大时,求点 P 的坐标及△PAB 的最大面积.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.(I)已知 a+b+c=1,证明(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥ ; (Ⅱ)若对任总实数 x,不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2 恒成立,求实数 a 的取值范 围.

2017 年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的
1.已知集合 A={x||x﹣1|<1},B={x|1﹣ ≥0},则 A∩B=( ) A.{x|1≤x<2}B.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤1} D.{x|0<x<1} 【考点】1E:交集及其运算. 【分析】求出 A,B 中不等式的解集,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由|x﹣1|<1,即﹣1<x﹣1<1,即 0<x<2,即 A={x|0<x<2}, 由 1﹣ ≥0,即 ≥0,解得 x≥1 或 x<0,即 B={x|x≥1 或 x<0} 则 A∩B={x|1≤x<2}, 故选:A 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.若复数 z 满足(3﹣4i+z)i=2+i,则复数 z 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】A3:复数相等的充要条件. 【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z,得到 z 的 坐标得答案. 【解答】解:由(3﹣4i+z)i=2+i,得

3﹣4i+z=



∴z=﹣2+2i. ∴复数 z 所对应的点的坐标为(﹣2,2),位于第二象限. 故选:B. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何 意义,是基础题.

3.执行如图所示的程序图,则输出的 S 值为( )
A.4 B.3 C.﹣2 D.﹣3 【考点】EF:程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:s=0,i=2, s=2,i=3, s=﹣1.i=4, s=3,i=5, s=﹣2,i=6, s=4,i=7>6, 结束循环,输出 s=4, 故选:A. 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出正确的结论,属于基础题.
4.从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中任取 3 个数字组成没有重复数字的三位数, 则这个三位数是偶数的概率为( ) A. B. C. D.

【考点】CB:古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数 n= =60,再求出这个三位数是偶数包含的基本事 件个数,由此能求出这个三位数是偶数的概率. 【解答】解:从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中任取 3 个数字组成没有重复数字的 三位数, 基本事件总数 n= =60, 这个三位数是偶数包含的基本事件个数 m= =24, ∴这个三位数是偶数的概率为 p= = = . 故选:B. 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件 概率计算公式的合理运用.
5.函数 f(x)=ln(|x|﹣1)+x 的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】3O:函数的图象. 【分析】化简 f(x),利用导数判断 f(x)的单调性即可得出正确答案. 【解答】解:f(x)的定义域为{x|x<﹣1 或 x>1}.

f(x)=



∴f′(x)=



∴当 x>1 时,f′(x)>0,当 x<﹣2 时,f′(x)>0,当﹣2<x<﹣1 时,f′(x) <0, ∴f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增,在(﹣2,﹣1)上单调递减,在(1,+ ∞)上单调递增. 故选 A. 【点评】本题考查了函数图象的判断,函数单调性的判断,属于中档题.

6.已知 cos(

)= ,则 sinθ=( )

A. B. C.﹣ D.﹣

【考点】GO:运用诱导公式化简求值. 【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式,求得 sinθ 的值.

【解答】解:∵cos(

)= ,∴cos( ﹣θ)=2

﹣1=﹣ =sinθ,

即 sinθ=﹣ , 故选:C. 【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用,属于基础题.

7.已知点 A(4,4)在抛物线 y2=2px (p>0)上,该抛物线的焦点为 F,过点 A 作该抛物线准线的垂线,垂足为 E,则∠EAF 的平分线所在的直线方程为( ) A.2x+y﹣12=0 B.x+2y﹣12=0 C.2x﹣y﹣4=0 D.x﹣2y+4=0 【考点】K8:抛物线的简单性质. 【分析】先求出抛物线方程,再抛物线的定义可得|AF|=|AE|,所以∠EAF 的平 分线所在直线就是线段 EF 的垂直平分线,从而可得结论. 【解答】解:∵点 A(4,4)在抛物线 y2=2px(p>0)上,∴16=8p,∴p=2 ∴抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=﹣1,E(﹣1,4) 由抛物线的定义可得|AF|=|AE|,所以∠EAF 的平分线所在直线就是线段 EF 的垂

直平分线 ∵kEF=﹣2, ∴∠EAF 的平分线所在直线的方程为 y﹣4= (x﹣4),即 x﹣2y+4=0 故选 D. 【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查学生的计算能力,属于基础题.

8.在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是棱 A1D1 的中点,过 C1,B,M 作正方体的截面,则这个截面的面积为( )

A.

