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湖南省岳阳县一中2014届高三数学上学期第二次考试试题 理 湘教版


岳阳县一中 2014 届高三第二次阶段考试 数学试卷(理)
时量:120 分钟 分值:150 分 命 题:周军才 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已 知 全 集 U ? {1,2,3,4,5} , 集 合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} , B ? {x | x ? a ? 1,
2

a ? A} ,则集合 ?U ? A ? B ? 等于
( B) (A){1,2,5} 2. 给出下列两个结论: ①若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

(B){3,4}

(C){3,4,5}

(D){1,2} ( C )

2

②命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题为: “若方程
2

; x 2 ? x ? m ? 0 没有实数根,则 m ? 0” 则判断正确的是 (A)①对②错 (B)①错②对 (C)①②都对 (D)①②都错 3. 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ( a ? b )的图象如下面左图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是 (A )

f(x)

(A) (B) (C) (D) 4. 若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? a x ? a ? 1? ,则有 (D ) (B) g (0) ? f (3) ? f (2) (D) g (0) ? f (2) ? f (3)
x

(A) f (2) ? f (3) ? g (0) (C) f (2) ? g (0) ? f (3)
x

5. 设函数 f ( x) ? lg(a ? b )(a ? 1 ? b ? 0) ,若 f ( x) 取正值的充要条件是 x ? [1,??) ,则

a , b 满足
(B ) (A) ab ? 1 (B) a ? b ? 1 (C) ab ? 10 (D) a ? b ? 10

1

6.

函 数

?1 f ( x) ? ? ?0

( x 为有理数) ( x 为无理数)

, (

则 下 列 结 论 错 误 的 是 D )

(A) f ( x) 是偶函数 (C) f ( x) 是周期函数 7. 已知两条直线 l1:y ? a 和 l2:y ?

(B)方程 f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1 (D)方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 的解为 x ? 1

18 (其中 a ? 0 ), l1 与函数 y ? log 4 x 的图像从 2a ? 1 左至右相交于点 A ,B ,l 2 与函数 y ? log 4 x 的图像从左至右相交于点 C ,D .记线段 AC
和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 m, n .当 a 变化时, ( C ) (A) 4 (B) 16 (C) 211 (D) 210

n 的最小值为 m

8. 定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个
2

零点,则 a 的取值范围是 ( B ) (A) (0,

2 ) 2

(B) (0,

3 ) 3

(C) (0,

5 ) 5

(D) (0,

6 ) 6

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分. 9. 若 a ? 0 , a 3 ? 25 ,则 log 1 a ?
5

.

答案: ?

2 3
x

10. 函数 f ( x) ? 1 ? 2 ? 答案: (?3,0]

1 的定义域 x?3

.

开始

11.

已 知 函 数 f ( x) ? 2 x ? m ( m 为 常 数 ) , 对 任 意 的

输入 x

x ? R, f ( x ? 3) ? f (? x) 恒成立,则 m =
答案: 3 12. 设 f ( x) ? ? 答案:-2 x=y

y=2x+1


?? log 3 ( x ? 1), ( x ? 6)
x ?6 ?3 ? 1 , ( x ? 6)

满足 f (n) ? ?

8 ,则 f (n ? 4) = 9

|x-y|>8
是 输出 y 2 结束

13. 执行如右下图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为 答案:23 14. 已 知 函 数 f ( x) ? m ? x ? 2m ?? x ? m ? 3? , g ( x) ? 2 x ? 2 . 若 同 时 满 足 条 件 ①

, 4 ? 0则 m 的 取 值 范 围 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ; ② ?x ?? ? ? ? , f (x? ) g (x )?,
是 答案: ? ?4, ?2 ? 15. 对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d( a ? 0 ) , 定义: 设 f ??( x) 是函数 y ? f ?( x) 的
3 2

.

导数, 若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0, 则称点 (x0, f (x0) ) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”. 有 同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’; 任何一个三次函数都有对称中心; 且‘拐 点’就是对称中心.”请你将这一发现作为条件. (1)函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x 的对称中心为 (2)若函数 g ( x) ? .

1 3 1 2 5 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ,则 g ? x ? x ? 3x ? ? ?? g? ?? g? ? 1 3 2 12 x ? ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ? 2
.

