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江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2013届高三10月第二次调研数学试题(含解析)


沛县歌风中学(如皋办学) 2012-2013 学年度第一学期高三年级第二次调研测试 数 学 试 题
命题人: 时间:120 分钟 日 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为___▲__. 解析:U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素,∴A∩B 中有 m-n 个元素. 答案:m-n 备选题 1:已知集合 A={x|x+1>0},B={x|x-3<0},则 A ? B ? ▲ (-1,3) 备选题 2:已知函数 f ( x ) ? a ? x ? b 的零点 x 0 ? ( k , k ? 1)( k ? Z ) ,其中常数 a,b 满足
x

韩勇

审核人:沙玉坤 分值:160 分 2012 年 10 月 13

3

a

? 2 ,3

b

?

9 4

,则 k=



.1

2. 设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′ (x)>0,且 g(-1)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是_____▲_(-∞,-1)∪(0,1) 3.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函 数,则 φ 的最小值为_▲_. π 解析:因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ),f(x)的图象向右平移 φ 个单位所得图 6 5π 象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小值为 . 6 ?a1 a2?=a a -a a ,将函数 f(x)=? 3 cosx?的图象向左平移 备选题: 定义行列式运算:? ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1 sinx ? m 个单位(m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是_▲___. 3 1 π 解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2( sinx- cosx)=2sin(x- ), 2 2 6 π π 其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin(x- +m),平移后其对称轴为 x- +m=kπ+ 6 6 π 2π 2π ,k∈Z.若为偶函数,则 x=0,所以 m=kπ+ (k∈Z),故 m 的最小值为 . 2 3 3 2π 答案: 3 π 1 7π 4.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于_▲_. 12 3 12 7π π π π 1 解析:由已知,得 cos(α+ )=cos[(α+ )+ ]=-sin(α+ )=- . 12 12 2 12 3 1 答案:- 3 5. 设 点 P ? x 0 , y 0 ? 是 函 数 y ? tan x 与 y ? ? x ? x ? 0 ? 的 图 像 的 一 个 交 点 , 则
2 0

?x

? 1 ?cos 2 x 0 ? 1 ? ?

?

_▲__ 。 2

2 备选题:在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 ccosB=bcosC,且 cosA= , 3 则 sinB 等于___▲__. b cosB sinB cosB 解析:由 ccosB=bcosC 可得 = ,联系到正弦定理,即得 = ,化简得 c cosC sinC cosC π-A A sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0,可见 B=C,所以 sinB=sin =cos = 2 2 1+cosA 30 = . 2 6 答案: 30 6

π 6. 设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期是 π,则 f(x) 3 图象上的一个对称中心是__▲__(写出一个即可). 2π π 解析:∵T= =π,∴ω=2,又∵函数的图象关于直线 x= 对称, ω 3 π π π π 所以有 sin(2× +φ)=± 1,∴φ=k1π- (k1∈Z),由 sin(2x+k1π- )=0 得 2x+k1π- = 3 6 6 6 k2π(k2∈Z), π π π π ∴x= +(k2-k1) ,当 k1=k2 时,x= ,∴f(x)图象的一个对称中心为( ,0). 12 2 12 12 π 答案:( ,0) 12 π 备选题:已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为 12 __▲__. π π π π 3 解析:∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0=asin +cos ,∴a= . 12 6 3 3 3 3 答案: 3 7. 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=____▲ T 3 5 2π 5 4 解析:由图可知, =2π- π,∴T= π,∴ = π,∴ω= , 2 4 2 ω 2 5 4 4 3 ∴y=sin( x+φ).又∵sin( × π+φ)=-1, 5 5 4 3 3 3 9 ∴sin( π+φ)=-1,∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z.∵-π≤φ<π,∴φ= π. 5 5 2 10 y 9 答案: π 2 10 备选题:函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图
o
2

6

x

像如右图所示,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2010) ? -2 __▲ . 解析:由图象可知: A ? 2, T ? 8, ? ? 0 ,从而得 ? ?
?
4

, f ( x ) ? 2 sin

?
4

x ,计算可

得 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (8) ? f (9) ? f (10) ? f (11) ? ? f (16) ? ? ? 0 ,于是有:
f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2010) ? f (2009) ? f (2010) ? f (1) ? f (2) ? 2 ? 2

