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1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件


§1.2

命题及其关系、充分条 件与必要条件 自主学习

基础知识
要点梳理
1.命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的,可以________ 判断真假 判断为真 的陈述句叫做命题.其中_________的语句叫真命题, 判断为假 __________的语句叫假命题.

2.四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 若p,则q 若q,则p __________ ___________ 若? p, 则?q ___________ 若?q, 则? p

(2)四种命题间的逆否关系
逆命题

否命题

逆否命题

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有_____的真假性; 相同
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假

性___________. 没有关系
3.充分条件与必要条件 (1)如果p? q,则p是q的________,q是p的________; 充分条件 必要条件 ? (2)如果p?q,q?p,则p是q的__________. 充要条件 ? ? 4.特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件,又 否定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的 结论.

基础自测
1.下列语句是命题的是 ①求证 3 是无理数; ②x2+4x+4≥0; ③你是高一的学生吗? ( )

④一个正数不是素数就是合数;
⑤若x∈R,则x2+4x+7>0. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.③④⑤

解析

①③不是命题,①是祈使句,③是疑问句.而 1 ②④⑤是命题,其中④是假命题,如正数 既不是 2 素数也不是合数,②⑤是真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0

恒成立,x2+4x+7=(x+2)2+3>0恒成立.
答案 C

2.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是
A.“若x<y,则x2<y2” B.“若x>y,则x2>y2” C.“若x≤y,则x2≤y2” D.“若x≥y,则x2≥y2”

(C )

3.(2009·江西文,1)下列命题是真命题的为( A ) 1 1 A. 若 ? , 则x ? y x y B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则 x ? y D.若x<y,则x2<y2 1 1 解析 由 ? 得x=y,A正确,B、C、D错误. x y

4.(2008·湖北理,2)若非空集合A、B、C满足

A∪B=C,且B不是A的子集,则

(B ) A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是 “x∈A”的必要条件 解析 由题意知,A、B、C的关系可用 右图来表示.

若x∈C,不一定有x∈A,而x∈A,则必有x∈C,
∴“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.

5.(2009·四川文,7)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则 “a>b”是“a-c>b-d”的 ( B)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ∵c>d,∴-c<-d,a>b, ∴a-c与b-d的大小无法比较;

当a-c>b-d成立时,假设a≤b,-c<-d,
∴a-c<b-d,与题设矛盾,∴a>b. 综上可知,“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分 条件.

题型分类
题型一

深度剖析

命题的关系及命题真假的判断

【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题,并判断它们的真假.

(1)面积相等的两个三角形是全等三角形.
(2)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根. (3)若x2+y2=0,则实数x、y全为零. 思维启迪 →

写成“若p,则q”的形式

写出逆命题、否命题、逆否命题 → 判断真假



(1)逆命题:全等三角形的面积相等,真命题.

否命题:面积不相等的两个三角形不是全等三角形,

真命题.
逆否命题:两个不全等的三角形的面积不相等,假命 题. (2)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题. 否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1, 真命题.

(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题.

否命题:若x2+y2≠0,则实数x,y不全为零,真命题.
逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题. 探究提高 (1)在写一个命题的逆命题、否命题、逆 否命题时,首先要看这个命题是否有大前提.若有大 前提,必须保留其大前提,大前提不能动.

(2) 原命题和其逆否命题等价.

知能迁移1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否 命题,并判断其真假.
(1)若m,n都是奇数,则m+n是奇数.

(2)若x+y=5,则x=3且y=2.
解 (1)逆命题:若m+n是奇数,则m,n都是奇 数,假命题. 否命题:若m、n不都是奇数,则m+n不是奇数, 假命题. 逆否命题:若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数, 假命题. (2)逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,真命题. 否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,真命题. 逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,假命题.

题型二

充要条件的判断

【例2】指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充 分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条 件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B;

(2)对于实数x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0. 思维启迪 首先分清条件和结论,然后根据充要条 件的定义进行判断.



(1)在△ABC中,∠A=∠B? sin A=sin B,反 ?

之,若sin A=sin B,因为A与B不可能互补(因为三 角形三个内角和为180°),所以只有A=B. 故p是q的充要条件. (2)易知,?p:x+y=8, ?q:x=2且y=6,显然 ? q? ?p, ? ?q,即 ?q是?p的充分不必要条件,根据原命题 但?p 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有 x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以p?q但q ? p,故p是q的充分不必要条件.

探究提高

判断p是q的什么条件,需要从两方面分

析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命

题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观
化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题 的等价性,转化为判断它的等价命题.

知能迁移2

(2009·安徽理,4)下列选项中,p是 ( )

q的必要不充分条件的是

A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d
B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过 第二象限 C.p:x=1,q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上

为增函数

解析

由于a>b,c>d ?a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定 ?

推出a>b,c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当 a>1,b>1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-

b不过第二象限时,有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不
必要条件.C中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有 x=1,故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条

件.
答案 A

题型三

充要条件的证明

【例3】 (12分)求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a≤0或a=1. 思维启迪 (1)注意讨论a的不同取值情况; (2)利用根的判别式求a的取值范围.

证明

充分性:

1 当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为 x ? ? , 2 方程只有一负根.
当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1, 方程只有一负根.

2分 4分

当a<0时,Δ =4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,

1 且 <0,方程有一正一负根. a 必要性:
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时,适合条件. 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,

6分

8分

则Δ =4-4a≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一负根x=-1. 10分 ?a ? 1 若方程有且仅有一负根, ? 1 则? ,? a ? 0. ?a ? 0 ? 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为

a≤0或a=1.