? 2013 ? ?? ? g ? ?= ? 2014 ? ?1 ? 答案: (1) ? ,1? ; (2)2013 ?2 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、 (本小题满分 12 分) 若集合 A ? {x | log a ( x ? x ? 2) ? 2 , a ? 0 且 a ? 1}
2

(1)若 a ? 2 ,求集合 A ; (2)若

9 ? A ,求 a 的取值范围. 4
2

答案:[解](1)若 a ? 2 , log 2 ( x ? x ? 2) ? 2 ,则 x ? x ? 2 ? 4
2

??????2 分 ??????4 分

x 2 ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 3
所以 A ? {x x ? ?2, 或 x ? 3} (2)因为

??????6 分 ??????8 分 所以 0 ? a ? 1 ??????10 分

9 9 9 ? A ,所以 log a [( ) 2 ? ? 2] ? 2 4 4 4 13 13 因为 log a log a ? 2, ?2?0 16 16

3



13 ? a2 16

??????11 分

13 ? a ?1 4

??????12 分

17、 (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? ln x ?

a (a ? R). x ?1

(1)当 a ?

9 时,如果函数 g( x) ? f ( x)? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a ? 2 时,试比较 f ( x )与 1 的大 解: (Ⅰ)当 a ?

9 9 时, f ( x) ? ln x ? ,定义域是 (0,?? ) , 2( x ? 1) 2

f ?( x) ?

1 9 (2 x ? 1)( x ? 2) ? ? , 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 或 x ? 2 . ?2 分 2

?当 0 ? x ?

1 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 2 2
1 2 1 2

∴函数 f ( x)在(0, ) 、 (2, ??) 上单调递增,在 ( , 2) 上单调递减. ?????4 分

1 3 ? f ( x) 的极大值是 f ( ) ? 3 ? ln 2 ,极小值是 f (2) ? ? ln 2 . 2 2

?当 x ? ?0 时, f ( x) ? ?? ;当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? , ?当 g ( x) 仅有一个零点时, k 的取值范围是 k ? 3 ? ln 2 或 k ?
(2)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? 令 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ln x ?

3 ? ln 2 .???6 分 2

2 ,定义域为 ? 0, ?? ? x?2

1 2 x2 ? 1 2 ? ?0 ? 1 , h?( x) ? ? x ? x ? 1?2 x ? x ? 1?2 x ?1
?????????????????????9 分

h( x) 在 ? 0, ?? ? 是增函数:

①当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ;

4

②当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ; ③当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 . ?????????????12 分

18、 (本小题满分 12 分) 函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点 (1, 0) 对称, x, y 满 足不等式 f ( x ? 2 x) ? f (2 y ? y ) ? 0 ,M (1, 2) N ( x, y ) ,O 为坐标原点,当 1 ? x ? 4 时,
2 2

求出 OM ? 0 N 的取值范围. 解:?函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点 (1, 0) 对称

???? ? ??? ?

?函数 y ? f ( x) 的图像关于点 (0, 0) 对称,即 y ? f ( x) 为奇函数,???2 分
又函数 y ? f ( x) 在 R 上的为减函数

? f ( x 2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 ? f ( x 2 ? 2 x) ? f ( y 2 ? 2 y) ? x 2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ???4 分
? x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y ?( x ? y )( x ? y ? 2) ? 0 ?? ?? ???6 分 ?1 ? x ? 4 ?1 ? x ? 4
画可行域,???9 分

0 N ? x ? 2 y ? [0,12] .???12 分 可得 OM ?
19、 (本小题满分 13 分) 某车间有 50 名工人,要完成 150 件产品的生产任务,每件产品由 3 个 A 型零件和 1 个 B 型零件配套组成,每个工人每小时能加工 5 个 A 型零件或者 3 个 B 型零件,现在把这些工人分 成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工 A 型零件 的工人数为 x 名 ( x ? N * ) . (1)设完成 A、B 型零件加工所需的时间分别为 f ( x)、g ( x) 小时,写出 f ( x) 与 g ( x) 的解 析式; (2)当 x 取何值时,完成全部生产任务的时间最短? 解: (1)生产 150 件产品,需要 A, B 型零件分别为 450、150 个 ∴ f ( x) ?

???? ? ??? ?

450 90 150 50 ? ? x ? N ,1 ? x ? 49 ? , g ( x) ? ? ? x ? N ,1 ? x ? 49 ? ???5 分 5x x 3(50 ? x) 50 ? x

(2)设完成全部生产任务所需时间为 h( x) ,则 h( x) 为 f ( x) 与 g ( x) 的较大者 令 f ( x) ≥ g ( x) ,即

90 50 1 解得 1 ? x ? 32 ? x 50 ? x 7
5

? 90 , ( x ? N * , 1 ? x ? 32) ? ?x 所以 h( x) ? ? ?????????????????7 分 ? 50 , ( x ? N * ,33 ? x ? 49) ? 50 ? x ?

