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三角形的四心与平面向量


三角形的“四心”与平面向量 向量

向量本身是一个几何概念,具有代数形式和几何形式两种表示方法,易于数形结合,而且向量问 题在进行数形结合时具有新形式、新特点,因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心” (外 心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点,各自有一些特殊的性质。在高考中,往往将 “向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂 向量的几何意义。 与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有: ① 设 λ ∈ (0,+∞ ) ,则向量 λ ( ② 设 λ ∈ (0,+∞ ) ,则向量 λ ( ③ 设 λ ∈ (0,+∞ ) ,则向量 λ (

AB AB AB AB

+

AC AC

) 必平分∠BAC,该向量必通过△ABC 的内心;

?

AC AC

) 必平分∠BAC 的邻补角 AC AC cos C

AB AB cos B

+

) 必垂直于边 BC,该向量必通过△ABC 的垂心

④ △ABC 中 AB + AC 一定过 BC 的中点,通过△ABC 的重心 ⑤ 点 O 是△ABC 的外心 ? OA = OB = OC
2 2 2

uuu r

⑥ 点 O 是△ABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 ⑦ 点 O 是△ABC 的垂心 ? OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA


点 O 是△ABC 的内心 ? a ? OA + b ? OB + c ? OC = 0 (其中 a、b、c 为△ABC 三边)

⑨ △ABC 的外心 O 、重心 G 、垂心 H 共线,即 OG ∥ OH ⑩ 设 O 为△ABC 所在平面内任意一点,G 为△ABC 的重心, 为△ABC 的内心, ,I 则有 OG =

1 (OA + OB + OC ) 3

OI =

aOA + bOB + cOC a+b+c

XA+XB+XC YA+YB+YC 并且重心 G( , ) 3 3

aXA+ bXB+ cXC ayA+ byB+ cyC 内心 I( , ) a+b+c a+b+c

例 1: (2003 年全国高考题) O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足

OP = OA + λ (

AB AB

+

AC AC

) , λ ∈ (0,+∞ ) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

(A)外心

(B)内心 E

A T B

F C

(C)重心

(D)垂心

事实上如图设 AE =

AB AB

, AF =

AC AC

都是单位向量

易知四边形 AETF 是菱形

故选答案 B

例 2 : 2005 年 北 京 市 东 城 区 高 三 模 拟 题 ) O 为 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 如 果 (

OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,则 O 必为△ABC 的(
(A)外心 (B)内心 (C)重心



(D)垂心 故选答

事实上 OA ? OB = OB ? OC ? (OA ? OC ) ? OB = 0 ? CA ? OB = 0 ? OB⊥CA 案D 例 3:已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点,且满足

OA + BC = OB + CA = OC + AB ,则点 O 是三角形 ABC 的(
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心

2

2

2

2

2

2



事实上由条件可推出 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA 例 4:设 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点, 动点 P 满足 OP = OA + λ (

故选答案 D

AB AB cos B

+

AC AC cos C

) , λ ∈ (0,+∞ ) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC

的( ) (A)外心 事实上 λ (

(B)内心

(C)重心

(D)垂心 故选答案 D

AB AB cos B

+

AC AC cos C

) ? BC = λ ? (? BC + BC ) = 0


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