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河北省衡水中学2016届高三上学期第七次调研考试理数试题 Word版含解析


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? x | y ? log 2 ? x ? 2 x

?

?

?? , B ? ? y | y ? 1 ? x ? ,那么
D. ?x |1 ? x ? 2?

A ? CU B ? (
A. ?x | 0 ? x ? 1 ? 【答案】A

) B. ?x | x ? 0? C. ?x | x ? 2?

考点:集合的运算. 2. 在复平面内,复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? 3i ,则 z 的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意 z ? 一象限,故选 A. 考点:复数的运算,复数的几何意义. 3. 在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 am?1 ? am?1 ? 2am ? m ? 2? ,数列 ?an ? 的前 n 项积 为 Tn ,若 T2m?1 ? 512 ,则 m 的值为( A. 4 B. 5 C. 6 D.7 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

1 ? 3i 1? i

?

2 2(1 ? i ) ? ? 1 ? i , z ? 1 ? i ,对应点为 (1,1) ,在第 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )

【答案】B 【解析】
2 试题分析:因为 {an } 是正项等比数列,所以 am?1 ? am?1 ? 2am ? am , am ? 2 ,又
2 m ?1 2 m?1 ? 512 ? 29 , m ? 5 .故选 B. ,所以 2 T2m?1 ? a1a2 ?a2m?1 ? am

考点:等比数列的性质. 4. 已知函数 f ? x ? ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

??

? ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? ,则 f ? x ? 2?

在区间 ?0,

? 2? ? 上的值域为( ? 3 ? ?
B. ? ? , ? ? 2 2?



A. ?0, ? 2 【答案】A

? 3? ? ?

? 1 3?

C. ? ? ,1?

? 1 ? ? 2 ?

D. ? ?

? 3 1? , ? 2 2? ?

考点:函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的周期,值域. 5. 执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是( A.2 B. )

1 2

C.-1

D.1

【答案】B 【解析】 试题分析:本题算法主要考查循环结构,由算法知,记第 k 次计算结果为 Sk ,则有

1 1 1 1 1 ? ?1 , S 2 ? ? ?1 ? S1 ,因此 {Sk } 是周 ? , S3 ? ? 2 , S4 ? 1 1? 2 1? 2 1 ? (?1) 2 1? 2 1 期数列,周期为 3,输出结果为 S2012 ? S3?670?2 ? S2 ? ,故选 B. 2 S1 ?
考点:程序框图,周期数列.

1 ? ? 6. 在二项式 ? x ? ? 的展开式,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新 2? 4 x ? ?
排成一列,有理数都互不相邻的概率为( A. )

n

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12

【答案】D

考点:二项式定理,古典概型.

【名题点睛】本题考查二项式定理与古典概型概率计算,考查等差数列的概念.首先应正确 掌握二项式定理,由二项展开式通项公式得各项系数,由等差数列的定义可求得指数 n 值,由 二项展开式通项中判断有理项的个数为 3,9 个数全排列,其中求 3 个有理数互不相邻的方法 数时用插入法,即把 6 个无理数排列,形成 7 个空档(含两头的) ,在这 7 个空档中选取 3 个 排列这 3 个有理数可得方法数. 7. 在 ? ABC 中, a , b, c 分别是 A, B, C 所对边的边长,若 cos A ? sin A ? 则

a?b 的值是( c
B. 2

2 ? 0, cos B ? sin B

) C. 3 D.2

A. 1 【答案】B 【解析】

考点:两角和与差的正弦公式,正弦函数的性质. 8. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几 何体的体积为( A.120 cm
3

) B.80 cm
3

C.100 cm

3

D.60 cm

3

【答案】C

【解析】 试题分析:由三视图知该几何体是长方体截去了一个角所得,

1 V ? 6 ? 5 ? 4 ? ? 6 ? 5 ? 4 ? 100(cm3 ) ,故选 C. 6
考点:三视图,体积. 9. 在 ? ABC 中, BC ? 5, G, O 分别为 ? ABC 的重心和外心,且 OG ? BC ? 5 ,则 ? ABC 的 形状是( ) B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能

???? ??? ?