B.

C. D.

【考点】LA:平行投影及平行投影作图法. 【分析】由于截面被平行平面所截,所以截面为梯形,取 AA1 的中点 N,可知截 面为等腰梯形,利用题中数据可求. 【解答】解:取 AA1 的中点 N,连接 MN,NB,MC1,BC1, 由于截面被平行平面所截,所以截面为梯形,且 MN= BC1= ,MC1=BN,

= ,∴梯形的高为 ,

∴梯形的面积为 ( 故选 C.

)× = ,

【点评】本题的考点是棱柱的结构特征,主要考查几何体的截面问题,关键利用 正方体图形特征,从而确定截面为梯形.
9.已知 k∈R,点 P(a,b)是直线 x+y=2k 与圆 x2+y2=k2﹣2k+3 的公共点,则 ab 的最大值为( )

A.15 B.9 C.1 D.﹣

【考点】J9:直线与圆的位置关系. 【分析】先根据直线与圆相交,圆心到直线的距离小于等于半径,以及圆半径为 正数,求出 k 的范围,再根据 P(a,b)是直线 x+y=2k 与圆 x2+y2=k2﹣2k+3 的公 共点,满足直线与圆方程,代入直线与圆方程,化简,求出用 k 表示的 ab 的式 子,根据 k 的范围求 ab 的最大值.

【解答】解:由题意,圆心(0.0)到直线的距离 d=



解得﹣3≤k≤1, 又∵k2﹣2k+3>0 恒成立 ∴k 的取值范围为﹣3≤k≤1, 由点 P(a,b)是直线 x+y=2k 与圆 x2+y2=k2﹣2k+3 的公共点,

得(a+b)2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3(k+ )2﹣ ,

∴k=﹣3 时,ab 的最大值为 9. 故选 B. 【点评】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断,做题时考虑要全面,不 要丢情况.

10.已知函数 f(x)=2sin(ωx+ )(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有 3 个

最高点,则 ω 的取值范围为( )

A.[ , )B.[ , ) C.[ , )D.[4π,6π)

【考点】H2:正弦函数的图象.

【分析】根据区间[0,1]上,求出 ωx+ 的范围,由于在区间[0,1]上恰有 3

个最高点,建立不等式关系,求解即可.

【解答】解:函数 f(x)=2sin(ωx+ )(ω>0),

∵x∈[0,1]上,

∴ωx+ ∈[ ,

],

图象在区间[0,1]上恰有 3 个最高点,



+,

解得:



故选 C. 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用, 利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于中档题.

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则 该三棱锥的体积为( )

A. B. C. D.16 【考点】L!:由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置,从而得出棱锥的高,根据俯视图找出 三棱锥的底面,得出底面积,从而可求出棱锥的体积. 【解答】解:由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置,棱锥的底面水平放置,故 三棱锥的高为 h=4, ∵主视图为直角三角形,∴棱锥的一个侧面与底面垂直,

结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形,∴S 底=

=4,

∴V=

=.

故选:B. 【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算,根据三视图的特征找出棱锥的底 面是关键,属于中档题.

12.定义在 R 上的奇函数 y=f(x)为减函数,若 m,n 满足 f(m2﹣2m)+f(2n

﹣n2)≥0,则当 1≤n≤ 时, 的取值范围为( )
A.[﹣ ,1] B.[1, ] C.[ , ]D.[ ,1] 【考点】3N:奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据条件,确定函数的奇偶性,利用函数的奇偶性和单调性将不等式进 行转化,利用线性规划的知识即可得到结论. 【解答】解:由题意,不等式 f(m2﹣2m)+f(2n﹣n2)≤0 等价为 f(m2﹣2m) ≤﹣f(2n﹣n2)=f(﹣2n+n2), ∵定义在 R 上的函数 y=f(x)是减函数 ∴m2﹣2m≥n2﹣2n,即(m﹣n)(m+n﹣2)≥0,且 1≤n≤ ,
n= ,m= ,或 m= 设 z= ,则 z 的几何意义为区域内的动点 P(n,m)与原 点连线的斜率, ( , )与原点的连线斜率为 1,( , )与原点的连线斜率为 ,
∴ 的取值范围为[ 故选:D. 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,利用线性规划以及直线斜率 的几何意义是解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知点 O(0,0),A(﹣1,3),B(2,﹣4), =2 +m ,若点 P 在

y 袖上,则实数 m=



【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义. 【分析】利用坐标来表示平面向量的运算,又因为点 P 在 y 轴上,所以它的横坐 标为 0,从而得到答案. 【解答】解:∵O(0,0),A(﹣1,3),B(2,﹣4), ∴ =(﹣1,3), =(3,﹣7), ∵P 在 y 袖上, ∴可设 =(0,y),

