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福建省闽侯市第四中学2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

闽侯四中 2017-2018 学年上学期期末考试试题 高一数学
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分). 1.设集合 A. 【答案】C 【解析】 ∵集合 ∴ 故选:C 2.已知集合 A. 14 【答案】C 【解析】 集合 M={1,2},N={2,3,4}, 则 P=M∪N={1,2,3,4}, ∴P 的子集有 24=16 个. 故答案为:C. 3.函数 A. C. 【答案】B 【解析】 由 2cosx﹣1≥0,得 cosx 解得: , . B. D. 的定义域为( ) B. 15 C. 16 若 D. 32 则 的子集个数为( ) 或 B. 或 C. 则下列结论正确的是( D. )

-1-

∴函数 故选:B. 4.计算 A. B.

的定义域为

的值为( C. D.



【答案】B 【解析】 , . 故选:B 5.已知向量 与 反向,则下列等式中成立的是( A. C. 【答案】C 【解析】 向量 与 反向: 故选:C 6.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则 等于 ( ) A. 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 得 , B. C. D. = , = , B. D. )



所以

,选 D.

考点:平面向量的线性运算,相反向量. 【此处有视频,请去附件查看】

7.若点 是

所在平面内一点,且满足

,则

等于(



-2-

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 由题意可知: 则 M 为△ABC 的重心, 由重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等, 3S△ABM=S△ABC, ∴S△ABM:S△ABC= , 故答案选:B. 8.已知全集 A. C. 【答案】C 【解析】 全集 A={y|y=log2x,1<x<2}=(0,1), =( ,+∞),则 A∩B=( ,1), 故选:C. 点睛:求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解,在进行集合 的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 9.已知幂函数 A. C. 【答案】D 【解析】 设幂函数 f(x)=xα,其图象过点 , 的图像经过点 B. D. ,则下列正确的是( (其中 (其中 ) ) ) B. D. , ,则 ( )

-3-

∴2α=

= , ;

解得 α= ∴f(x)=

∴f(x)在 R 递减, 故选:D. 10.若 A. 【答案】D 【解析】 , 由正弦定理可得 ,由余弦定理可得 的内角 B. C. 满足 D. ,则 ( )

,故选 D.

【此处有视频,请去附件查看】

11.设函数 奇函数,则函数 A. 关于点 C. 关于直线 【答案】D 【解析】 函数 即: ,∴ω=2. 的图像(

的最小正周期为 ,且图像向左平移 个单位后得到的函数为 ) 对称 对称

对称 对称

B. 关于点 D. 关于直线

的最小正周期为 π,

则 f(x)=sin(2x+φ),向左平移 个单位后得:sin(2x+ +φ)是奇函数, 即 +φ=kπ,k∈Z.

-4-

∴φ=kπ﹣ , ∴|φ| 则 φ= , .

故得 f(x)的解析式为:f(x)=sin(2x﹣ ). 由对称中心横坐标可得:2x﹣ =kπ, 可得:x= ,k∈Z.

∴A,B 选项不对. 由对称轴方程可得:2x﹣ =kπ+ , 可得:x= 当 k=0 时,可得 故选:D 点睛:本题主要考查了三角函数中的平移变换以及 中心(由 可得对称轴方程,由 的对称性等,对称轴及对称 可得对称中心横坐标;在平移过程中掌 ,k∈Z. .

握“左加右减,上加下减,左右针对 ,上下针对 而言”的原则. 12.已知 是定义在 R 上的偶函数,且 ) D. 2 ,若 ,则方程 在区间 内解

的个数的最小值是( A. 5 B. 4 C. 3

【答案】B 【解析】 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(3﹣x)=f(x),f(x﹣3)=f(x), ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数, 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(2)=0, ∴f(﹣2)=0, ∴f(5)=f(2)=0,f(1)=f(﹣2)=0,f(4)=f(1)=0. 即在区间(0,6)内, f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0,

-5-

方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是:4. 故选:B. 点睛:本题考查函数的周期性、奇偶性及根的个数判断,由 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周 期的偶函数,且 f(2)=0,可得 f(﹣2)=0,重复利用函数的周期性,看在区间(0,6)内 ,还能推出哪些数的函数值等于 0. 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若非零向量 【答案】120° 【解析】 设向量的夹角为 ,由题意可得: , 即 与 的夹角为 120°. 点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几 何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用. 14.已知 【答案】 【解析】 由 ∴ 故答案为: 15.函数 【答案】 【解析】 由 log0.9(2x﹣6)≥0, 得 0<2x﹣6≤1,即 3<x . 的定义域为__________. 可得:cos cos , 则 __________. 满足 ,则 的夹角为_________.

-6-

∴函数 故答案为: 16.设函数 的最小正周期为 ;② .

的定义域为



, 则下列结论正确的是__________. (写出所有正确的编号) ① 在区间 ④将 上单调递增;③ 取得最大值的 的集合为

的图像向左平移 个单位,得到一个奇函数的图像

【答案】①②④ 【解析】 对于函数 ,由于它的周期为 =π,故①正确.

令 2kπ﹣π≤2x﹣ ≤2kπ,k∈z,求得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈z, 故函数的减区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈z,故 f(x)在区间 上单调递增,故②正确.