8. 已 知 函 数 f(x) = sinωx + cosωx , 如 果 存 在 实 数 x1 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x , 都 有

f(x1)≤f(x)≤f(x1+2012)成立,则 ω 的最小值为__▲__. 解析:显然结论成立只需保证区间[x1,x1+2012]能够包含函数的至少一个完整的单调 2π ω ? π 区间即可,且 f(x)=sinωx+cosωx= 2sin(ωx+ ),则 2012≥ ?ω≥ . 4 2 2012 答案:
?
2012

9.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y =4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是___▲___. 2a 4a 解析:设 C(a,4a),所以 A(a,2a),B(2a,4a),又 O,A,B 三点共线,所以 = ,故 4a= a 2a 2×2a,所以 2a=0(舍去)或 2a=2,即 a=1,所以点 A 的坐标是(1,2). 答案:(1,2) 1 10.已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a> ),当 x∈(-2,0)时,f(x)的 2 最小值为 1,则 a 的值等于__▲__. 解析:∵f(x)是奇函数, 1 ∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当 x∈(0,2)时,f′(x)= -a, x 1 1 1 令 f′(x)=0 得 x= ,又 a> ,∴0< <2, a 2 a 1 1 1 令 f′(x)>0,则 x< ,∴f(x)在(0, )上递增;令 f′(x)<0,则 x> , a a a 1 1 1 1 1 ∴f(x)在( ,2)上递减,∴f(x)max=f( )=ln -a·=-1,∴ln =0,得 a=1. a a a a a 答案:1 x 3 备选题:若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为_▲__. 3 x +a x2+a-2x2 a-x2 解析:f′(x)= 2 = 2 ,当 x> a时,f′(x)<0,f(x)单调减,当- a<x< a (x +a)2 (x +a)2 a 3 3 时,f′(x)>0,f(x)单调增,当 x= a时,f(x)= = , a= <1,不合题意,∴f(x)max= 2a 3 2 1 3 f(1)= = ,a= 3-1. 1+a 3 答案: 3-1 f(x) 11. 设函数 f(x)=x3-2ex2+mx-lnx,记 g(x)= ,若函数 g(x)至少存在一个零点,则实数 x m 的取值范围是__▲___. lnx 解析:由条件得:g(x)=x2-2ex+m- ,其函数的定义域为(0,+∞),从而 g(x)的 x lnx 零点即为函数 h1(x)=x2-2ex+m=(x-e)2+m-e2 与函数 h2(x)= 的交点,而由 h2′(x)= x 1-lnx 知当 x∈(0,e)时,h2(x)单调递增,当 x∈(e,+∞)时,h2(x)单调递减,又当 x∈(0, x2 e)时,h1(x)单调递减,当 x∈(e,+∞)时,h1(x)单调递增,所以欲使 g(x)有零点,必须满足 1 1 h1(x)min≤h2(x)max,即 m-e2≤ ,所以 m∈(-∞,e2+ ]. e e 2 1 答案:(-∞,e + ] e

1 备选题 1:若 a>2,则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰好有__▲__个根. 3 1 3 解析:设 f(x)= x -ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当 x∈(0,2)时, 3 f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数, 8 11 又 f(0)f(2)=1×( -4a+1)= -4a<0,∴f(x)=0 在(0,2)上恰好有 1 个根. 3 3 答案:1 备选题2:若函数 f ? x ? ? x ? ax
3 2

?a

? 0 ? 在区间 ?

? 20

? , ?? ? 上是单调递增函数,则使方程 ? 3 ?

f ? x ? ? 1000 有整数解的实数 a 的个数是

▲_

。4

12. 对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对于区间[a,b]中的任意数 x 均有 |f(x)-g(x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a,b]称为密切区间.若 m(x)=x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是 __▲__________. ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4] 解析:|m(x)-n(x)|≤1?|x2-5x+7|≤1,解此绝对值不等式得 2≤x≤3,故在区间[2,3] 上|m(x)-n(x)|的值域为[0,1],∴|m(x)-n(x)|≤1 在[2,3]上恒成立. 答案:③
? ? 2 x?? , x? ? ? ? 2 ? ? ? f ( x ) ? ? ? sin x , ? ? x?0 2 ? ? 1 x 2 ? 2 x, x ?0 ? 3 3 ?