∵ =2 +m , ∴(0,y)=2(﹣1,3)+m(3,﹣7)=(3m﹣2,6﹣7m), ∴3m﹣2=0, 解得 m= 【点评】本题考查了利用坐标来表示平面向量的运算,属于最基本的题目.
14.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,传本的《孙 子算经》共三卷,其中下卷:“物不知数”中有如下问题:“今有物,不知其数, 三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二,问:物几何?”其意思为: “现有一堆物品,不知它的数目,3 个 3 个数,剩 2 个,5 个 5 个数,剩 3 个,7 个 7 个数,剩 2 个,问这堆物品共有多少个?”试计算这堆物品至少有 23 个. 【考点】F4:进行简单的合情推理. 【分析】根据“三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二”找到三个数:第一 个数能同时被 3 和 5 整除;第二个数能同时被 3 和 7 整除;第三个数能同时被 5 和 7 整除,将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加即可求出答案. 【解答】解:我们首先需要先求出三个数: 第一个数能同时被 3 和 5 整除,但除以 7 余 1,即 15; 第二个数能同时被 3 和 7 整除,但除以 5 余 1,即 21; 第三个数能同时被 5 和 7 整除,但除以 3 余 1,即 70; 然后将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加,即:15×2+21×3+70× 2=233. 最后,再减去 3、5、7 最小公倍数的整数倍,可得:233﹣105×2=23,或者 105k+23 (k 为正整数). ∴这堆物品至少有 23, 故答案为:23. 【点评】本题考查的是带余数的除法,简单的合情推理的应用,根据题意下求出 15、21、70 这三个数是解答此题的关键,属于中档题.
15.设(x﹣2y)5(x+3y)4=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9,则 a0+a8= ﹣2590 .

【考点】DB:二项式系数的性质.

【分析】展开(x﹣2y)5(x+3y)4=

+…+(﹣2y)5]?[x4+4x3?3y+6x2

(3y)2+4x?(3y)3+(3y)4]=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9,比较系数即可的 得出.

【解答】解:(x﹣2y)5(x+3y)4=

+…+(﹣2y)5]?[x4+4x3?3y+6x2

(3y)2+4x?(3y)3+(3y)4]=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9, 则 a0+a8=(﹣2)5×34+12﹣10=﹣2590. 故答案为:﹣2590. 【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题.

16.在平面四边形 ABCD 中,连接对角线 BD,已知 CD=9,BD=16,∠BDC=90°, sinA= ,则对角线 AC 的最大值为 27 . 【考点】HT:三角形中的几何计算. 【分析】根据题意,建立坐标系,求出 D、C、B 的坐标,设 ABD 三点都在圆 E 上,其半径为 R,由正弦定理计算可得 R=10,进而分析可得 E 的坐标,由于 sinA 为定值,则点 A 在以点 E(﹣6,8)为圆心,10 为半径的圆上,当且仅当 C、E、 A 三点共线时,AC 取得最大值,计算即可得答案. 【解答】解:根据题意,建立如图的坐标系,则 D(0,0),C(9,0),B(0, 16),BD 中点为 G,则 G(0,8), 设 ABD 三点都在圆 E 上,其半径为 R,
在 Rt△ADB 中,由正弦定理可得 = =2R=20,即 R=10,
即 EB=10,BG=8,则 EG=6, 则 E 的坐标为(﹣6,8), 故点 A 在以点 E(﹣6,8)为圆心,10 为半径的圆上, 当且仅当 C、E、A 三点共线时,AC 取得最大值,此时 AC=10+EC=27; 故答案为:27.

【点评】本题考查正弦定理的应用,注意 A 为动点,需要先分析 A 所在的轨迹.

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)解答须写出文字说明,证明过程或演算步



17.(12 分)(2017?广州二模)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1a2a3=8, S2n=3(a1+a3+a5+…+a2n﹣1)(n∈N*) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=nSn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.

