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【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套课件:专题四 第3讲 推理与证明


专题四 数列、推理与证明

第 3讲

推理与证明

主干知识梳理

热点分类突破
真题与押题

1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等 知识相结合考查归纳推理和类比推理,多以小

题形式出现.
考 2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推 情 解 理数学命题的方法,常与函数、数列及不等式 读

等综合命题.

主干知识梳理
1.合情推理
(1)归纳推理

①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出
该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别

事实概括出一般结论的推理.
②归纳推理的思维过程如下: 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论

(2)类比推理
①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征 的推理. ②类比推理的思维过程如下: 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论

2.演绎推理

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况;

③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断
.

(2)合情推理与演绎推理的区别

归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归
纳是由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特 殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.

从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,
有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理

形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.

3.直接证明

(1)综合法
用 P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,

Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q
(2)分析法 用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: 得到一个明显 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 成立的条件

4.间接证明
反证法的证明过程可以概括为 “ 否定 —— 推理 —— 否

定 ” ,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻
辑矛盾,从而达到新的否定 ( 即肯定原命题 ) 的过程 . 用

反证法证明命题 “ 若 p ,则 q” 的过程可以用如图所示
的框图表示. 肯定条件p 否定结论q → 导致逻

辑矛盾



“既p,又綈q”
为假



“若p,则 q”

5.数学归纳法 数学归纳法证明的步骤: (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.

(2) 假设 n = k(k∈N* ,且 k≥n0) 时命题成立,证明 n
=k+1时命题也成立.

由 (1)(2) 可知,对任意 n≥n0 ,且 n∈N* 时,命题都
成立.

热点分类突破
? 热点一 ? 热点二 归纳推理 类比推理

? 热点三 ? 热点四

直接证明和间接证明 数学归纳法

热点一

归纳推理

例1

(1)有菱形纹的正六边形地面砖,按下图的规

律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正

六边形的个数是(

)
思维启迪
根据三个图案

A.26
C.32

B.31
D.36

中的正六边形个
数寻求规律;

解析 有菱形纹的正六边形个数如下表:
图案 个数 1 6 2 11 3 16 ? ?

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一
个以6为首项,以5为公差的等差数列,

所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6 +
5×(6-1)=31.故选B.

答案 B

(2) 两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,
且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如图所示,

则下列座位号码符合要求的应当是(

)
思维启迪

靠窗口的座位
号码能被5整除

A.48,49 C.75,76

B.62,63 D.84,85

或者被5除余1.

解析

由已知图形中座位的排列顺序,可得:

被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗,
由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗, 分析答案中的4组座位号,只有D符合条件.

答案 D

归纳递推思想在解决问题时,从特殊情况入手,

通过观察、分析、概括,猜想出一般性结论,然
后予以证明,这一数学思想方法在解决探索性问
思 题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广 维 泛的应用 . 其思维模式是 “ 观察 —— 归纳 —— 猜 升 华 想——证明”,解题的关键在于正确的归纳猜想

.

变式训练1 (1)四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、 2、 3、4号位上(如图),第一次前后排动物互换座位, 第二次左右列动物互换座位, ? 这样交替进行下去, 那么第202次互换座位后,小兔坐在第______号座位上.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析

考虑小兔所坐的座位号,第一次坐在1号位上,

第二次坐在 2 号位上,第三次坐在 4 号位上,第四次坐 在3号位上,第五次坐在1号位上, 因此小兔的座位数更换次数以4为周期, 因为 202 = 50×4 + 2 ,因此第 202 次互换后,小兔所在 的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同, 因此小兔坐在2号位上,故选B. 答案 B

1 1 1 (2)已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*),经计算得 f(4)>2, 2 3 n n+2 n * 5 7 f (2 )> ( n ≥ 2 , n ∈ N ) f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,则有______________________. 2 2 2

4 3 5 4 6 5 7 解析 由题意得 f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> , 2 2 2 2
2

n+2 所以当 n≥2 时,有 f(2 )> . 2
n

n+2 故填 f(2 )> (n≥2,n∈N*). 2
n

热点二

类比推理

例 2 (1)在平面几何中有如下结论: 若正三角形 ABC 的内 S1 1 切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 = .推广到空间几 S2 4 何可以得到类似结论:若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1 V1,外接球体积为 V2,则 =________. V2
思维启迪

平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积;

解析 正比,

平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成

而在空间几何中,球的体积与半径的立方成正比,
V1 1 所以= = . V2 27
答案 1 27

ex-e-x (2)已知双曲正弦函数 shx= 和双曲余弦函数 2 ex+e-x chx = 与我们学过的正弦函数和余弦函数有 2 许多类似的性质, 请类比正弦函数和余弦函数的和角 .. 或差角 公式, 写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类 ... .. 似的正确结论________.
思维启迪 可利用和角或差角公式猜想,然后验证.

