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平行线等分线段定理及证明

平行线等分线段定理及证明
附图

定理内容 如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直 线上截得的线段也相等 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边 经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰 第二条定理也做:三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。 也称“一二三定理”。 第二第三条即常说的“中位线定理”。 定理证明过程 证明如下: 已知:AB∥CD∥EF,GI,JL 交 AB,CD,EF 于点 G,J,H,K,I,L.(如右图) 求证:GH:HI=JK:KL 证明:

过点 K 作 G'I'∥GI 交 AB ,CD ,EF 于点 G',H' I'. ∵ AB∥CD∥EF,G'I'∥GI ∴ 四边形 GHKG',HII'H‘,GII'G 是平行四边形(平行四边形判定定 理),∠BJK=∠KLI,∠JG'I'=∠G'I'F(内错角相等) ∴△JG'K∽△I'LK,(相似三角形判定),GH=G'H',HI=H'I'(平行四 边形对边相等) ∵G'H':H'I'=JK:KL(相似三角形性质) ∴GH:HI=JK:KL(等量代换) 推论 1:过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论 2:过梯形一腰中点且平行于底边的直线必过另一腰中点


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