13. 已知函数

,若关于的方程满足 f ( x ) ? m ? m ? R ? 有且仅有

三个不同的实数根,且 ? , ? 分别是三个根中最小根和最大根,则 ? ? sin ?
3 2

??

? ? ? ? 的值为 ? 3 ?

▲ ;

? 1 , x≠1 ? 1 14.定义域为 R 的函数 f(x)=?|x-1| 若关于 x 的函数 h(x)=f2(x)+bf(x)+ 有 5 个 2 ?1, x=1 ?
不同的零点 x1,x2,x3,x4,x5,则 x12+x22+x32+x42+x52 等于 ▲ .

1 解析:假设关于 t 的方程 t2+bt+ =0 不存在 t=1 的根,则使 h(x)=0 的 f(x)的值也不 2 为 1,而显然方程 f(x)=k 且 k≠1 的根最多有两个,而 h(x)是关于 f(x)的二次函数,因此方程 1 3 h(x)=0 的零点最多有四个,与已知矛盾,可见 t=1 时 t2+bt+ =0,即得 b=- ,所以 h(x) 2 2 3 1 1 =f 2(x)- f(x)+ = (f(x)-1)(2f(x)-1),而方程 f(x)-1=0 的解为 x=0,1,2,方程 2f(x)-1= 2 2 2 0 的解为 x=-1,3,由此可见五根分别为-1,0,1,2,3,因此直接计算得上述五数的平方和 为 15. 答案:15

备选题:已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 的实根,则实数 k 的取值范围是

f

2

(x) ? f (x) ? k ? 0

,若方程恰有 8 个不同

. 答: ? 0 ,
?

?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明步骤. 15.(本小题满分 14 分) π 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x) 3 的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶 函数. π 3π 解:法一:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 4 4 π π π π π cos cosφ-sin sinφ=0,即 cos( +φ)=0.又|φ|< ,∴φ= . 4 4 4 2 4 π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+ ). 4 T π 2π π 依题意, = ,又 T= ,故 ω=3,∴f(x)=sin(3x+ ). 2 3 ω 4 π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+ ], 4 π π g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈Z).从而,最小正实数 m= . 3 12 12 法二:(1)同法一. π T π 2π (2)由(1)得 ,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = .又 T= ,故 ω=3,∴f(x)=sin(3x+ 4 2 3 ω π ). 4 π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+ ]. 4 g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, π π 亦即 sin(-3x+3m+ )=sin(3x+3m+ )对 x∈R 恒成立. 4 4 π π π π ∴sin(-3x)cos(3m+ )+cos(-3x)· sin(3m+ )=sin3xcos(3m+ )+cos3xsin(3m+ ), 4 4 4 4 π π π π 即 2sin3xcos(3m+ )=0 对 x∈R 恒成立.∴cos(3m+ )=0,故 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 4 4 2 kπ π π ∴m= + (k∈Z),从而,最小正实数 m= . 3 12 12 16. (本小题满分 14 分)已知集合 A ? ?x ? x ? 2 ?? x ? 3 a ? 1 ? ? 0 ? ,函数 y ? lg
2a ? x x? a

1? ? 4?

?

2

?1

?

的定义域为集合 B .(1)若 a ? 2 ,求集合 B ;(2)若 A ? B , 求实数 a 的值。 解:(Ⅰ)由
4? x x?5 ? 0 ,得 4 ? x ? 5 ,

故集合 B ? { x | 4 ? x ? 5} ;
2

………………………………………………………6分 …………………………………………………8 分

(Ⅱ)由题可知, B ? ( 2 a , a ? 1) ①若 2 ? 3 a ? 1 ,即 a ?
1 3

时, A ? (2, 3 a ? 1) ,

又因为 A ? B ,所以 ?

?2a ? 2 ? a ? 1 ? 3a ? 1
2

,无解;

②若 2 ? 3 a ? 1 时,显然不合题意; ③若 2 ? 3 a ? 1 ,即 a ?
1 3

时, A ? (3 a ? 1, 2) ,

又因为 A ? B ,所以 ? 综上所述, a ? ? 1 . 分

? 2 a ? 3a ? 1 ?a ? 1 ? 2
2

,解得 a ? ? 1 .

