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陕西省西安市第七十中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题

2015—2016 学年第一学期高一数学期中考试试卷
考试时间: 100 分钟 总分:100 分

一、

选择题:(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题意要求的,请将答案填下表中) 1.满足条件 ?a? ? A ? ?a, b, c? 的所有集合A的个数是 ( A、1个 B、 2个 C、 3个 ) ) D、4个

2.下列各组中,函数 f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的一组是 ( A、

f ( x) ? lg x2 和 g ( x) ? 2lg x
f ( x) ? x 和 g ( x) ? x2 x

B、

f ( x) ? x ? 2 和 g( x) ? x2 ? 4x ? 4
x

C、

D、 f ( x ) ? log 3 3

和 g ( x) ? 3 x3
)

2 x 3.设集合 S ? y y ? 3 ? 2, x ? R ,T= y y ? log 2 ( x ? 2 x ? 5), x ? R? ,则 S ? T 是 (

?

? ?

A、S

B、T

C、有限集

D、 ?

4. 如果二次函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1 在 (??, ?1) 上是减函数, 在 (?1, ??) 上是增函数, 则 f ( x) 的最小值为( A、-1 ) B、1 C、-2 D、0

5. y ? ?m ? 1?x 2 ? 2mx ? 3 是偶函数,则 f(-1), f( ? A、f( 3 )<f( ? C、f( ?

2 ), f( 3 )的大小关系为( 2 )<f( 3 ) 2)

)

2 )<f(-1),

B、f(-1)<f( ?

2 )<f( 3 )<f(-1),

D、f(-1)<f( 3 )<f( ?
x

x 6. 设 f ( x) ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0 在 x ? (1, 2) 内近似解的过程中得

,则方程的根落在区间( ) f (1) ? 0 , f (1.25)? 0 ,f (1.5) ? 0 A、(1 , 1.25) B、(1.25 , 1.5) C、(1.5 , 2) D、不能确定

7 .设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则

f (19.5)等于 (
(A)0.5
0.7

) (B) ? 0.5
2

(C)1.5 )

(D) ? 1.5

8. 若 a ? 2 , b ? log2 0.7, c ? 0.7 ,则 a, b, c 的大小关系是(

-1-

A、 a ? c ? b

B、 a ? b ? c
a a

C、 b ? c ? a ) C、. 25 )

D、 b ? a ? c

9. 若 a log5 3 ? 1,则 3 ? 9 的值为( A、15 B、20

D、30

10、函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是(

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。将答案直接填在横线上) 11.函数 y ?

log ( x ?1) (3 x ? 5) 的定义域是
个根。



12.方程 log3 x ? x ? 5 有

13.若幂函数 f ? x ? 的图象过点 (?8, ?2) ,则 f (?27)



14.已知函数

?2 f ( x ),0? f ( x )?1, 6 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ?1, f ( x ) ?1, ,且 f (1) ? 7 , 则 f (2015) ? ?

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 44 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 15、(本小题满分 7 分)设全集为 R, A ? ? x | 2 ? x ? 5? , B ? ? x | 3 ? x ? 8? ,

C ? { x | a ? 1 ? x ? 2a } .
(1)求 A ? B 及 ?R ( A ? B) (2)若 ( A ? B) ? C ? ? ,求实数 a 的取值范围.

-2-

16.(本小题满分 7 分)计算: (1) 1.5
? 1 3

?8

0.25

2 2 ? 2 ? ( 2 ? 3 ) ? (? ) 3 3
4 3 6

(2) lg 500 ? lg

8 1 2 ? lg 64 ? 50 ? lg 2 ? lg 5 ? 5 2

17.(本小题满分 10 分) 一 种 水 果 自 某 日 上 市 起 的 300 天 内 , 市 场 售 价 与 上 市 时 间 的 关 系 为

f (t ) ? 2t ?300,200?t ?300,
g (t ?)
示. (1)写出函数 h(t)的解析式;

? 300?t ,0?t?200
2



























1 t? ( 200

?1 5 ? 0t ? )

1 0 0 , 0 3 0 0 . 若认定市场售价减去种植成本为纯收益并用 h (t) 表

(2)问何时上市的这种水果纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/102 ㎏,时间单位:天)

-3-

18. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=

2 -1 , x 2 +1

x

(1) 证明:函数 f(x)是 R 上的增函数; (2) 求函数 f(x)的值域 (3) 令 g(x)=

x ,判定函数 g(x)的奇偶性,并证明 f?x?