解析 chx chy-shx shy ex+e-x ey+e-y ex-e-x ey-e-y = · - · 2 2 2 2
1 x+y x-y -x+y -x-y x+y x-y -x+y -x-y = (e +e +e +e -e +e +e -e ) 4
-?x- y? x- y e + e 1 x-y = (2e +2e-(x-y))= =ch(x-y), 4 2

故知ch(x+y)=chx chy+shx shy, 或sh(x-y)=shx chy-chx shy, 或sh(x+y)=shx chy+chx shy. 答案 ch(x-y)=chx chy-shx shy

类比推理是合情推理中的一类重要推理,强调的是 两类事物之间的相似性,有共同要素是产生类比迁 移的客观因素,类比可以由概念性质上的相似性引 起,如等差数列与等比数列的类比,也可以由解题
思 维 共性,才能有方法上的类比,例2即属于此类题型 . 升 一般来说,高考中的类比问题多发生在横向与纵向 华

方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的

类比上,如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比

以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等.

变式训练2

a1+a2+· · · + an (1)若数列{an}是等差数列, bn= , 则数列{bn} n 也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列 {cn}是等比 数列,且{dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为( c1+c2+· · · + cn A.dn= n C.dn=
n n n c1n ? c2 ? ??? ? cn n

)

c1 c2 · · · cn B.dn= n D.dn= c1c2· · · cn n

解析

由{an}为等差数列,设公差为d,

a1+a2+?+an n- 1 则 bn= =a1+ d, 2 n

又正项数列{cn}为等比数列,设公比为q,

则 dn=
答案

n

n c c1c2· · · cn= 1 q

n

n2 ? n 2

= c1 q

n ?1 2

,故选 D.

D

(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质, 如对于椭圆有如 x2 y 2 下命题: AB 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的不平行于对称轴且 a b 2 b 不过原点的弦,M 为 AB 的中点,则 kOM· kAB=- 2.那么 a x2 y2 对于双曲线则有如下命题:AB 是双曲线 2- 2=1(a>0, a b

b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦, M 为 AB 的中点, 则 kOM· kAB=________.

解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
? ?x =x1+x2, ? 0 2 则有? y1+y2 ? y0= . ? ? 2

x2 y2 将 A,B 代入双曲线 2- 2=1 中得 a b
2 2 2 x2 y x y 1 1 2 2 2- 2= 1, 2- 2= 1, a b a b

2 2 2 x2 - x y - y 1 2 1 2 两式相减,得 2 = 2 , a b ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? 即 = , 2 2 a b ?y1-y2??y1+y2? b2 即 = 2, ?x1-x2??x1+x2? a

b2 即 kOM· kAB= 2. a b2 答案 a2

热点三

直接证明和间接证明

例 3

1 3?1+an+1? 已 知 数 列 {an} 满 足 : a1 = , = 2 1- an

2?1+an? , anan+1<0 (n≥1); 数列{bn}满足: bn=a2 n+ 1- 1-an+1
2 an

(n≥1).

思维启迪
利用已知递推式中的

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; 特点构造数列{1- a2 n };




3?1+an+1? 2?1+an? 1-a2 2 n+ 1 已知 = 化为 2 = , 1- an 1-an+1 1-an 3
3 2 1-a1= , 4 4 3

3 2 2 所以数列{1-an}是首项为 ,公比为 的等比数列,

? 3 ? ?2? n- 1 2 1-an= ×? ? ,则 4 ?3? ? 3 ? ?2 ?n-1 2 an=1- ×? ? , 4 ?3 ?

由anan+1<0,知数列{an}的项正负相间出现,
因此 an=(-1)
n+ 1 ? 3 ? ?2 ?n- 1 1- × ? ? , 4 ?3 ?

? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ?2 ?n ?2 ?n-1 ?2? n-1 2 2 bn=an+1-an=- ×? ? + ×? ? = ×? ? . 4 ?3 ? 4 ?3 ? 4 ?3?

(2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.
思维启迪
否定性结论的证明可用反证法.

证明

假设存在某三项成等差数列,不妨设为bm、

bn、bp, 其中m、n、p是互不相等的正整数,可设m<n<p,

? 1 ? ?2 ?n- 1 而 bn= ×? ? 随 n 的增大而减小, 4 ?3 ? 那么只能有2bn=bm+bp,
? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ?2? n- 1 ?2 ?m- 1 ?2? p-1 可得 2× ×? ? = ×? ? + ×? ? , 4 ?3? 4 ?3 ? 4 ?3? ?2 ? ?2 ? ? ?n- m ? ? - 则 2×? ? =1+? ?p m. (*) ?3 ? ?3 ? ?2? ?2 ? 8 ? ? n- m ? ?2 当 n-m≥2 时,2×? ? ≤2×? ? = ,(*)式不可能 9 ?3? ?3 ?