A.锐角三角形

【答案】B 【解析】 试题分析:设 D 是 BC 边中点,则 OD ? BC ,

? ??? ? ? 1 ??? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? OG ? BC ? (OD ? DG) ? BC ? DG ? BC ? DA ? BC 3 ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ?2 ??? ?2 ??? ?2 2 1 1 ? ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? ? ( AC ? AB ) ? 5 ,所以 AC ? AB ? ?30 , 6 6 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? 2 ??? ?2 AB ? AC ? 30 , AB ? AC ? 25 ? AC ? BC ,所以 cos C ? 0 ,即 C 为钝角,三
角形为钝角三角形.故选 B. 考点:向量的线性表示与数量积,三角形形状的判断. 10. 平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? 0 ,沿 BD 将四边形折起成直二面角 A ? BD ? C ,且

??? ? ??? ?

??? ? 2 ??? ?2 2 AB ? BD ? 4 ,则三棱锥 A ? BCD 的外接球的表面积为(
A.



? 2

B.

? 4

C. 4?

D. 2?

【答案】C

考点:两平面垂直的性质,外接球与球的表面积.

x2 y 2 ? ? 1 ,其左、右焦点分别是 F1 , F2 ,已知点 M 坐标为 ? 2,1? , 4 5 ???? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? MF1 F2 F1 ? MF1 双曲线 C 上点 P ? x0 , y0 ?? x0 ? 0, y0 ? 0? ,满足 ???? ? ???? ? ,则 S?PMF1 ? S?PMF2 ? PF1 F2 F1
11. 已知双曲线 C 的方程 ( ) B.1 C.2 D.4

A.-1 【答案】C 【解析】

???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? MF1 F2 F1 ? MF1 试题分析:由已知 ???? ? ???? ? 得: MF1 cos ?PF1M ? MF1 cos ?F2 F1M ,所以 PF1 F2 F1

?PF1M ? ?F2 F1M ,即 M 在 ?PF1F2 的平分线上,可证 ?PF1F2 的内心在直线 x ? 2 上,所
以点 M 是 ?PF1F2 的内心, M 到三边的距离相等均为 d ? 1 ,所以

S?PMF1 ? S?PMF2 ?
?

1 1 d PF1 ? d PF2 2 2

1 ( PF1 ? PF2 ) ? a ? 2 ,故选 C. 2

考点:双曲线的性质,向量数量积的定义. 【名题点睛】本题考查双曲线的性质,单纯用计算方法非常难,通过向量的数形积定义,化

???? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? MF1 F2 F1 ? MF1 ? ???? 简已知 ???? ? 后知 ?PF1M ? ?F2 F1M ,即 M 在 ?PF1F2 的平分线上,此时 PF1 F2 F1
要联想到双曲线的一个性质: P 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上任一点, F1 , F2 是的左右焦点, a 2 b2

则 ?PF1F2 的内心在直线 x ? a 上,反之,直线 x ? a 上的任一点( ( a, 0) 点除外) ,一定是某 个 ?PF1F2 的内心( P 是双曲线右支上的点) .利用此结论可很快得出结论. 12. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ?

1 f ? x ? ,当 x ? ?0, 2? 时, 2

?1 2 ? 2 ? 2x , 0 ? x ? 1 ,函数 g ? x ? ? x3 ? 3x2 ? m ,若 ?s ???4,2 ?, ?t ??? f ? x? ? ? 4,2 ? ,不等 3 1 ? x ? ? 2 ,1 ? x ? 2 ??2
式 f ? s ? ? g ?t ? ? 0 成立,则实数 m 的取值范围( A. ? ??, ?12? 【答案】C B. ? ??, ?4? C. ? ??,8? ) D. ? ??,

? ?

31 ? ? 2?

考点:不等式恒成立,函数的值域. 【名题点睛】本题考查不等式恒成立问题,解题的关键是命题中量词的理解与命题的转化, 若 ?s ???4,2? , ?t ???4,2? ,不等式 f ? s ? ? g ?t ? ? 0 成立,即在 [?4, 2) 上,函数 f ( x ) 的最 小值大于或等于 g ( x) 的最大值.函数 g ( x) 是三次函数,可由导数的性质求得最大值,而函数

f ( x) 是分段函数, 由分段函数的定义可在每一个区间 (分为 [?4, 2),[?2, 0),[0, 2) 有三个区间)
上的值域,然后求出并集,得 f ( x ) 值域. 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13. 设 a ? 是

?