【分析】(Ⅰ)先根据等比数列的性质可求出 a2 的值,然后根据 S2n=3(a1+a3+…+a2n ﹣1)中令 n=1 可求出首项 a1,从而求出公比,即可求出 an 的通项公式, (Ⅱ)先根据等比数列的求和公式求出 Sn,再求出 bn=nSn,根据分组求和和错位 相减法求和即可.

【解答】解:(Ⅰ)利用等比数列的性质可得,a1a2a3=a23=8 即 a2=2 ∵S2n=3(a1+a3+…+a2n﹣1) ∴n=1 时有,S2=a1+a2=3a1 从而可得 a1=1,q=2, ∴an=2n﹣1,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn=

=﹣1+2n,

∴bn=nSn=﹣n+n?2n, ∴Tn=﹣(1+2+3+…+n)+1×2+2×22+3×23+…+n?2n, 设 An=1×2+2×22+3×23+…+n?2n, ∴2An=1×22+2×23+…+(n﹣1)?2n+n?2n+1,

两式相减可得﹣An=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=

﹣ n?2n+1= ﹣ 2+2n+1 ﹣ n?2n+1=

﹣2+(1﹣n)2n+1, ∴An=2+(n﹣1)2n+1,

∴Tn=﹣

+2+(n﹣1)2n+1.

【点评】本题主要考查了等比数列的前 n 项和以及错位相减法求和,以及等比数

列的性质和通项公式,属于中档题.

18.(12 分)(2017?广州二模)如图,ABCD 是边长为 a 的菱形,∠BAD=60°, EB⊥平面 ABCD,FD⊥平面 ABCD,EB=2FD= a (Ⅰ)求证:EF 丄 AC; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值.

【考点】MI:直线与平面所成的角. 【分析】(Ⅰ)证明 AC⊥平面 EFDB,即可证明 EF 丄 AC; (Ⅱ)建立坐标系,利用向量方法,即可求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值. 【解答】(Ⅰ)证明:∵EB⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴EB⊥AC, ∵ABCD 是边长为 a 的菱形, ∴AC⊥BD, ∵EB∩BD=B,EB∥FD, ∴AC⊥平面 EFDB, ∴EF 丄 AC;
(Ⅱ)解:建立如图所示的坐标系,则 A( a,0,0),

B(0, ,0),F(0,﹣ , a),C(﹣ a,0,0),E(0, , a), ∴ =( a, , a), =(﹣ a, ,0), =(﹣ a,﹣ ,
a),

设平面 ABF 的法向量为 =(x,y,z),则 取 =( ,3,2 ), ∴直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值=

, =.

【点评】本题考查线面垂直的判定,考查线面角,考查向量方法的运用,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.
19.(12 分)(2017?广州二模)某商场拟对商品进行促销,现有两种方案供选 择.每种促销方案都需分两个月实施,且每种方案中第一个月与第二个月的销售 相互独立.根据以往促销的统计数据,若实施方案 1,顶计第一个月的销量是促 销前的 1.2 倍和 1.5 倍的概率分别是 0.6 和 0.4.第二个月销量是笫一个月的 1.4 倍和 1.6 倍的概率都是 0.5;若实施方案 2,预计第一个月的销量是促销前的 1.4 倍和 1.5 倍的概率分别是 0.7 和 0.3,第二个月的销量是第一个月的 1.2 倍和 1.6 倍的概率分别是 0.6 和 0.4.令 ξi(i=1,2)表示实施方案 i 的第二个月的销量是 促销前销量的倍数. (Ⅰ)求 ξ1,ξ2 的分布列: (Ⅱ)不管实施哪种方案,ξi 与第二个月的利润之间的关系如表,试比较哪种方

案第二个月的利润更大.

销量倍数 ξi≤1.7 1.7<ξi<2.3

ξi2.3

利润(万元) 15

20

25

【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.

【分析】(Ⅰ)依题意,ξ1 的所有取值为 1.68,1.92,2.1,2.4,分别求出相应 的概率,由此能求出 ξ1 的分布列;依题意,ξ2 的所有可能取值为 1.68,1.8,2.24, 2.4,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ2 的分布列. (Ⅱ)Qi 表示方案 i 所带来的利润,分别求出 EQ1,EQ2,由 EQ1>EQ2,实施方 案 1,第二个月的利润更大.