90 45 单调递减,∴当 x ? 32 时, h( x)min ? 小时???9 分 16 x 50 50 ②当 33 ? x ? 49 时, h( x) ? 单调递增,∴当 x ? 33 时, h( x)min ? 小时?11 分 50 ? x 17
①当 1 ? x ? 32 时, h( x) ? 由于 h(32) ? h(33) ,∴ h( x) 在 ?1, 49? 上的最小值为 h(32) 故为了最短时间内完成全部生产任务, x 应取 32??13 分 20、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x . (1)求函数 f ( x) 的定义域和值域; (2) 设 F( x) ?

a ?f? ( x2) 2 ? ? f( ? x ) ? ? 2

( a 为实数) , 记函数 F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g ( a ) ,

若 ?m 2 ? 2tm ? 2 ? g (a ) 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ?[?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] ????1 分 又 f ( x) ? 2 ? 2 1 ? x ? [2, 4], 由 f ( x) ≥0 得值域为 [ 2, 2] ????4 分
2 2

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x 2 ? t 2 ? 1 , 2 1 2 1 2 ∴ F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] ????6 分 2 2 1 2 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值. 2 1 1 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at 2 ? t ? a 的对称轴. a 2
(2)因为 F ( x) ? 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

2 1 ①若 t ? ? ? 0, 2 ? 即 a ? ? ,则 g (a) ? m( 2) ? 2 ? 2 a

?

1 ②若 t ? ? ? a

?

2,2? ? 即?

1 2 1 ? 1? ? a ? ? ,则 g ( a ) ? m ? ? ? ? ? a ? 2a 2 2 ? a?

6

1 1 ③ t ? ? ? ? 2, ?? ? 即 ? ? a ? 0 ,则 g (a) ? m ? 2 ? ? a ? 2 2 a
1 ? ? a ? 2, a ? ? 2 ? 1 2 1 ? 综上有 g (a ) ? ? ? a ? ,? ? a ? ? ????9 分 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a ? ? 2 ?
易得 g min (a) ?

2,

????10 分

由 ?m 2 ? 2tm ? 2 ? g (a ) 对 a ? 0 恒成立, 即要使 ?m ? 2tm ? 2 ? g min (a) ?
2

2 恒成立,

? m2 ? 2tm ? 0 ,令 h ? t ? ? ?2mt ? m 2 ,对所有的 t ? ? ?1,1? , h ? t ? ? 0 成立,
只需 ?

?h( ?1) ? 2m ? m 2 ? 0
2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0

,

求出 m 的取值范围是 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 . ????13 分 21、 (本小题满分 13 分)

2 ? 1( x ? 0, a ? 0) . x ?1 (1)若 f ( x) 在 x ? 1处取得极值,求 a 的值;
已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)若 a ? 1 且 b ? 0 ,函数 g ( x) ?

1 3 bx ? bx ,若对于 ?x1 ? (0,1) ,总存在 x2 ? (0,1) 3

使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围. 解: (1) f ' ( x) ?

a 2 a( x ? 1) 2 ? 2(ax ? 1) ? ? ax ? 1 ( x ? 1) 2 (ax ? 1)( x ? 1) 2
?????1分 ?????2分 ?????3分

?

ax 2 ? a ? 2 (ax ? 1)( x ? 1) 2
'

由 f ?1? ? 0 得,

2a ? 2 ? 0,? a ? 1
(2)? f ' ( x) ?

ax 2 ? a ? 2 (a ? 0, x ? 0) (ax ? 1)( x ? 1) 2
'

若 a ? 2, x ? 0 ,得 f

? x? ? 0

?????4分

7

+? ? 上单调递增, 即 f ? x ? 在 ? 0,
若 0 ? a ? 2令f ' ( x) ? 0得x ?

?????5分

2?a 或? a
(0,

2?a (舍去)??????6分 a
2?a a

x
f ' ( x)
f ( x)

2?a ) a

(

2?a ,??) a

- 单调减

0

+ 单调增 ???????8分

? 2?a ? 2?a 0 , ,+?) ,单调增区间是( ,????9分 ? f ( x) 的单调减区间是 ? ? ? ? a a ? ?
(3) a ? 1 由(2)得 f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数,

? ln 2 ? f ( x) ? 1 ,即 f ? x ? 值域 A ? ? ln 2,1?
又 g ' ( x) ? bx ? b ? b( x ? 1)( x ? 1)
2

??????10 分

?b ? 0
? x ? (0,1) 时 g ' ? x ? ? 0

? g ? x ? 在 ? 0,1? 上递增.
2 ? ? ? g ( x) 的值域 B ? ? 0, ? b ? 3 ? ?
由 ?x1 ? (0,1), ?x2 ? (0,1) 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,

???11 分 ????12 分

? A ? B,
即?

2 b ?1 3
????13 分

3 ?b ? ? . 2

8


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