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贵州省遵义四中2009届高三第三次月考数学试题(理)


贵州省遵义四中 2009 届高三第三次月考数学试题
(1---16 ;18-----22 (1---16 题每小题 5 分;17 题 10 分;18---22 题各 12 分) --一、选择题 1.若复数 ( a 2 ? 3a + 2) + ( a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A 1 B 2
2

( D -1



C

1或2
2

2.设两个正态分布 N(μ1, σ 1)(σ1 >0)和 N(μ2, σ 2)(σ2>0)的密度函数图象如图所 示,则有 A B ( )

?1 < ?2 , σ 1 < σ 2 ?1 < ?2 , σ 1 > σ 2 ?1 > ? 2 , σ 1 > σ 2
第2题 C

?1 > ? 2 , σ 1 < σ 2
D 3.函数 f ( x ) = x 3 + sin x + 1( x ∈ R ) ,若 则 f ( ? a ) 的值为 A 3 B -1 C 0 D -2 )

f (a) = 2 ,
( )

uuu r uuur r r uuu r uuur uuur 4.在 △ ABC 中, AB = c , AC = b .若点 D 满足 BD = 2 DC ,则 AD = (
A.

2r 1r b+ c 3 3
x 1

B. c ?

5r 3

2r b 3

C.

2r 1r b? c 3 3

D. b +

1r 3

2r c 3


5.若方程 ?

?1? 3 ? = x 有解 x0 ,则 x0 属于 ?2?
B. ? ,



A. ? 0, ?

? ?

1? 3?

?1 1? ? ?3 2?

C. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

D. (1, 2 ) ( b<a<c )

6. 设 a ,b,c 均为正数.且 A a<b<c

2

a

1 1 = log 1 a, ( )b = log 1 b, ( )c = log 2 c ,则 2 2 2 2
C c<a<b D

B c<b<a

7.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( 5 192 625
D



A

16 625

B

256 625

C

96 625
( )

8.为得到函数 y = cos ? 2 x +

? ?

π?

? 的图像,只需将函数 y = sin 2 x 的图像 3?
B.向右平移

A.向左平移

5π 个长度单位 12

5π 个长度单位 12

C.向左平移

5π 5π 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 6 6 r r r r r r r r r r 9. 已知向量 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ⊥ a, (b ? 2a ) ⊥ b ,则 a, b 的夹角为(



A

π
6

B

π
3
2

C

2π 3

D

5π 6

10.设数列 {a n }的前 n 项和 S n = n + 1, Pn = 则 lim Pn =
n →∞

1 1 1 + +L+ , a1a 2 a 2 a 3 a n a n +1
( )

A.

1 3

B.

1 4

C.

1 2

D.

1 6
( )

11.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x) = f (4-x)且 f (2-x) + f (x-2) = 0,则 f (2008)的 值是 A.-1 B.0 C.1 D.无法确定

12.如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且 相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( A.96 B.48 C.60 D. 84 A B D C )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若一个等差数列前 3 项的各为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列共有 项。

r

r

r
=

r
. . .

14.向量 a =(5,-2),向量 b =(3,-4).则向量 a 在 b 上的射影为 15.已知数列

{a } 满足 a a
n

n +1 n

n+2 * (n ∈ N ),且 a 1 =1,则 a n = n

16.满足条件 f ( x + 2) = ? f ( ? x + 4) 的函数 f(x),写出一个

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)

已知函数 f ( x ) = cos? 2 x-

? ?

π?

π? ? π? ? ?+2 sin ? x- ? sin ? x+ ? . 3? 4? ? 4? ?

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程. (II)求函数 f ( x ) 在区间 ?? 18. (本小题满分 12 分) (1)已知 7 sin α = 3sin(α + β ) ,求证: 2 tan (2)不用计算器计算: cos

? π π? , 上的值域. ? 2 2? ?
2α + β β = 5 tan 2 2

π
5

cos

2π 5

19.(本小题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 {S n } , a1 = 1, an +1 = 2 S n ( n ∈ N )
?

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn

20.形状如图所示的三个游戏盘中(图(1)是正方形,图(2)是半径之比为 1:2 的两个同心圆,图(3) 是正六边形) ,各有一个玻璃小球,依次摇动三个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏. (Ⅰ)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少? (Ⅱ)用随机变量 ξ 表示一局游戏后小球停在阴影部分的次数与小球没有停在阴影部分的次数之差的 绝对值,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望.

21. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,AM:AB=1:3,AN:AC=1:4,BN 与 CM 交于 P 点,且 AB = a, AC = b, 用 a,b 表示 AP

uuu r

uruuur

ur

urr

uuu r

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax 3 ? 6ax 2 + b, 是否存在实数 a,b 使 f(x)在 [ ?1, 2] 上取最大值 3,最小值-29。若存在, 求出 a,b 的值,并指出函数的单调区间; 若不存在,请说明理由。

答案 一 二,13 BACA 13 BADA 14 BABD

23 5

15

n(n + 1) 2

16

f(x)=

1 或者 sin(x-3)……. x?3

三, 17, f ( x ) = cos? 2 x-

? ?

π?

π? ? π? ? ?+2 sin ? x- ? sin ? x+ ? 3? 4? ? 4? ?