【解答】解:(Ⅰ)依题意,ξ1 的所有取值为 1.68,1.92,2.1,2.4,

P(ξ1=1.68)=0.6×0.5=0.30,

P(ξ1=1.92)=0.6×0.5=0.30,

P(ξ1=2.1)=0.4×0.5=0.20,

P(ξ1=2.4)=0.4×0.5=0.20,

∴ξ1 的分布列为:

ξ1

1.68

1.92

2.1

2.4

P

0.30

0.30

0.20

0.20

依题意,ξ2 的所有可能取值为 1.68,1.8,2.24,2.4, P(ξ2=1.68)=0.7×0.6=0.42, P(ξ2=1.8)=0.3×0.6=0.18, P(ξ2=2.24)=0.7×0.4=0.28, P(ξ2=2.4)=0.3×0.4=0.12, ∴ξ2 的分布列为:

ξ2

1.68

1.8

2.24

2.4

P

0.42

0.18

0.28

0.12

(Ⅱ)Qi 表示方案 i 所带来的利润,则:

Q1

15

20

25

P

0.30

0.50

0.20

Q2

15

20

25

P

0.42

0.46

0.12

∴EQ1=15×0.30+20×0.50+25×0.20=19.5, EQ2=15×0.42+20×0.46+25×0.12=18.5, ∵EQ1>EQ2, ∴实施方案 1,第二个月的利润更大.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,是中档题,解题

时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一.

20.(12 分)(2017?广州二模)已知双曲线 ﹣y2=1 的焦点是椭圆 C: +

=1(a>b>0)的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动点 M 在椭圆 C 上,且|MN|= ,记直线 MN 在 y 轴上的截距为 m,
求 m 的最大值. 【考点】KL:直线与椭圆的位置关系. 【分析】(I)由题意求得椭圆的离心率,即可求得 a 和 b 的值,即可求得椭圆 方程; (Ⅱ)分类讨论,当斜率为 0 时,即可求得 m 的值,设直线 l 的方程,代入椭圆 方程,利用韦达定理及弦长公式即可求得 m 的表达式,利用导数求得函数的单 调性及最值,即可求得 m 的最大值.

【解答】解:(Ⅰ)∵双曲线 ﹣y2=1 的焦点是椭圆 C: + =1(a>b>0)

的顶点, 且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,

∴a= ,



=,

∴c= ,b=



∴椭圆 C 的方程为

=1.

(Ⅱ)当直线 MN 的斜率为 0 时,由|MN|= , 则 M( ,y),则 y= , 则直线 MN 在 y 轴上的截距为 , 当直线 MN 的斜率不存时,与 y 轴无焦点, 设 MN 为:y=kx+m,(k≠0)

联立

,得(1+6k2)x2+12kmx+6m2﹣6=0,





△=(12km)2﹣4(1+6k2)(6m2﹣6)>0,△=144k2﹣24m2+24>0,∴m2<6k2+1,

|MN|=

=,



=,

整理,得





<6k2+1,

整理得:36k4+12k2+1>0,即 6k2+1>0,k∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),



=

,令 k2+1=t,t>1,

则 f(t)=﹣2t﹣ + ,t>1,求导 f′(t)=﹣2+ , 令 f′(t)>0,解得:1<t< , 令 f′(t)<0,解得:t> , 则 f(t)在(1, )单调递增,在( ,+∞)单调递减, ∴当 t= 时,f(t)取最大值,最大值为 ,

∴m 的最大值为 ,
综上可知:m 的最大值为 . 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考 查韦达定理,弦长公式,利用导数求函数的单调性及最值,考查计算能力,属于 中档题.

21.(12 分)(2017?广州二模)已知函数 f(x)= ﹣ax+b 在点(e,f(e)) 处的切线方程为 y=﹣ax+2e. (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)若存在 x∈[e,e2],满足 f(x)≤ +e,求实数 a 的取值范围. 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点 切线方程. 【分析】(Ⅰ)求导,利用导数的几何意义,直线的点斜式方程,即可求得实数 b 的值; (Ⅱ)则 a≥ ﹣ 在[e,e2]上有解,构造辅助函数,求导,利用导数与函 数单调性的关系,求得 h(x)的取值. 【解答】解:(Ⅰ)f(x)= ﹣ax+b,x∈(0,1)∪(1,+∞),

求导,f′(x)=

﹣a,

则函数 f(x)在点(e,f(e))处切线方程 y﹣(e﹣ex+b)=﹣a(x﹣e), 即 y=﹣ax+e+b, 由函数 f(x)在(e,f(e))处的切线方程为 y=﹣ax+2e,比较可得 b=e, 实数 b 的值 e;

