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等比数列前n项和优秀教学设计


§2.5.1 等比数列的前 n 项和
教学目标: 1、掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 2、 通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程, 体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价值, 发展数学的理性思维。 教学重点:等比数列的前 n 项和公式推导 教学难点:灵活应用公式解决有关问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学设想 本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主 和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周世界和生活实际为参照对 象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集 体等多种解难释疑的尝试活动, 将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。 让学 生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。设计思路如下: 创设情境 布疑激趣 观察实验 建立模型 探寻特例 提出猜想 深入思考 证明猜想 简单应用 总结评估

教材分析:本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙 去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有 一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求, 违背教学规律的做法 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

一、复习: 首先回忆一下前两节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: { an }成等比数列

?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

2. 等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0)
3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 5.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq
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6.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法

二、讲解新课: *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准 备对大臣进行奖赏. 国王问大臣: “你想得到什么样的奖赏?” ,这位聪明的大臣达依尔说: “陛下,请您在 这张棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒, 在第二个格子内放上 2 颗麦粒, 在第三个格子内放 上 4 颗麦粒,在第四个格子内放上 8 颗麦粒,…,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的 麦粒数的 2 倍的规律,放满棋盘的 64 个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”. 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个格内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第四个格内放 8 粒,……,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来, 也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺. 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢? 各个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大臣西萨?班?达依尔所要的奖赏 就是这个数列的前 64 项和. *动脑思考 探索新知 如何求数列 1,2,4,?262,263 的各项和 以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:
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S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 262 ? 263
2 S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16? ? 263 ? 264 由②—①可得: S 64 ? 2 64 ? 1

① ②

这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法” ,是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前 n 项和公式: ∴当 q ? 1 时, S n ?

王新敞
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a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an
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由?

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q 2 ? ? a1 q n ? 2 ? a1 q n ?1 ? 得? ?qSn ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n ?

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )
= a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利 用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决
王新敞
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现在我们看一看本节趣味数学内容中,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺? 国王承诺奖赏的麦粒数为
S64 ? 1(1 ? 264 ) ? 264 ? 1 ? 1.84 ? 1019 , 1? 2

据测量,一般麦子的千粒重约为 40g ,则这些麦子的总质量约为 7.36×1017 g,约合 7360 多亿吨.我国 2000 年小麦的全国产量才约为 1.14 亿吨,国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承 诺呢! *巩固知识 典型例题 例 1 写出等比数列

1,?3,9,?27,?
的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项的和. 解 因为 a1 ? 1, q ?
Sn ?
S8 ?

?3 ? ?3 ,所以等比数列的前 n 项和公式为 1

1 ? [1 ? (?3)n ] 1 ? (?3) n ? , 1 ? (?3) 4
1 ? (?3)8 ? ?1640 . 4



例 2 求等比数列 1,2,4,?从第 5 项到第 10 项的和.
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由 a1 ? 1, a2 ? 2 得q ? 2

? S4 ?

1 ? (1 ? 2 4 ) 1 ? (1 ? 210 ) ? 15 , S10 ? ? 1023 1? 2 1? 2

从第 5 项到第 10 项的和为 S10 - S 4 =1008 *运用知识 强化练习 练习 1、求等比数列

1 2 4 8 , , , ,?的前 10 项的和. 9 9 9 9

2、已知等比数列{ an }的公比为 2, S 4 =1,求 S8 . 3、在等比数列 ?an ? 中, ①已知 a1 ? ?1.5, a7 ? ?96 ,求 q 和 S n ②已知 a3 ? 4, S 3 ? 12, 求 q 和 a1 4、求数列 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? ?a n?1 ? ?(a ? 0) 的前 n 项和。

*归纳小结 强化思想 1. 等比数列求和公式:当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?

a1 ? a n q 1? q

或 Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q



2.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(错位相减法、方程法)推导出了等 比数列的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 2.5 A 组 1、4(必做) ;学案(选做) *教学反思 教学设计从学生的角度出发,采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合 的方法分成五个步骤层次分明(1)创设问题情景、布疑激趣(2)启发引导学生数学地观察 问题,构建数学模型(3)探寻特例、提出猜想(4)数学应用(5)知识评估。学生在未经 预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下, 在教师预设的思路中, 一步步发现了公式 并推导了公式, 感受到了创造的快乐, 激发了学习数学的爱好, 教学的知识目标、 能力目标、 情感目标均得到了较好的落实。

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