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江西省南昌市2015届高三第二次模拟考试数学文试题有答案(扫描版)_图文

2015 年 高 三 测 试 卷

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 D D B C A C C B B B A D 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 2 14. ?2 15. 13 16.

在矩形 AEFC 中, tan ?AGE ?

AE ? CF ? ? 1 ,??AGE ? , tan ?CGF ? ? 1 , ?CGF ? , EG 4 GF 4

所以 ?CGF ? ?AGE ?

?
2

,即 AG ? CG ,

所以 AG ? 平面 BCG ;…………………………………………………………………6 分 (Ⅱ )由(Ⅰ)可知道 CA, CB, CF 两两垂直,所以可以把四棱锥 B ? AEFC 补成以 CA, CB, CF 为同一 顶点的一个长方体,………………………………………………8 分 其外接球的直径 2R ? CA2 ? CB2 ? CF 2 ? 12 ? 4 ? 3 ? 19 ,

x2 ? y2 ? 1 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

3? 2? 17.解: (Ⅰ)由点 C , B 的坐标可以得到 ?AOC ? , ?AOB ? ,…………2 分 4 3 所以 cos ?COB ? cos(?AOC ? ?AOB)

2 1 2 3 6? 2 ;……………………………………………6 分 ? (? ) ? ? ?? 2 2 2 2 4 2? ? a b 3 (Ⅱ )因为 c ? 3, ?AOB ? ,所以 C ? ,所以 ? ? ? 2 ,…8 分 3 3 sin A sin B 3 2 2? ? 2? ? A) ? 2 sin( A ? ) , (0 ? A ? ) ,……………11 分 所以 a ? b ? 2sin A ? 2sin( 3 6 3 ? 所以当 A ? 时, a ? b 最大,最大值是 2 3 .………………………………………12 分 3 ??
18.解: (Ⅰ )该校运动会开幕日共有 13 种选择, 其中遇到空气重度污染的选择有:5 日,6 日,7 日,11 日,12 日,13 日,……3 分 所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是 P 1 ? 1?

19 2 ) ? 19? .………………………………………12 分 2 20.解: (Ⅰ)当 l 垂直于 OD 时 | AB | 最小,
所以球 O 的表面积是 S ? 4? (

9 13 13 3 ,所以 r ? ? ? ( )2 ? 2 ,…………………………2 分 4 2 4 2 2 2 2 因为圆 C1 : x ? y ? r (r ? 0) 的一条直径是椭圆 C2 的长轴,所以 a ? 2 , 9 x2 y 2 1 4 又点 D 在椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,所以 ? 2 ? 1 ? b ? 3 , a b 4 b x2 y 2 ? ? 1 ;…………………5 分 所以圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,椭圆 C2 的方程为 4 3 (Ⅱ )椭圆 C2 的右焦点 F 的坐标是 (1, 0) ,
因为 | OD |? 1 ? 当直线 m 垂直于 x 轴时, | PQ |? 2 3 , | MN |? 4 ,四边形 PMQN 的面积 S ? 4 3 , 当直线 m 垂直于 y 轴时, | PQ |? 4 , | MN |? 3 ,四边形 PMQN 的面积 S ? 6 ,…6 分 当直线 m 不垂直于坐标轴时,设 n 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) ,此时直线 m 的方程为 y ? ? 圆心 O 到直线 m 的距离为: d ? 所以 | PQ |? 2 r ? d ? 2
2 2

6 7 ? ;…………………6 分 13 13

(Ⅱ )该校运动会开幕日共有 13 种选择,其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有:1 日,2 日, 3 日,5 日,9 日,10 日,12 日,……………………………………9 分 所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是 P2 ?

1 ( x ? 1) , k

1 k 2 ?1



7 .…………………………12 分 13
F

19. (Ⅰ)证明:在梯形 ABCD 中,因为 AD ? DC ? CB ? 2 ,

G
E

4?2 1 AB ? 4 , cos ?CBA ? 2 ? ,所以 ?ABC ? 60?, 2 2
由余弦定理求得 AC ? 2 3 ,从而 ?ACB ? 90? 即 BC ? AC , 又因为平面 AEFC ? 平面 ABCD ,所以 BC ? 平面 AEFC , 所以 BC ? AG ,………………………………3 分

4k 2 ? 3 ,…………………………………………………8 分 k 2 ?1 2 2 2 2 将直线 n 的方程代入椭圆 C2 的方程得到: ? 4k ? 3? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 , 8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4 ? ], 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 所以:四边形 PMQN 的面积 | MN |? (1 ? k 2 )[( S? 1 64k 4 | PQ | ? | MN |? ? 16k 2 ? 48 2 4k 2 ? 3

C
D
B

A

?48k 2 ?1 ? 48 ? 4 3 ? 1 ? (6, 4 3) , 2 3 4k ? 3 4? 2 k 综上:四边形 PMQN 的面积的取值范围是 [6, 4 3] .………………………………12 分 ?
21.解: (Ⅰ ) f '( x) ?