12分

探究提高

(1)条件已知证明结论成立是充分性.

结论已知推出条件成立是必要性;
(2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性. 证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论,由结论到条件的两次证明; (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这

就要分清哪是条件,哪是结论.

知能迁移3

求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大

于3的必要条件是|a|> 吗?为什么? 证明

3 , 这个条件是其充分条件

设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2,

则平方和大于3的等价条件是

?? ? a 2 ? 4 ? 0 ? ? 2 2 ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? (? a ) 2 ? 2 ? 3, ? 即a ? 5或a ? ? 5. ?{a | a ? 5或a ? ? 5}

{a || a |? 3},

∴|a|> 3 这个条件是必要条件但不是充分条件.

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必 须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并

列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其
中一个(或n个)作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命 题与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都 是真的.

3.命题的充要关系的判断方法

(1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:即利用

的等价关系,对
于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若A?B,则A是B的 ? 充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要 条件.

失误与防范
1.否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论, 而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别.

2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方
向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.

定时检测
一、选择题 1.(2009·重庆文,2)命题“若一个数是负数,则 它的平方是正数”的逆命题是 B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析 原命题的逆命题:若一个数的平方是正数, 则它是负数. ( B)

A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”

2.(2009·浙江理,2)已知a,b是实数,则“a>0且 b>0”是“a+b>0且ab>0”的 A.充分而不必要条件 ( C)

B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析

当a>0且b>0时,一定有a+b>0且ab>0.反之,

当a+b>0且ab>0时,一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0” 是“a+b>0且ab>0”的充要条件.

3.(2008·广东文,8)命题“若函数f(x)=logax
(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的 逆否命题是 义域内不是减函数 ( ) A.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定

B.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定
义域内不是减函数 C.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数 D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义 域内是减函数

解析

由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命

题为:若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1) 在其定义域内不是减函数. 答案 A

4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R}, 则“x∈A”是“x∈B”的 ( B )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 x∈A A={x|x≥2或x≤0},B={x|x>2}, x∈B,但x∈B ?x∈A. ?

5.集合A={x||x|≤4,x∈R,},B={x|x<a},则“A?B” ? 是“a>5”的 ( B )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a>4 A={x|-4≤x≤4},若A?B,则a>4, ? a>5,但a>5?a>4. ? 故“A? B”是“a>5”的必要不充分条件. ?

π 1 6.(2009·北京文,6) ? ? " 是" cos 2? ? " 的 " 6 2

( A ) A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 π π 1 π 解析 当? ? 时, cos 2? ? cos ? ; 而当 ? ? ? 时, 6 3 2 6 π 1 这说明 cos 2? ? 1 时, ?除 π 外 cos 2? ? cos( ? ) ? , 3 2 2 6 π 1 还可以取其他的值.所以 "? ? " 是" cos 2? ? " 的
6 2

充分而不必要条件.

二、填空题 7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值范围是______. [1,2)

解析

x?[2,5]且x?{x|x<1或x>4}是真命题. ? ?

? x ? 2或x ? 5, 由? 得1≤x<2 . ?1 ? x ? 4.

8.设p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充 1 [0, ] 分不必要条件,则实数a的取值范围是________. 2 1 解析 p: ≤x≤1,q:a≤x≤a+1, 2 易知p是q的真子集,

1 ? 1 ?a ? , ?? 2 ?0 ? a ? . 2 ?a ? 1 ? 1. ?

9.(2009·江苏,12)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,
给出下列命题:①若 ? 内的两条相交直线分别平行 于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; ②若 ? 外一条直线l与 ? 内的一条直线平行,则l和

? 平行; ③设 ?和 ? 相交于直线l,若 ? 内有一条直线垂直于 l,则 ? 和 ? 垂直; ④直线l与 ? 垂直的充分必要条件是l与 ? 内的两条直
线垂直. 上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真 命题的序号).

解析

命题①是两个平面平行的判定定理,正确;命

题②是直线与平面平行的判定定理,正确;命题③中 在? 内可以作无数条直线与l垂直,但 ? 与 ? 只是相交 关系,不一定垂直,错误;命题④中直线l与 ?垂直

可推出l与 ? 内两条直线垂直,但l与 ? 内的两条直线
垂直推不出直线l与 ? 垂直,所以直线l与 ? 垂直的必 要不充分条件是l与 ? 内两条直线垂直. 答案 ①②

三、解答题

? x ? 2 ? 0, 10.已知命题p: ? 命题q:1-m≤x≤1+m,m>0, ? x ? 10 ? 0, 若 ? p是?q 的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解 p:x∈[-2,10],q:x∈[1-m,1+m],m>0, p. ∵ ? p是?q 的必要不充分条件,∴p?q且q ? ∴[-2,10][1-m,1+m].

?m ? 0, ? ? ?1 ? m ? ?2, ? m ? 9. ?1 ? m ? 10. ?

11.已知p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若
?

p是?q 的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.
由题意p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5.



∴ ? p :x<1或x>5. q:m-1≤x≤m+1,

∴ ? q :x<m-1或x>m+1.
又∵
?

p是?q 的充分而不必要条件,

?m ? 1 ? 1, ?? ? 2 ? m ? 4. ?m ? 1 ? 5.

12.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要
条件. 解 (1)a=0适合. (2)a≠0时,显然方程没有零根. 若方程有两异号实根,则a<0;

若方程有两个负的实根,则
?1 ?a ? 0 ? ? 2 必有 ? ? ? 0 , 解得0<a≤1. ? a ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? ?

综上知,若方程至少有一个负实根,则a≤1.
反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根, 因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的 充要条件是a≤1.

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