成立,则只能有 n-m=1,

?2? 4 ? ? - 此时等式为 =1+? ?p m, 3 ?3?
? 1 ? ?2?p- m 21 即 =? ? ,那么 p-m=log ,左边为正整数,右 3 ?3? 33

边为无理数,不可能相等.

所以假设不成立,那么数列 {bn}中的任意三项不可 能成等差数列.

(1) 有关否定性结论的证明常用反证法或举出一

个结论不成立的例子即可.
(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法,
思 我们常用分析法寻找解决问题的突破口,然后 维 升 用综合法来写出证明过程,有时候,分析法和 华

综合法交替使用.

变式训练3
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1+ 2, S3=9+3 2.

(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;

?a1= 2+1, 由已知得? 所以 d=2, ?3a1+3d=9+3 2,
*

故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2),n∈N .

Sn (2)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的 n 三项都不可能成为等比数列.
Sn 证明 由(1)得 bn= =n+ 2. n 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p≠q≠r)成等比
数列,则 b2 q= bpbr.
即(q+ 2) =(p+ 2)(r+ 2).
2

∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0.
?q2-pr=0, ∵p,q,r∈N*,∴? ?2q-p-r=0,

p+ r 2 ∵( ) =pr,(p-r)2=0,∴p=r 与 p≠r 矛盾. 2

所以数列 {bn} 中任意不同的三项都不可能成等比

数列.

热点四

数学归纳法

例 4 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,Sn 为其 1 2 前 n 项和,且满足 S2n-1= an,n∈N*,数列{bn}满足 bn 2 ?2n-1,n为奇数, ? = ?1 Tn 为数列{bn}的前 n 项和. ? an-1,n为偶数, ?2 (1)求an,bn;
思维启迪 利用 {an} 的前 n项确定通项公式 ( 公差、首项 ) , {bn} 的通 项公式可分段给出;



1 2 设{an}首项为 a1,公差为 d,在 S2n-1= an中, 2

2 ?a2 ? = 2 S , a 1 1 1= 2a1, 令 n=1,2 得? 2 即? 2 ?a2=2S3, ??a1+d? =2?3a1+3d?,

解得a1=2,d=4,所以an=4n-2.
?2n-1,n为奇数, 所以 bn=? ?2n-3,n为偶数.

n (2)试比较 T2n 与 2n + 的大小. 3
2

思维启迪
先求Tn,归纳猜想Tn 法证明.
n 2 与2n + 3

的关系,再用数学归纳

解 T2n=1+2×2-3+22+2×4-3+24+?
+22n-2+2×2n-3 =1+22+24+?+22n-2+4(1+2+?+n)-3n

n 1- 4n n?n+1? 4 1 = +4· -3n= - +2n2-n. 2 3 3 1- 4

n 1 n 所以 T2n-(2n + )= (4 -4n-1). 3 3 1 n 1 当 n=1 时, (4 -4n-1)=- <0, 3 3 1 n 7 当 n=2 时, (4 -4n-1)= >0, 3 3 1 n 51 当 n=3 时, (4 -4n-1)= >0,? 3 3
2

n 猜想当 n≥2 时,T2n>2n + , 3 即n≥2时,4n>4n+1. 下面用数学归纳法证明:
2

①当n=2时,42=16,4×2+1=9,16>9,成立;
②假设当n=k(k≥2)时成立,即4k>4k+1. 则当n=k+1时,4k+1=4· 4k>4· (4k+1) =16k+4>4k+5=4(k+1)+1, 所以n=k+1时成立.

由①②得,当n≥2时,4n>4n+1成立.
n 综上,当 n=1 时,T2n<2n + , 3 n 2 当 n≥2 时,T2n>2n + . 3
2

在使用数学归纳法证明问题时,在归纳假设后 ,
思 维 纳假设当已知条件证明后续结论时,可以使用 升 华 综合法、分析法、反证法.

归纳假设就是证明n=k+1时的已知条件,把归

变式训练4

1 1 1 1 3 1 已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3 ,g(n)= - 2,n∈N*. 2 3 4 2 2n n
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;



当 n = 1 时, f(1) = 1 , g(1) = 1 ,所以 f(1) = g(1) ,

9 11 当 n=2 时,f(2)= ,g(2)= ,所以 f(2)<g(2), 8 8
251 312 当 n=3 时,f(3)= ,g(3)= ,所以 f(3)<g(3). 216 216

(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明. 解 由 (1) ,猜想 f(n)≤g(n) ,下面用数学归纳法给

出证明

①当n=1,2,3时,不等式显然成立
②假设当n=k(k≥3)时不等式成立,
1 1 1 1 3 1 即 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2, 2 3 4 k 2 2k

那么,当n=k+1时,
1 3 1 1 f(k+1)=f(k)+ 2+ 3< - 3, ?k+1? 2 2k ?k+1?
1 1 1 因为 2- 2- ( 3) 2k ?k+1? 2?k+1? k+ 3 -3k-1 1 = 2= 3- 3 2<0. 2?k+1? 2k 2?k+1? k

3 1 所以 f(k+1)< - 2=g(k+1), 2 2?k+1?