所以:对任意的 a ? (1, 2) ,都存在 x0 ? (0,1] 使得不等式 f ( x0 ) ? ln a ? a ? a2 成立。 ………………………………………………………………………………………12 分 22.解: AF 是圆的切线,且 AF ? 18, BC ? 15 ,

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2 x ? 2a ? ( x ? 0) , x x

记 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 …………………………………………………………………2 分 (一)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ( x) ? 1 ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; ………………………………………………………………………………………………3 分 ( 二 ) 当 0 ? a ? 2 时 , 因 为 △ ? 4(a2 ? 2) ? 0 , 所 以 g ( x) ? 0 , 函 数 f ( x ) 在 (0, ??) 上 单 调 递 增;………………………………………………………………………………4 分

?x ? 0 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 (三)当 a ? 2 时,由 ? ,解得 x ? ( , ), 2 2 ? g ( x) ? 0
所以函数 f ( x ) 在区间 (

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ) 上单调递减, 2 2

在区间 (0,

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ),( , ??) 上单调递增.……………………………………6 分 2 2

(Ⅱ )由(1)知道当 a ? (1, 2) 时,函数 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增, 所以 x ? (0,1] 时,函数 f ( x ) 的最大值是 f (1) ? 2 ? 2a , 对 任 意 的 a ? (1,
2 , 都 存 在 x0 ? ( 0, 1] 使 得 不 等 式 f ( x0 )? lna ? a? a 成立,等价于对任意的 2)

2 ,不等式 2 ? 2a ? ln a ? a ? a 都成立,…………………………8 分 a ? (1, 2 )

即对任意的 a ? (1, 2) ,不等式 ln a ? a ? 3a ? 2 ? 0 都成立,
2

? 由切割线定理得到 AF 2 ? FB ? FC ? 182 ? FB ? ( FB ? 15) ? FB ? 12 ,………3 分 AB ? AD,??ABD ? ?ADB , 则 ?FAB ? ?ABD,? AF // BD ,……………………………………………………6 分 又 AD // FC ,? 四边形 ADBF 为平行四边形. AD ? FB ? 12, ?ACF ? ?ADB ? ?F ,? AC ? AF ? 18 , AE AD AD // FC ,? ? ,解得 AE ? 8 。………………………………………10 分 18 ? AE BC ? 1 2 cos ? ?x ? ? ? 2 2 23.解: (Ⅰ)圆 O 的参数方程可以化为: ? , 1 2 ?y ? ? sin ? ? ? 2 2 1 2 1 2 1 所以圆 O 的直角坐标方程是 ( x ? ) ? ( y ? ) ? , ………………………………………2 分 2 2 2 2 2 2 直线 l 的极坐标方程可以化为: , ? sin ? ? ? cos ? ? 2 2 2 所以直线 l 的直角坐标方程为: x ? y ? 1 ? 0 ;………………………………………5 分 ? x2 ? y2 ? x ? y ? 0 ?x ? 0 (Ⅱ)由 ? ,得 ? .…………………………………………8 分 ?x ? y ?1 ? 0 ?y ?1 ? 故直线 l 与圆 O 公共点为 (0,1) ,该点的一个极坐标为 (1, ) .……………………10 分 2 2 2 24.解: (Ⅰ)不等式 f ( x) ? 0 等价于 | 2 x ? 1|?| x ? 3 | ,两边平方得: 4 x ? 4 x ? 1 ? x ? 6 x ? 9 , 2 即: 3x ? 10 x ? 8 ? 0 ,…………………………………………………………………2 分 2 2 解得 x ? ? 或 x ? 4 ,所以原不等式的解集是: {x | x ? ? 或 x ? 4} ;…………5 分 3 3 (Ⅱ)不等式 a ? 3| x ? 3|? f ( x) 等价于 a ?| 2 x ? 1| ?2 | x ? 3 | , 因为 | 2 x ? 1| ?2 | x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? 2( x ? 3) |? 7 ………………………………………9 分 所以 a 的取值范围 (??,7) . ……………………………………………………………10 分

记 h(a) ? ln a ? a ? 3a ? 2 ,则 h(1) ? 0 ,
2

h '(a) ?

1 (2a ? 1)(a ? 1) ? 2a ? 3 ? ,…………………………………………………10 分 a a

因为 a ? (1, 2) ,所以 h '(a) ? 0 , 当对任意 a ? (1, 2) , h(a) ? h(1) ? 0 成立。 — 高三数学(文科)答案第 4 页 —


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