19.(本小题满分 10 分) 设函数 f(x)对任意 x,y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0 时,f(x)<0,f(1)= -2. ⑴ 求证:f(x)是奇函数; ⑵ 试问在 ? 3 ? x ? 3 时,f(x)是否有最值?如果有求出最值;如果没有,说出理由.

-4-

2015~2016 学年度第一学期期中考试 高一年级数学参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,请将答案填在下表中) 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 D 5 A 6 B 7 B 8 C 9 D 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。将答案直接填在横线上) 11. ? , 2 ? ? ? 2, ?? ?

?5 ?3

? ?

12. 2

13. -3

14 .

3 7

三、解答题(本大题共 5 小题,共 44 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 15. (本小题满分 7 分) 解: (1) A ? B = ?x | 3 ? x ? 5? ∴ ∵ A ? B ? ?x | 2 ? x ? 8?
R

(2)当 C ? ? 时,则有 a ? 1 ? 2a, 得a ? ?1 当 C ? ?时 ,则有 2a ? 3 或 a ? 1 ? 5 且 a ? 1 ? 2a 得 ?1 ? a ?
3? ∴实数 a 的取值范围为 ? ? ??, ? 2? ?

? ? A ? B? = ?x | x ? 2或x ? 8?

3 或a ? 6 2

或 ? 6, ?? ?

16、 (本小题满分 7 分) 解: (1) 1.5

2 2 ? 80.25 ? 4 2 ? (3 2 ? 3 ) 6 ? (? ) 3 =110 3 8 1 2 (2) lg 500 ? lg ? lg 64 ? 50 ? lg 2 ? lg 5 ? =52 5 2
?

1 3

17. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意得 h(t)=f(t)﹣g(t) ,

即 h(t)=

(2)据(1)h(t)= 当 0≤t≤200 时,配方整理得 h(t)= 所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得 h(t)= , .

-5-

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300)上的最大值 87.5 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50, 即 从上市之日开始的第 50 天时,这种水果的纯收益最大. 18. (本小题满分 10 分) (1) 证明:设 x1,x2 是 R 内任意两个值,且 x1<x2,则 x2-x1>0,

f(x1)-f(x2)=

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) - = , 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
2 x1 < 2 x2 , ∴ 2 x1 ? 2 x2 <0.
2 x2 +1>0, ∴ f(x1)-f(x2) <0.

当 x1<<x2 时,∵ 又∵ 2 1 +1>0, ∵
x

∴f(x)是 R 上的增函数; (2)

f(x)=

2 +1-2 2 =1- x , x 2 +1 2 +1

x

2 x ∵2 +1>1,∴0< x <2, 2 +1 2 2 即-2<- x <0,∴-1<1- x <1. 2 +1 2 +1 ∴f(x)的值域为(-1,1); (3) 由题意知 g(x)=
x x 2 +1 = x ·x, f?x? 2 -1

易知函数 g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

g(-x)=(-x)·

2 +1 1+2 2 +1 =(-x)· =g(x), -x x=x· x 2 -1 1-2 2 -1

-x

x

x

∴函数 g(x)为偶函数. 19. (本小题满分 10 分) ⑴ 证明:令 x=y=0,则有 f (0) ? 2 f (0) . 得 f (0) ? 0 令 y=-x,则有 f (0) ? f ( x) ? f (? x) . 即 f (? x) ? ? f ( x) ,

? f ( x) 是奇函数.
⑵ 任取 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 >0 从而 f ( x2 ? x1 ) <0 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ) ? ? f ( x 2 ? x1 ) ? 0 .

? f ( x1 )? f ( x2 ) . ? y ? f ( x) 在 R 上为减函数.
故 f (3) 为函数的最小值, f (?3) 为函数的最大值. f (3) ? f (1) ? f (2) ? 3 f (1) ? 6 ,

f (?3) ? ? f (3) ? ?6 , ? 函数最大值为 6,最小值为-6.

-6-


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