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分布列与数学期望


离散型随机变量的分布列与数学期望
班级 姓名 1.已知随机变量 ? 的分布列 如右表:则 x= 。 2.两封信随机投入 A,B,C 三个空邮箱,则

?
p .

0 x2

1 X

2

1 4

A 邮箱的信件数 ? 的数学期望 E? ?

3.某班从 6 名班干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校学生会的 干部竞选. (1)设所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

4.已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球, 现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (1)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (2)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (3)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 数学期望.

5、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办 了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式 决定出场顺序,通过预赛,选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. (I)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (II)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 X,求 X 的分布列和数学期望.

6.(本题满分 12 分) 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图), 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 , 其中第 2 小组的频数为 12 . (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中 (人数很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列 和数学期望.

7.某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。 假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为

2 2 1 , , ,指标甲、乙、丙 3 3 2

检测合格分别记 4 分、2 分、4 分,若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测结 果互不影响。 (Ⅰ)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望。

8.某校中学生篮球队假期集训, 集训前共有 6 个篮球, 其中 3 个是新球 (即没有用过的球) , 3 个是旧球(即至少用过一次的球) .每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ,求 的分布列和数学期望;

(2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

9、假定某人每次射击命中目标的概率均为

1 ,现在连续射击 3 次。 2

(1) 求此人至少命中目标 2 次的概率; (2) 若此人前 3 次射击都没有命中目标,再补射一次后结束射击;否则。射击结束。记此 人射击结束时命中目标的次数为 X,求 X 的数学期望。

答案:
3.解: ? 的所有可能取值为 0,1,2.

C3 1 4 依题意,得 P(? ? 0) ? 3 ? , C6 5 P(? ? 1) ? C2C1 3 4 2 ? , C3 5 6 P(? ? 2) ?
2 C1 C2 1 4 ? . C3 5 6

∴? 的分布列为

?
P
∴ E? ? 0 ?

0

1

2

1 5

3 5

1 5

1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 。 5 5 5

(2)设“男生甲被选中”为事件 A ,“女生乙被选中”为事件 B ,
2 C5 1 C1 1 4 则 P ? A? ? 3 ? , P ? AB ? ? 3 ? , C6 2 C6 5

∴P B A ?

?

?

P ? AB ? 2 ? . P ? A? 5
2 . 5

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

4.解: (1)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A, “从乙盒内取出的 2 个球均为黑 球”为事件 B.由于事件 A、B 相互独立, 2 C2 2 且 P( A) ? C3 ? 1 , P( B) ? 4 ? . 2 2 C4 2 C6 5 所以取出的 4 个球均为黑球的概率为 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 2 ? 1 .
2 5 5

(2)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个 是黑球”为事件 C, “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内 取出的 2 个球均为黑球”为事件 D.由于事件 C、D 互斥, 且 P(C ) ?
1 1 C32 C2 C4 C1 C 2 1 4 ? 2 ? , P ( D) ? 3 ? 4 ? 2 2 2 15 C 4 C6 C 4 C6 5

.

所以取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为
P(C ? D) ? P(C ) ? P( D) ? 4 1 7 . ? ? 15 5 15

(3)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.

1 由(1)(2)得 P(? ? 0) ? 1 , P (? ? 1) ? 7 , P(? ? 3) ? C3 ? 1 ? 1 . 、 2 2 5 15 C4 C6 30

所以 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 3 . 10 ∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 1 ? 1? 7 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? 7 . 5 15 10 30 6

5、 (1)

1 10
0 1 2 3

(2) : X P EX=0 ?

2 5

3 10

1 5

1 10

2 1 3 1 +1 ? +2 ? +3 ? =1 5 10 5 10 6、解: (1)设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1 , p2 , p3 ,则由条件可

得: p2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p1 解得 p1 ? 0.125, p2 ? 0.25, p3 ? 0.375……4 分 ? ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 2 3 ? 1
12 ,故 n ? 48 ……………………………6 分 n (2) 由 (1) 可 得 , 一 个 报 考 学 生 体 重 超 过 60 公 斤 的 概 率 为 5 p ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? ……8 分 8 5 3 所以 x 服从二项分布, p( x ? k ) ? C3k ( ) k ( ) 3?k 8 8 ? 随机变量 x 的分布列为:

又因为 p 2 ? 0.25 ?

x
p

0
27 512

1
135 512

2
225 512

3
125 512

27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 512 512 512 512 8 5 15 (或: Ex ? 3 ? ? ) 8 8

则 Ex ? 0 ?

……………………12 分

7.

8.解: (1)? 的所有可能取值为 0, 2. 1, 1分

???????????????

设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ? ? i ) ”为事件 Ai ( i ? 0,1,2) .因为集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧球,所以

C32 1 P( A0 ) ? P(? ? 0) ? 2 ? , C6 5
3分

???????????????

P( A1 ) ? P(? ? 1) ?
5分

1 1 C3C3 3 ? , 2 C6 5

???????????????

P( A2 ) ? P(? ? 2) ?
7分

C32 1 ? . 2 C6 5

???????????????

所以 ? 的分布列为(注:不列表,不扣分)

?
P

0

1

2

1 3 5 5 1 3 1 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5
8分

1 5
??????????????

. (2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 A0 B ? A1 B ? A2 B . 而事件 A0 B 、 A1B 、 A2 B 互斥, 所以, P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ? P( A0 B) ? P( A1 B) ? P( A2 B) . 由条件概率公式,得

1 C1C1 1 3 3 P( A0 B) ? P( A0 ) P( B | A0 ? ? 3 2 3 ? ? ? , ) 5 C6 5 5 25
9分

?????????????

3 C1C1 3 8 8 , ????????????? P( A1 B) ? P( A1 ) P( B | A1 ? ? 2 2 4 ? ? ? ) 5 C6 5 15 25
10 分
1 1 1 C1 C5 1 1 1 P( A2 B) ? P( A2 ) P( B | A2 ? ? 2 ? ? ? . ) 5 C6 5 3 15

?????????????

11 分 所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ?
12 分

3 8 1 38 ? ? = . 25 25 15 75
1 2

?????????????

2 3 9.⑴设此人至少命中目标 2 次的事件为 A,则 P( A) ? C3 ? ( )2 ? ( ) ? C3 ? ( )3 ?

1 2

1 2

1 , 2

1 .????????????????? 4 分 2 1 ? 0 1 ? 1 ⑵由题设知 X 的可能取值为 0,1,2,3,且 P( X ? 0) ? ?C3 ? ( )3 ? ? ( ) ? , 2 ? 2 16 ? 1 1 7 1 1 3 ? 0 1 ? 1 1 2 P( X ? 1) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ?C3 ? ( )3 ? ? ( ) ? , P( X ? 2) ? C3 ? ( )2 ? ( ) ? , 2 2 2 ? 2 16 2 2 8 ? 1 1 3 P( X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? , ?????????????????????? 8 分 2 8 1 7 3 1 25 从而 E( X ) ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . ????????????10 分 16 16 8 8 16
即此人至少命中目标 2 次的概率为


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