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精美编排-湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(1)-含答案

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 56 分, 每小题 7 分。 ) 1 已知复数 m 满足 m ? @ 1 1 ? 1 , 则 m 2008 ? 2009 ? m m @ 2 @ @ 设 f ( x) ? ? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f ( x) 的 值 域 为 6 4 2 2 S S1 S 2 , ,?, 15 中最 a1 a2 a15 3 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 S15 ? 0, S16 ? 0 , 则 @ 大的是 @ @ 4 已知 O 是锐角△ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 , 若 AO ? x AB ? y AC , 且 2 x ? 10y ? 5 , 则 cos ?BAC ? @ @ 5 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, O 为底面 ABCD 的中心, M, N 分 别是棱 A1D1 和 CC1 的中点 则四面体 O ? MNB1 的体积为 @ @ @ 6 设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} , 且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C , 则符合条 件的 ( A, B, C ) 共有 7 @ @ 组 (注: A, B, C 顺序不同视为不同组 ) @ @ 设 y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , 则 | y| 的 最 小 值 为 8 设 p 是给定的正偶数, 集合 Ap ? {x | 2 ? x ? 2 p @ @ p ?1 , x ? 3m, m ? N}的所有元素的 和是 二、解答题(本题满分 64 分, 第 9 题 14 分, 第 10 题 15 分, 第 11 题 15 分, 第 12 题 20 分。 ) 9 设数列 {an }(n ? 0) 满足 a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? @ 1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其中 2 m, n ? N, m ? n @ (1)证明:对一切 n ? N , 有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明: 1 1 1 ? ??? ?1 a1 a2 a2009 @ 10 求不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5x6 ? 21的正整数解的组数 @ @ 11 已知抛物线 C: y ? @ 1 2 x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点, 设点 P 为直线 l 上的 2 @ 动点, 过 P 作抛物线 C 的两条切线, A, B 为切点 (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; 12 设 a, b, c, d 为正实数, 且 a ? b ? c ? d ? 4 证明: @ @ a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 b c d a @ 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 参考答案 一、填空题(本题满分 56 分, 每小题 7 分。 ) 1 已知复数 m 满足 m ? @ 1 1 ? 1 , 则 m 2008 ? 2009 ? m m 0 @ 2 @ 设 f ( x) ? ? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f ( x) 的 值 域 为 6 4 2 2 3 [2, 2 ] 4 @ 3 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 S15 ? 0, S16 ? 0 , 则 @ S S1 S 2 , ,?, 15 中最 a1 a2 a15 大的是 S8 a8 @ 4 已知 O 是锐角△ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 , 若 AO ? x AB ? y AC , 且 @ 2 x ? 10y ? 5 , 则 cos ?BAC ? 1 3 @ 5 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, O 为底面 ABCD 的中心, M, N 分 @ 别是棱 A1D1 和 CC1 的中点 则四面体 O ? MNB1 的体积为 @ 7 48 @ 6 设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} , 且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C , 则符合条 @ 件的 ( A, B, C ) 共有 7 @ 1600 组 (注: A, B, C 顺序不同视为不同组 ) @ @ 设 y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , @ 则 | y| 的 最 小 值 为 2 2 ?1 @ 8 设 p 是给定的正偶数, 集合 Ap ? {x | 2 ? x ? 2 p 2 p ?1 ? 2 p ?1 和是 2 @ p ?1 , x ? 3m, m ? N}的所有元素的 二、解答题(本题满分 64 分, 第 9 题 14 分, 第 10 题 15 分, 第 11 题 15 分, 第 12 题 20 分。 ) 9 设数列 {an }(n ? 0) 满足 a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? @ 1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其中 2 m, n ? N, m ? n @ (1)证明:对一切 n ? N , 有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明: 1 1 1 ? ??? ?1 a1 a2 a2009 @ 证明 (1)在已知关系式 a m ? n ? a m ? n ? m ? n ?

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