………………………………………………………………………14
2 2

17.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x ? 8 ln x , g ( x ) ? ? x ? 14 x . (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;(3 分) (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间 ? a , a ? 1 ? 上均为增函数,求 a 的取值范围;(5 分) (Ⅲ) 若方程 f ( x ) ? g ( x ) ? m 有唯一解,试求实数 m 的值.(6 分) (1)6x+y-7=0 (2) ? 2, 6 ? (3) m ? ? 24 ? 16 ln 2
f (x) ? 2a ?1 a ? 1 a x
2

18.(本小题满分 16 分)已知函数

,常数 a ? 0 .

(1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [ m , ] 上单调递增; n (2)设 0 ? m ? n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [ m , ] ,求常数 a 的取值范围. n 解:(1)任取 x 1 , x 2 ? [ m , n ] ,且 x 1 ? x 2 ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 a
2

?

x1 ? x 2 x1 x 2



因为 x 1 ? x 2 ,x 1 ,x 2 ? [ m , n ] , 所以 x 1 x 2 ? 0 , f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) , f ( x ) 在 [ m , n ] 即 故 上单调递增.或求导方法.------------------------7 分 (2)因为 f
f ( x)
( x ) 在 [ m , n ] 上单调递增,

的定义域、值域都是 [ m
2 a ?1 a
2

, n ] ? f (m ) ? m , f (n) ? n

, --------------------12 分

即 m , n 是方程
2 2

?

1 a2x

? x 的两个不等的正根。

? a x ? (2a ? a ) x ? 1 ? 0
2a ? a
2

有 两 个 不 等 的 正 根 . 所 以 ? ? (2a 2 ? a ) 2 ? 4a 2 ? 0 , -----------------------16 分

a

2

? 0 ?

a ?

1 2

19.(本小题满分 16 分)已知 A、B 两地相距 2 R ,以 AB 为直径作一个半圆,在半圆 上取一点 C,连接 AC、BC,在三角形 ABC 内种草坪(如图),M、N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点,在三角形 AMC、三角形 BNC 上种花,其余是空地.设花坛的面积为 S 1 ,草坪的面 积为 S 2 ,取 ? A B C ? ? . D B (1) 用 ? 及 R 表示 S 1 和 S 2 ; (2) 求 (
A

A x y C E

S1 S2

的最小值. 因 为
n
?ABC ? ?

1
?C 2




2R c


o s

?s R i?

B , C ? ,


S2 ? 1 2 A C ? B C ? 2 R sin ? co s ? ? R sin 2? .???????????????3 分
2 2

设 AB 的中点为 O,连 MO、NO,则 M O ? A C , N O ? B C . 易
2









AMC









R sin ? (1 ? cos ? ) , ?????????????????5 分


2





BNC









R cos ? (1 ? sin ? ) , ???????????????????7 分

∴ S 1 ? R sin ? (1 ? cos ? ) + R sin ? (1 ? cos ? )
2 2

? R (sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ) . ????????????????????8 分
2

(2)∵

S1 S2

?

R (sin ? ? co s ? ? 2 sin ? co s ? )
2

2 R sin ? co s ?
2

?

sin ? ? co s ? 2 sin ? co s ?
2

? 1 ,??????? 10 分

令 sin ? ? co s ? ? t ? (1, 2 ] ,则 2 sin ? cos ? ? t ? 1 . ∴
S1 S2 ? t t ?1
2

?1 ?

1 t? 1 t

? 1 . ?????????????????13 分



S1 S2

的最小值为 2 ? 1 .??????????????????????16 分

20.本小题满分 16 分) ( 已知函数 f ( x ) ? x ? a | ln x ? 1 | , g ( x ) ? x | x ? a | ? 2 ? 2 ln 2, a ? 0 .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e ] 上的最大值; (Ⅱ)若 f ( x ) ?
3 2 a , x ? [1, ? ? ) 恒成立,求 a 的取值范围;

(Ⅲ) 对任意 x1 ? [1, ? ? ) ,总存在惟一的 x 2 ? [2, ? ? ) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立, 求 a 的取值 ... 范围.
2 解:(Ⅰ)当 a ? 1 , x ? [1, e ] 时 f ( x ) ? x ? ln x ? 1 , f ? ( x ) ? 2 x ?