?

0

? 2 ? sin x ? 1 ? 2cos ?
.

x? 1 ? ? ? x 2 ? 2 的展开式中常数项 ?dx ,则 ? a x ? ? 2? x? ?

6

?

?

【答案】-332

考点:二项式定理的应用,定积分. 14. 以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1;
2 ③某项测量结果 ? 服从正太态布 N 1, ? , P ?? ? 5 ? ? 0.81 ,则 P ?? ? ?3? ? 0.19 ;

?

?

④对于两个分类变量 X 和 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说, k 越小,判断“ X 与 Y 有关系” 的把握程度越大. 以上命题中其中真命题的个数为 【答案】2 【解析】 试题分析:从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指 标检测,这样的抽样是系统抽样,①错;两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对
2 值越接近于 1,②正确;某项测量结果 ? 服从正太态布 N 1, ? , P ?? ? 5 ? ? 0.81 ,则

2

.

?

?

P ?? ? ?3? ? P ?? ? 5? ? 1? P ?? ? 5? ? 0.19 ,③正确;对于两个分类变量 X 和 Y 的随机变
量 K 的观测值 k 来说, K 越大,判断“ X 与 Y 有关系”的把握程度越大,④错.故只有 2 个正确.
2

考点:抽样方法(系统抽样) ,线性相关关系,正态分布,独立性检验. 15. 已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和两点 A? ?m,0? , B ? m,0?? m ? 0? ,若圆上存在点 P ,
2 2

使得 ?APB ? 90? ,则 m 的取值范围是 【答案】 ? 4,6?

.

考点:两圆的位置关系. 【名题点睛】判断两圆的位置关系有两种方法,一是解由两圆方程组成的方程组,若方程组 无实数解,则两圆相离,若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切,若方程组有两组不同 的实数解,则两圆相交,二是讨论两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.第一种方法在计算 上较繁琐,因此一般采用第二种方法. 16. f ? x ? 是定义在 R 上的函数,其导函数为 f ' ? x ? ,若 f ? x ? ? f ' ? x ? ? 1, f ? 0? ? 2016 , 则不等式 f ? x ? ? 2015 ? e ? 1 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为
x

.

【答案】 (0, ??) 【解析】

f '( x) ? f ( x) ? 1 f ( x) ? 2015 ? e x ? 1 试题分析:设 g ( x) ? ,则 g '( x) ? ,因为 x ex e

f ( x) ? f '( x) ? 1 ,所以 g '( x) ? 0 ,即 g ( x) 是 R 上的增函数,又

g (0) ?

f (0) ? 2015e0 ? 1 ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 的解集为 x ? 0 ,又 e0

g ( x) ? 0 ? f ( x) ? 2015 ? ex ?1 ? 0 ,所以所求不等式解集为 (0, ??) .
考点:导数与单调性,解函数不等式. 【名题点睛】本题考查导数的应用,解不等式 f ? x ? ? 2015 ? e ? 1 的关键是构造新函数,新
x

函数能够利用已知条件判断其单调性,利用单调性解不等式是这种类型问题的常规解法.考

虑到已知条件,设 g ( x) ?

f '( x) ? f ( x) ? 1 f ( x) ? 2015 ? e x ? 1 ,则 g '( x) ? ,由此可得 x ex e

g '( x) ? 0 ,得 g ( x) 是递增的,不等式可解.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,向量 a ? ? Sn ,1? , b ? ? 2 ? 1,
n

?

?

? ?

1? ?满 2?

足条件 a ? b . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;

? ?

1 ?1? ⑵设函数 f ? x ? ? ? ? ,数列 ?bn ? 满足条件 b1 ? 1, f ? bn?1 ? ? . f ? ?bn ? 1? ?2?
①求数列 ?bn ? 的通项公式; ②设 cn ?

x

bn ,求数列 c n 的前 n 项和 Tn . an
n?2 . 2n

【答案】 (1) an ? 2n ; (2)① bn ? n ;② Tn ? 2 ?