(Ⅱ)由 f(x)≤ +e,即 ﹣ax+e≤ +e,

则 a≥ ﹣ 在[e,e2],上有解,

设 h(x)= ﹣ ,x∈[e,e2],

求导 h′(x)= ﹣

=

=



令 p(x)=lnx﹣2 ,

∴x 在[e,e2]时,p′(x)= ﹣ =

<0,

则函数 p(x)在[e,e2]上单调递减, ∴p(x)<p(e)=lne﹣2 <0, 则 h′(x)<0,及 h(x)在区间[e,e2]单调递减,

h(x)≥h(e2)=

﹣ =﹣ ,

∴实数 a 的取值范围[ ﹣ ,+∞]. 【点评】本题考查导数的综合应用,导数的几何意义,利用导数求函数的切线方 程,利用导数求函数的单调性及最值,考查计算能力,属于中档题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.(10 分)(2017?广州二模)在平面直角坐标系 xOy 中.已知直线 l 的普通

方程为 x﹣y﹣2=0,曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数),设直线 l

与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)求线段 AB 的长 (2)已知点 P 在曲线 C 上运动.当△PAB 的面积最大时,求点 P 的坐标及△PAB 的最大面积. 【考点】KL:直线与椭圆的位置关系;QL:椭圆的参数方程. 【分析】(1)根据题意,将曲线 C 的参数方程变形为普通方程,将直线 x﹣y﹣ 2=0 代入其中,可得 x2﹣3x=0,解可得 x 的值,由弦长公式计算可得答案; (2)分析可得要使△PAB 的面积最大,则必须使 P 到直线直线 l 的距离最大, 设 P 的坐标为(2 cosθ,2sinθ),其中 θ∈[0,2π),由点到直线 l 的距离公

式可得 d=

,由余弦函数的性质分析可得当 θ+ =π,即 θ=

时,d 取得最大值,代入点的坐标(2 cosθ,2sinθ)中可得 P 的坐标,进而计 算可得△PAB 的最大面积,即可得答案.

【解答】解:(1)根据题意,曲线 C 的参数方程为 程为: + =1,

,则其普通方

将直线 x﹣y﹣2=0 代入 + =1 可得:x2﹣3x=0,

解可得 x=0 或 3,

故|AB|=

|x1﹣x2|=3 ;

(2)要求在椭圆 + =1 上求一点 P,使△PAB 的面积最大,则 P 到直线直线

l 的距离最大; 设 P 的坐标为(2 cosθ,2sinθ),其中 θ∈[0,2π),

则 P 到直线 l 的距离 d=

=



又由 θ∈[0,2π),则 ≤θ+ < ,
所以当 θ+ =π,即 θ= 时,d 取得最大值,且 dmax=3 , 此时 P(﹣3,1), △PAB 的最大面积 S= ×|AB|×d=9. 【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系,涉及椭圆的参数方程,关键是正确将 参数方程化为普通方程.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.(2017?广州二模)(I)已知 a+b+c=1,证明(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2 ≥;
(Ⅱ)若对任总实数 x,不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2 恒成立,求实数 a 的取值范 围. 【考点】R4:绝对值三角不等式;R6:不等式的证明. 【分析】(I)利用柯西不等式,即可证明;

(Ⅱ)分:①a= 、②a> 、③a< 三种情况,分别化简不等式,根据函数 y=|2x ﹣1|+|x﹣a|的最小值大于或等于 2,求得 a 的范围. 【解答】(I)证明:由柯西不等式可得(1+1+1)[(a+1)2+(b+1)2+(c+1) 2]≥(a+1+b+1+c+1)2, ∵a+b+c=1,∴(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥ ;
(Ⅱ)解:①当 a= 时,不等式即|x﹣ |≥ ,显然不能任意实数 x 均成立.

②当 a> 时,|2x﹣1|+|x﹣a|=

,此时,根据函数 y=|2x﹣1|+|x

﹣a|的单调性可得 y 的最小值为﹣3× +a+1. ∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2 对任意实数 x 均成立, ∴﹣3× +a+1≥2,解得 a≥ .

③当 a< 时,|2x﹣1|+|x﹣a|=



此时,根据函数 y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得 y 的最小值为﹣ ﹣a+1. ∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2 对任意实数 x 均成立, ∴﹣ ﹣a+1≥2,解得 a≤﹣ .
综上可得,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞). 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化以及分类讨论的数学思 想,属于中档题.


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