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【创新设计】(山东专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第7讲 函数的图象习题

【创新设计】 (山东专用)2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概 念与基本初等函数 1 第 7 讲 函数的图象习题 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.函数 y=1- 1 的图象是( x-1 )

1 解析 将 y=- 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,即可得到函数 y=1-

x

1 的图象. x-1 答案 B 2.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是( A.(-1,0) B.[-1,0) ) D.[-2,0)

C.(-2,0)

解析 在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,知满足条件的 x∈、(-1, 0),故选 A.

答案 A

ax+b 3.(2015·安徽卷)函数 f(x)= 2的图象如图所示,则下列结论成立的是( (x+c)

)

1

A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0

B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0

解析 函数 f(x)的定义域为{x|x≠-c},由题中图象可知-c=xP>0,即 c<0. 令 f(x)=0,可得 x=- ,则 xN=- ,又 xN>0,则 <0,所以 a,b 异号,排除 A,D. 答案 C 4.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图象大致为( )

b a

b a

b a

解析 由题图可知:当 x=

π ? π? 时,OP⊥OA,此时 f(x)=0,排除 A,D;当 x∈?0, ?时, 2? 2 ?

d OM=cos x,设点 M 到直线 OP 的距离为 d,则 =sin x,即 d=OMsin x=sin xcos x, OM
1 1 ∴f(x)=sin xcos x= sin 2x≤ ,排除 B. 2 2 答案 C 5.(2015·全国Ⅰ卷)设函数 y=f(x)的图象与 y=2 2)+f(-4)=1,则 a=( A.-1 B.1 ) C.2 D.4
x+a

的图象关于直线 y=-x 对称, 且 f(-

解析 设(x,y)是函数 y=f(x)图象上任意一点,它关于直线 y=-x 的对称点为(-y, -x),由 y=f(x)的图象与 y=2 (-y,-x)在 y=2
x+a x+a

的图象关于直线 y=-x 对称,可知
-y+a

的图象上,即-x=2

,解得 y=-log2(-x)+a,所以 f(-2)+

f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得 a=2,选 C.
答案 C 二、填空题

2

6.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式 f(x) <0 的解集是________.

答案 (-2,0)∪(2,5] 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点,则

a 的值为________.
解析 函数 y=|x-a|-1 的图象如图所示, 因为直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象 1 只有一个交点,故 2a=-1,解得 a=- . 2

1 答案 - 2 8.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实 数 a 的取值范围是________ . 解析 如图,要使 f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1,∴a≥-1.

答案 [-1,+∞) 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围. 解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4.

(2)f(x)=x|x-4|

3

? ?x(x-4)=(x-2) -4,x≥4, =? 2 ? ?-x(x-4)=-(x-2) +4,x<4.

2

f(x)的图象如图所示:
(3)f(x)的减区间是[2,4]. (4)从 f(x)的图象可知,当 a>4 或 a<0 时,f(x)的图象与直线 y=a 只有一个交点,方程

f(x)=a 只有一个实数根,即 a 的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
10.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 设 f(x)=(x-1) ,g(x)=logax, 在同一直角坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象, 要使 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,只需函数 f(x)的图象 在 g(x)的图象下方即可. 当 0<a<1 时,由两函数的图象知,显然不成立; 当 a>1 时,如图,使 x∈(1,2)时, 不等式(x-1) <logax 恒成立,只需 f(2)≤g(2), 即(2-1) ≤loga2,解得 1<a≤2. 综上可知,1<a≤2. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟)
? ?x +2x-1,x≥0, 11. (2016·昌邑一中模拟 )已知函数 f(x)=? 2 则对任意 ?x -2x-1,x<0, ?
2 2 2 2 2 2

x1, x2∈R ,若

0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( A.f(x1)+f(x2)<0 C.f(x1)-f(x2)>0 解析 函数 f(x)的图象如图所示:

) B.f(x1)+f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0

且 f(-x)=f(x),从而函数 f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数. 又 0<|x1|<|x2|,∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)-f(x2)<0. 答案 D

4

12.(2015·全国Ⅱ卷)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点.点 P 沿着边

BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),
则 y=f(x)的图象大致为( )

π BP 解析 法一 当点 P 位于边 BC 上时, ∠BOP=x, 0≤x≤ , 则 =tan x, ∴BP=tan x, 4 OB ∴AP= 4+tan x, π? 2 ? ∴f(x)=tan x+ 4+tan x?0≤x≤ ?,可见 y=f(x)图象的变化不可能是一条直线或 4? ? 3π ? ?π 2 2 线段, 排除 A, C.当点 P 位于边 CD 上时, ∠BOP=x? ≤x≤ ?, 则 BP+AP= BC +CP 4 4 ? ? + AD +DP =
2 2 2

1 ?2 ? 1+?1- ? + ? tan x?

1 ?2 ? 1+?1+ ? . ? tan x?

当点 P 位于边 AD 上时, ∠BOP=x?

?3π ≤x≤π ?,则AP=tan(π -x)=-tan x, ? OA ? 4 ?
2

∴AP=-tan x,∴BP= 4+tan x, ∴f(x)=-tan x+ 4+tan x?
2

?3π ≤x≤π ?, ? ? 4 ?

根据函数的解析式可排除 D,故选 B. π 法二 当点 P 位于点 C 时,x= ,此时 AP+BP=AC+BC=1+ 5,当点 P 位于 CD 的中 4 π 3π 点时,x= ,此时 AP+BP=2 2<1+ 5,故可排除 C,D,当点 P 位于点 D 时 x= , 2 4 此时 AP+BP=AD+BD=1+ 5,而在变化过程中不可能以直线的形式变化,故选 B.
5

答案 B 13.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则 k 的取值范围是________. 解析 由题意作出 f(x)在[-1,3]上的示意图如图,

记 y=k(x+1)+1, ∴函数 y=k(x+1)+1 的图象过定点 A(-1,1). 记 B(2,0),由图象知,方程有四个根, 即函数 y=f(x)与 y=kx+k+1 的图象有四个交点, 0-1 1 1 故 kAB<k<0,kAB= =- ,∴- <k<0. 2-(-1) 3 3

? 1 ? 答案 ?- ,0? 3 ? ?
14.(1) (2016·青州一中模拟)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且当 x∈R 时,

f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称;
(2)若函数 y=log2|ax-1|的图象的对称轴是 x=2,求非零实数 a 的值. (1)证明 设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上任意一点, 则 y0=f(x0).又 P 点关于 x=m 的对称点为 P′, 则 P′的坐标为(2m-x0,y0). 由已知 f(x+m)=f(m-x), 得 f(2m-x0)=f[m+(m-x0)] =f[m-(m-x0)]=f(x0)=y0. 即 P′(2m-x0,y0)在 y=f(x)的图象上. ∴y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称. (2)解 对定义域内的任意 x, 有 f(2-x)=f(2+x)恒成立. ∴|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立, 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. 1 又∵a≠0,∴2a-1=0,得 a= . 2

6


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