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数学:3.3.2《函数的极值与导数》课件(新人教A版选修1-1)


3.3.2 函数的极值与导数

复习: 单调性与导数的关系:
设函数y=f(x)在某个区间内可导,

?如果f ′(x)>0,则f(x)为增函数; ?如果f ′(x)<0,则f(x)为减函数; ?如果f ′(x)=0,则f(x)为常数函数;

跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 h
其图象如右.

o

t

h?(a) ? 0

单调递增
h
h?(t ) ? 0

单调递减
h?(t ) ? 0

o a

t

y

ab c

d

o

e

f

g

h

x

对于d点 函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附 近其他点的函数值都小,
f ?( d ) =0 。

我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点, f(d)叫做函数y=f(x)的极小值。 在点x=d 附近的左侧 f ?( x) <0 在点x=d 附近的右侧 f ?( x) >0

y

ab c

d

o

e

f

g

h

x

对于e点 函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附 近其他点的函数值都大,f ?(e) =0 。 我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点, f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。 在点 x=e 附近的左侧 f ?( x) >0

在点 x=e 附近的右侧 f ?( x) <0

y

ab c

d

o

e

f

g

h

x

极小值点、极大值点统称为极值点 极小值、极大值统称为极值 极大值一定大于极小值吗?

例题选讲
例1 求
解: 令

y? ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2).
,解得 y? ? 0 x1=-2,x2=2. ,y的变化情况如下表 : y? 当x变化时,

1 3 . 4 y ? x ? 的极值 4x ? 3 2

x (-∞,-2) y’ + y ↗

-2 0 极大值28/3

(-2,2) ↘

2 0 极小值-4/3

(2,+∞) + ↗

因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.

一般地,求函数的极值的方法是:
解方程 f ?( x ) =0.当 f ?( x ) =0时. ①如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x ) ? 0 那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶” ②如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x ) ? 0

那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”

导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
例如f ( x) ? x
3
2 ? 可知f ( x) ? 3x , 从而f ?(0) ? 0

y

y ? x3

但x=0不是函数的极值点 导数为零的点是 该点为极值点的必要条件, 而不是充分条件.
o

x


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