1 x

? f ? (1) ? 1 ,


f(


?) x

f (x)



[1, e ]





,





m

a

?

2 x

f( e) e ………………………………………………………4 分

2 (Ⅱ)①当 x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x

,? a ? 0 ,? f ( x ) ? 0 恒

成立,
? f (x)


2

[ e , ?? )









,





x ? e





ym

?i f ( e ) ? e …………………………………………5 分 n
a x a 2 2 x a 2 a 2

2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

?

(x ?

)( x ?

),

(i)当

? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ? ( x ) 在 x ? (1, e ) 时为正数,所以 f ( x ) 在区间 [1, e ) 上

为增函数, 故 当
2

x ?1





ym

? 1i ? a

n









f (1) ? f ( e ) ? e ……………………………………………7 分

(ii)当 1 ? 为正数,

a 2

2 ? e ,即 2 ? a ? 2 e 时,f ? ( x ) 在 x ? (1,

a 2

) 时为负数, 在间 x ? (

a 2

,e) 时

所 以 f ( x ) 在 区 间 [1,
y min ? 3a 2 ? a 2 a 2

a 2

) 上为减函数,在 (

a 2

, e] 上为增函数,故当 x ?

a 2

时,

ln

, 此 时


f( a 2
2

) ? f ( e ) ? e ………………………………………………………………………8 分

(iii)当

a 2

2 ? e ,即 a ? 2e 时, f ? ( x ) 在 x ? (1, e ) 时为负数,所以 f ( x ) 在区间[1,e]上为

减函数, 故
ym
2



x ? e





? f ( e ) ? e ………………………………………………………………9 分 i n















y ? f ( x)











? 1 ? a ,0 ? a ? 2 ? 3a a a 2 y min ? ? ? ln , 2 ? a ? 2 e ……………………………10 分 2 2 ? 2 2 2 e , a ? 2e ? 3 3 a a 3 2 所以当 1 ? a ? a 时,得 0 ? a ? 2 ;当 a ? ln ? a ( 2 ? a ? 2 e )时,无解; 2 2 2 2 2

当e ?
2

3 2

a ( a ? 2 e )时,得 a ?
2

2 3

e 不成立.

综上,所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 …………………………………………11 分 (Ⅲ)①当 0 ? a ? 2 时, g ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 单调递增,由 g (2)? 6 ? 2 a ? 2 ln 2 ? 1 ? a , 得
5 3 ? 2 3
a 2 3a 2 a 2 ? a 2 a 2 ln a 2 ) , h ? ( t ) ? 2 ? ln t ? 0(1 ? t ? 2) ,
h (2) ? 0

ln 2 ? a ? 2 …………………………………………………………………………………

……12 分 ②当 1 ? 得
? 2 时, g ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 先减后增,由 g ( 2)? 2 a ? 2 ? 2 ln 2 ? ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ? a 2 ln a 2

, 设

,

h ( t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2 ( t ?

所 以

h (t )

单 调 递 增 且

, 所 以

h (t ) ? 0

恒 成 立 得

2 ? a ? 4 ……………………………………14 分

③当 2 ?

a 2

? e 时, f ( x ) 在 [ 2 ,
2

a

] 递增,在 [ ? a 2 ln a 2

a 2

, a ] 递减,

在 [ a , ? ? ) 递增,所以由 g ( ) ?
2
a
2

a

2 3a 2

y

,
a



?

3a 2

?

a 2

ln

a 2

? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,设 m ( t ) ? t ? 3 t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2 ,
2

a

x

4

2

则 m ? ( t ) ? 2 t ? 2 ? ln t ? 0( t ? (2, e ) ,所以 m ( t ) 递增,且 m ( 2 ) ? 0 ,
2

所以 m ( t ) ? 0 恒成立,无解.

④当 a ? 2 e 时, f ( x ) 在 [ 2 , ] 递增,在 [
2

a

a 2

, a ] 递减,在 [ a , ? ? ) 递增,

2

所以由 g ( ) ? e 得
2

a

a

2

? e ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 无解.
2

4

综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ?
3

5

2 3

ln 2, 4 )

………………………16 分


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