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高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题6函数与导数第16讲导数的应用教学案理


第 16 讲 导数的应用 题型 1 利用导数研究函数的单调性 (对应学生用书第 53 页) ■核心知识储备………………………………………………………………………· 1.f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x)=x 在(-∞,+∞)上单调 递增,但 f′(x)≥0. 2. f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件, 当函数在某个区间内恒有 f′(x)=0 时, 则 f(x)为常函数,函数不具有单调性. 3.利用导数研究函数单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导函数 f′(x); (3)①若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ,只要在函数定义域内解 ( 或证明 ) 不等式 3 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ②若已知函数的单调性, 则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成 立问题来求解. ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 已知函数 f(x)=ax -x+ln x(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)? m>n>0, 2 f m -f n >1 恒成立,求实数 a 的取值范围. m-n 【导学号:07804112】 [思路分析] (1)求 f′(x)― →结合 a 的取值讨论 f(x)的单调区间; (2) f m -f n m-n 分离参数 等价变形 >1 ― ― ― ― → f(m) - m>f(n) - n g 构造函数 ― ― ― ― ― → 由 x =f x -x g′(x)≥0― ― ― ― ― →求 a 的取值范围. 1 2ax -x+1 [解] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2ax-1+ = . 2 x x -x+1 ①当 a=0 时,f′(x)= . x 1 显然,当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. ②当 a≠0 时,对于 2ax -x+1=0,Δ =(-1) -4×2a×1=1-8a. 1 2 当 Δ ≤0,即 a≥ ,因为 a>0,所以 2ax -x+1≥0 恒成立,即 f′(x)≥0 恒成立, 8 所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 1 1- 1-8a 2 若 Δ >0,即 0<a< 或 a<0,方程 2ax - x + 1 =0 的两根为 x1 = , x2 = 8 4a 1+ 1-8a . 4a 当 a<0 时,x1>0,x2<0. 2 2 ? 1- 1-8a? 2 当 x∈?0, ?时,2ax -x+1>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 4a ? ? 当 x∈? ?1- 1-8a ? 2 ,+∞?时,2ax -x+1<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 4a ? ? 1 当 0<a< 时,x2>x1>0. 8 ? 1- 1-8a? 2 当 x∈?0, ?时,2ax -x+1>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 4a ? ? 当 x∈? 当 x∈? ?1- 1-8a 1+ 1-8a? 2 , ?时,2ax -x+1<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 4 a 4 a ? ? ?1+ 1-8a ? 2 ,+∞?时,2ax -x+1>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 4 a ? ? 综上,当 a=0 时,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区

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