考点:向量平行,由 Sn 求通项 an ,等差数列的通项公式,错位相减法求和. 18(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA ? 底面 ABCD , AB 垂直于 AD 和 BC , SA ? AB ? BC ? 2, AD ? 1, M 是棱 SB 的中点. ⑴求证: AM ? 平面 SCD ; ⑵求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值; ⑶设点 N 是直线 CD 上的动点, MN 与平面 SAB 所成的角为 ? ,求 sin ? 的最大值.

【答案】 (1)证明见解析; (2) 【解析】

6 35 ; (3) ? sin ? ?max ? . 3 7

试题分析:本题考查线面平行的判断,求二面角,求直线与平面所成的角,可用线平行的判 定定理,先证线线平行,得线面平行,在求二面角和直线与平面所成角的时候可以通过作角、 证明、计算求出结果.由于图形中有 AS , AB, AD 两两垂直,因此可能以它们为坐标轴建立空

间直角坐标系,用空间向量法解决本题.证明线面平行时,证明直线的方向向量与平面的法 向量垂直,由两平面的法向量的夹角与二面角相等

或互补可得二面角,由直线方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值(绝对值)等于直线与 平面所成角的正弦值求线面角,设 N ? x,2x ? 2,0? ,则 sin ? 可表示为 x 的函数,由函数的性 质可得最大值.

考点:用向量法证明线面平行,求二面角,求直线与平面所成的角.

19. (本小题满分 12 分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为 了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30,女 20) ,给所有同 学几何体和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答,选题情况如下表(单位:人) 几何题 男同学 女同学 总计 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50

⑴能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? ⑵经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5-7 分钟,乙每次解答一道几何题 所用的时间在 6-8 分钟,现甲,乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率; ⑶现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究,记甲、乙 两女生被抽到的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ? X ? . 附表及公式:

P ? K 2 ? k0 ?

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0
2

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
【答案】 (1)能; (2)

1 1 ; (3)分布列见解析,期望为 . 8 2

考点:独立性检验,几何概型,古典概型,随机变量分布列与数学期望. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,以原点为圆心, 2 2 a b

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 7 x ? 5 y ? 12 ? 0 相切. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 A ? ?4,0? , 过点 R ? 3,0 ? 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P, Q 两点, 连接 AP, AQ 分 别交直线 x ?

16 于 M , N 两点, 若直线 MR, NR 的斜率分别为 k1 , k2 , 试问:k1k 2 是否为定值? 3

若是,求出该定值,若不是,请说明理由.

12 x2 y 2 ? ? 1; 【答案】 (1) (2)定值,为 ? . 7 16 12
【解析】

考点:椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系,探索性问题、定值问题. 【名题点睛】求椭圆标准方程,一般要列出关于 a, b, c 的两个方程(不含 a ? b ? c ) ,这可
2 2 2

由已知条件及椭圆的几何性质可得; (2)解析几何中定值问题,处理方法是选取适当的参数, 求出相差量,最后证明等求值与选取的参数无关即可,题中涉及到直线与椭圆相交问题,因 此设交点为 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,直线 PQ 的方程为 x ? my ? 3 (这样设包含了斜率不存在 的情形) ,代入椭圆方程由韦达定理可用 m 表示出

y1 ? y2 , y1 y2 ,同时求出 M , N 的坐标,把 k1k2 用 x1 , y1 , x2 , y2 表示,最后把 y1 ? y2 , y1 y2 代入
化简即可.这是解析几何中常用的“设而不求”法. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln ? x ?1? ? x . ⑴求 f ? x ? 的单调区间; ⑵若 k ? Z ,且 f ? x ? 1? ? x ? k ?1 ?

? ?

3? ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x?
f ? x0 ?

⑶对于在区间 ? 0,1? 上任意一个常数 a ,是否存在正数 x0 ,使得 e 理由.

? 1?

a 2 x0 成立?请说明 2

【答案】 (1)单调递增区间为 ? ?1,0? ,单调递减区间为 ? 0, ?? ? .; (2)4; (3)存在正数 x0 满 足条件.

⑵由 f ? x ? 1? ? x ? k ?1 ?

? ?

3? ? 3? ? 变形,得 ln x ? ? x ? 1? ? x ? k ?1 ? ? x? ? x?