令 2x﹣ =2kπ,求得 x=kπ+ ,k∈z,故 f(x)取得最大值的 x 的集合为{x|x= +kπ,k∈Z} , 故③不正确. 将 f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数 y=2cos[2(x+ )﹣ ]=2cos(2x+ )=2sin2x 的图象,由于 y=﹣2sin2x 为奇函数,故④正确. 故答案为:①②④. 点睛:点睛:本题主要考查公式三角函数的图像和性质.由函数 的周期 可以求出:①

;②单调区间(利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得);③值域( );④对称轴及对称中心(由 可得对称轴方程,由

可得对称中心横坐标. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知平面直角坐标系中,点 (I)求 (Ⅱ)设 的坐标及 ; ,求 的坐标 (2) ,或 为原点, .

为单位向量,且 ,

【答案】(1)

-7-

【解析】 试题分析:(I)利用向量的坐标运算直接求 的坐标及 ;

(II)利用向量的垂直,数量积为 0,结合单位向量求解即可. 试题解析: (I) (Ⅱ)设单位向量 所以 又 所以 即 ,即 , , ,



,解得

或者

所以 18.已知函数 (I)求 (Ⅱ)求

,或 .

的最小正周期及对称中心坐标; 的递减区间. , 对称中心坐标为 . ;(2) 递减区间为

【答案】 (1) 【解析】

试题分析 : (1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求解 f( x)的最小正周期,利用正弦函数的对称中心求解函数的对称中心坐标; (2)利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可. 试题解析: (I) 则 由 的最小正周期 ,得 , ,





-8-

的对称中心坐标为 (Ⅱ)由 得 的递减区间为 19.已知角 终边上一点 ,

. ,

;

. .

(I)求

的值:

(Ⅱ) 若为第三象限角,且 【答案】(1) (2) 【解析】

,求

的值

试题分析:(1)利用任意角的三角函数定义,求出角的正弦函数与余弦函数值,利用诱导公 式化简,代入求解即可; (2)利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值,然后利用两角和与差的三角函数化简求解 即可. 试题解析: 因为 所以 为角 终边上一点, , .

=



= (Ⅱ)

= ; , ,

又因 为第三象限角,且 所以 则 = ,

-9-

点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,这是重要一环,通过看角之间的差别 与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式; 二看函数名称,看函数名称之间的差异, 从而确定使用的公式,常见的有切化弦;三看结构特征,分析结构特征,可以帮助我们找 到 变形的方向,如遇到分式要通分等. 20. (1)求边 (2)若 的周长为 的长; 的面积为 ,求角 的度数. ,且 .

【答案】(1)1;(2) 【解析】 ( 1)由正弦定理得 . (2)根据三角形的面积公式可求出,由余弦定理求出 解:(1)由题意及正弦定理,得 ②, 两式相减,得 (2)由 的面积 .  ,得 , ①, 所以 . 可化为 ,又周长为 ,所以

由余弦定理,得 所以 .

21. 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 ------① ------② 由①+② 得 令 代入③得 有 . ------③

(Ⅰ)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明: ; (Ⅱ)若 的三个内角 满足 ,试判断 的形状.
- 10 -

【答案】(1)根据两角和差的余弦公式可以得到结论, (2) 【解析】 试题分析:解法一:(Ⅰ)因为 , ② 2分 ①-② 得 令 代入③得 (Ⅱ)由二倍角公式, , 8分 即 设 . 9分 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 . 11 分 为直角三角形. 12 分 , 有 . ③ 3分 , . 6分 可化为 , ① 为直角三角形

由正弦定理可得 根据勾股定理的逆定理知 解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, , 8分 因为 A,B,C 为 所以 又因为 所以 从而 又因为 所以 . 10 分 ,所以 ,即 . ,所以 . 的内角,所以 . , ,

可化为

为直角三角形. 12 分

考点:两角和与差三角函数公式、二倍角公式 点评:本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础 知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想等 22.已知函数 是定义在 上的奇函数.

- 11 -

(1)求

的值和实数 的值; 在 上的单调性,并给出证明; 求实数 的取值范围. (2)增函数,见解析;(3)

(2)判断函数 (3)若 且

【答案】(1) 【解析】

试题分析:(1)直接把 0 代入即可求出 f(0)的值;再结合 f(﹣x)+f(x)=0 对定义域内 的所有自变量成立即可求出实数 m 的值; (2)先研究内层函数的单调性,再结合复合函数的单调性即可判断函数 f(x)在(﹣1,1) 上的单调性; (3)先根据 得到 a 的范围 ; 再结合其为奇函数把 f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0 转化为 f(

b﹣2)>f(2﹣2b),结合第二问的单调性即可求出实数 b 的取值范围. 试题解析: (I) 因为 所以: , 是奇函数。

, 即 所以 . (Ⅱ) ; 设 或 对定义域内的 都成立. (舍) .



,则

- 12 -

. 当 时, 在 上是增函数.

(Ⅲ)由 得 函数 是奇函数

, , 由(Ⅱ)得 在 上是增函数

的取值范围是

- 13 -

- 14 -


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