即当n=k+1时,不等式成立. 由①②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.

本讲规律总结
1.合情推理的精髓是“合情”,即得到的结论符合“情 理”,其中主要是归纳推理与类比推理 .归纳推理是由 部分得到整体的一种推理模式 .类比推理是由此及彼的 推理模式;演绎推理是一种严格的证明方式. 2.直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法, 这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式 .在实 际解题时,通常先用分析法寻求解题思路,再用综合 法有条理地表述解题过程.

3. 数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种 方法,在遇到与正整数有关的数学命题时,要考虑是

否可以使用数学归纳法进行证明.
(1)在证明过程中突出两个“凑”字,即一“凑”假设,

二 “ 凑 ” 结论,关键是在证明 n = k + 1 时要用上 n = k
时的假设,其次要明确n=k+1时证明的目标,充分考

虑由 n = k 到 n = k + 1 时,命题形式之间的区别和联系,
化异为同,中间的计算过程千万不能省略.

(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少,切忌
忘记归纳结论.

真题与押题

? 真题感悟 ? 押题精练

1

2

真题感悟

1.(2014· 福建)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下 列四个关系: ①a = 1 ;②b≠1 ;③c = 2 ;④d≠4. 有且只有一个

是正确的,则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)的
个数是________.

1

2

真题感悟

解析

由题意知①②③④中有且只有一个正确,其

余三个均不正确,下面分类讨论满足条件的有序数

组(a,b,c,d)的个数:
(1) 若①正确,即 a = 1 ,则②③④都错误,即 b = 1 ,

c≠2 , d = 4. 其中 a = 1 与 b = 1 矛盾,显然此种情况
不存在;

1

2

真题感悟

(2) 若②正确,即 b≠1 ,则①③④都错误,即 a≠1 ,

c≠2,d=4,则当b=2时,有a=3,c=1;当b=3
时,有a=2,c=1,此时有2种有序数组.

(3) 若③正确,即 c = 2 ,则①②④都错误,即 a≠1 ,
b=1,d=4,则a=3,即此种情况有1种有序数组.

1

2

真题感悟

(4) 若④正确,即 d≠4 ,则①②③都错误,即 a≠1 , b=1,c≠2,则当d=2时,有a=3,c=4或a=4,

c=3 ,有 2种有序数组;当 d=3时,有c=4 , a= 2,
仅1种有序数组.

综上可得,共有2+1+2+1=6(种)有序数组.
答案 6

1

2

真题感悟

2.(2014· 陕西)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是____________. F+V-E=2 解析 观察F,V,E的变化得F+V-E=2.

1

2

押题精练

1.圆周上2个点可连成1条弦,这条弦可将圆面划分
成2部分;圆周上3个点可连成3条弦,这3条弦可将

圆面划分成4部分;圆周上4个点可连成6条弦,这6
条弦最多可将圆面划分成 8 部分 . 则 n 个点连成的弦

最多可把圆面分成________部分.(
A.2n-1 C.2n+1 B.2n D.2n+2

)

1

2

押题精练

解析 由已知条件得: 圆周上的点数 2 3 4 连成的弦数 1= 把圆面分成的部分数 2=21=22-1 4=22=23-1 8=23=24-1

2×1 2

3× 2 3= 2
4× 3 6= 2

1

2

押题精练

5

5× 4 10= 2
?

16=24=25-1

?

?

由此可以归纳出,当点数为n时,连成的弦数为 弦把圆面分成的部分数为2n-1,故选A.

n? n-1? ; 2

答案 A

1

2

押题精练

2.在计算“1×2+2×3+?+n(n+1)”时,某同学学到了如 1 下一种方法:先改写第 k 项,k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k 3 -1)k(k+1)], 1 由此得 1×2= (1×2×3-0×1×2), 3 1 2×3= (2×3×4-1×2×3), 3 ? 1 n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].

1

2

押题精练

相加,得1×2+2×3+?+n(n+1) =1 n(n+1)(n+2). 3 类比上述方法,计算“1×2×3+2×3×4+?
+ n· (n+1)· (n+2)”的结果为____________.

1

2

押题精练

1 解析 类比k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)], 3
1 可得到k(k+1)(k+2)= [k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1) 4 · k(k+1)(k+2)], 1 先逐项裂项,然后累加即得 n(n+1)(n+2)(n+3). 4 1 答案 n(n+1)(n+2)(n+3) 4


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