整理得 x ln x ? x ? kx ? 3k ? 0 ,令 g ? x ? ? x ln x ? x ? kx ? 3k ,? g ' ? x ? ? ln x ? 2 ? k ,

? x ? 1? ln x ? 0

下面只需证明:在 0 ? a ? 1 时, 又令 p ? a ? ? 则 p ?a? ?
'

a 2 ? ln a ? ? a ln a ? a ? 1 ? 0 成立即可 2

a 2 ? ln a ? ? a ln a ? a ? 1, a ? ? 0,1? 2

1 2 ? ln a ? ? 0,? p ? a ? 在 a ? ? 0,1? 时为增函数. 2

? p ? a ? ? p ?1? ? 0,? x0 ? ? ln a 符合条件,

即存在正数 x0 满足条件. 考点:导数与单调性,函数的极值,不等式恒成立问题,探索性问题. 【名题点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域→求导数 f'(x)→求 f'(x)=0 在 定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定 f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区 间上的单调性. 2.不等式恒成立问题,通常转化为求函数的最值,要注意的是求最大值还是求最小值,比较 难的问题是求出最小值后,还要再用导数研究此值的单调性,判断其正负等等. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 为圆的切线, 切点为 B , 点 C 在圆上,?ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E , DB 垂直 BE 交圆于点 D . ⑴证明: DB ? DC ⑵设圆的半径为 1, BC ? 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F ,求 ? BCF 外接圆的半径.

【答案】 (1)证明见解析; (2)

3 . 2

试题解析:⑴连接 DE ,交 BC 于点 G

由弦切角定理得, ?ABE ? ?BCE ,而 ?ABE ? ?CBE ,故 ?CBE ? ?BCE, BE ? CE 又因为 DB ? BE ,所以 DE 为直径,所以 ?DCE ? 90? ,由勾股定理可得 DB ? DC ; ⑵由⑴知, ?CDE ? ?BDE, DB ? DC ,故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG ?

3 2

设 DE 的中点为 O ,连接 BO ,则 ?BOG ? 60? ,从而 ?ABE ? ?BCE ? ?CBE ? 30? 所以 CF ? BF ,故 RtBCF 外接圆的半径等于

3 . 2

考点:弦切角定理与圆周角定理,切线的性质,圆的性质. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? ? 2 C : ? sin ? ? 2a cos? ? a ? 0? ,过点 P ? ?2, ?4? 的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点. ⑴写出曲线 C 的平面直角坐标方程和直线 l 的普通方程; ⑵若 PM , MN , PN 成等比数列,求实数 a 的值.

2 t 2 ( 为 t 2 t 2

【答案】 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 2ax ? a ? 0? ,直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ;
2

(2)1.

试题解析:⑴曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 2ax ? a ? 0? ,直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0
2

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,直线参数方程的应 用. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ?1 ⑴解不等式 f ? x ? ? 4 ⑵若不等式 f ? x ? ? a ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) ??1 ? x ? ? ; (2) ?a | ?3 ? a ? 1? . 【解析】 试题分析: (1)解绝对值不等式,主要是分类讨论,分类标准由绝对值的定义确定; (2)不

? ?

5? 3?

等式 f ? x ? ? a ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,即 f ( x ) 的最小值满足 f ( x)最小值 ? a ?1 ,由(1) 的讨论,可得 f ( x)最小值 ? f (1) .

??3 x ? 1, x ? ?1 ? 试题解析:⑴ f ? x ? ? ? ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ,当 x ? ?1 时,由 ?3 x ? 1 ? 4 ? x ? ?1 ,此时无解 ?3 x ? 1, x ? 1 ?
当 ?1 ? x ? 1 时,由 ? x ? 3 ? 4,? x ? ?1??1 ? x ? 1 当 x ? 1 时,由 3 x ? 1 ? 4 ? x ?

5 5 ?1 ? x ? 3 3

综上,所求不等式的解集为 ??1 ? x ? ? ⑵由⑴的函数解析式可以看出函数 f ? x ? 在区间 ? ??,1? 上单调递减,在区间 ?1, ?? ? 上单调递 增,故 f ? x ? 在

? ?

5? 3?

考点:解绝对值不等式,不等式恒成立问题,函数的最值.


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