=

1 3 2 2 2 2 cos 2 x + sin 2 x + 2( sin x ? cos 2 x)( sin x + cos 2 x) 2 2 2 2 2 2

=

3 1 π sin 2 x - cos 2 x = sin(2 x ? ) 2 2 6 2π =π . 2
k 5 π+ π 2 12

(1) f(x)的最小正周期为 T =
由 2x ?

π
6

= Kπ +

π
2

( K ∈ Z )得到 x =

所以图象的对称轴方程为 x =

k 5 π + π (K ∈Z ) 2 12

π π 7π 5π (2) 由于 x ∈ ?? , ? ,所以 x ∈ ?? , ? ? 2 2? ? 6 6 ? ? ? ? ?

1 ≤ sin(2 x ?

π
6

) ≤ 1 故所求值域为 [? 1, ] 1

18 解: (1) 7 sin α = 3sin(α + β ) 变形为

7 sin(

2α + β β 2α + β β ? ) = 3sin( + ) 2 2 2 2

按两角和差的正统余弦公式展开化简可得

2π (2) cos cos = 5 5

π

2sin

π
5

cos

π
5

cos

2 sin

π
5

2π 2π 2π sin cos 5 = 5 5 π 2sin 5

2sin
=

2π 2π 4π cos sin 5 5 = 5 =1 π π 4 4 sin 4sin 5 5

19 , (1)Q an +1 = 2 S n ( n ∈ N ) ∴ S n =

?

an +1 a ∴ S n ?1 = n ( n ≥ 2 ) 2 2

两式相减化简得到 an +1 = 3an ( n ≥ 2) ,但 a 2 = 2a1 = 2 所以数列 {an } 的通项公式为 a n = ? (2)据题意

?1,n = 1) ? ( n ?1 ?2 × 3 (n ≥ 2) ?

T1 = 1 ,当 n ≥ 2 时

Tn = 1 + 2 × 2 + 3 × 2 × 3 + 4 × 2 × 32 + 5 × 2 × 33 + L + n × 2 × 3n ?1 ) = 1 + 2(2 + 3 × 3 + 4 × 32 + 5 × 33 + L + n × 3n ?1 ) ∴ 3Tn = 3 + 2(2 × 3 + 3 × 32 + 4 × 33 + 5 × 34 + L + n × 3n ) ,两式相减得到: ?2Tn = ?2 + 2(2 + 3 + 32 + 33 + L + 3n ?1 ? n × 3n ) = 2 ? 3(1 ? 3n ?1 ) ? 2n × 3n = = ?1 + 3n ? 2n × 3n

?1(n = 1) ? ∴Tn = ? (2n ? 1)3n + 1 (n ≥ 2) ? ? 2
20 解: (I)一局游戏后,三个盘中停在阴影部分分别记为事件 A1,A2,A3, 由题意知 A1,A2,A3 互相独立,且 P ( A1 ) =

1 1 1 , P( A2 ) = , P( A3 ) = 2 4 3

P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) =

1 1 1 1 × × = 2 4 3 24

(Ⅱ)一局游戏后,小球停在阴影部分的次数可能取值为 0,1,2,3,相应的小球没有停在阴影部分 的次数可能取值为 3、2、1、0,所以 ξ 可能取值为 1、3 则 P( ξ =3)=P(A1A2A3)+ P ( A1 A2 A3 )

= P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 1 1 1 3 2 7 × × + × × = 2 4 3 2 4 3 24 7 17 = 24 24

P(ξ = 1) = 1 ?

所以分布列为:

ξ
P

1

3

17 24

7 24

17 7 19 + 3× = 24 24 12 uuuu 1 r uuur 1 r r 21,据题意, AM = a , AN = b 3 4 uuu r uuuu r uuur 1 r r M,P,C 共线,故不妨令 AP = λ AM + (1 ? λ ) AC = λ a + (1 ? λ )b 3 uuu r uuu r uuur r 1 r N,P,B 共线,故不妨令 AP = ? AB + (1 ? ? ) AN = ? a + (1 ? ? )b 4 u rr uuu u r rr 但 a,b 不共线,故 AP 由 a,b 是唯一的。 ∴ Eξ = 1 ×

9 ?1 ? ?3 λ = ? ?λ = 11 ? ? ,得到 ? ,进而求得 ? 1 3 ?1 ? λ = (1 ? ? ) ?? = ? ? 11 ? ? 4

uuu 3 r 2 r r AP = a + b 11 11

22, f ( x) = ax 3 ? 6ax 2 + b, ∴ f ′( x) = 3ax 2 ? 6ax = 3ax( x ? 2) (1) 如果 a=0, f ( x) 为常函数,求符合题意。 (2) 如果 a>0,则 ?1 ≤ x < 0 时, f ′( x ) > 0 , f ( x ) 递增;

0 < x < 2 时, f ′( x) < 0 , f ( x) 递减

∴ f max ( x) = f (0) = b, f min ( x) = min { f (?1), f (2)} ,
f (?1) = ?7 a + b, f (2) = ?16a + b ,但 a>0,故 f (2) < f (?1)

?b = 3 ?a = 2 ∴ f min ( x) = { f (?1), f (2)} = f (2) ,由 ? 得? ??16a + b = ?29 ?b = 3
(3) 如果 a < 0,则 ?1 ≤ x < 0 时, f ′( x ) < 0 , f ( x ) 递减;

0 < x < 2 时, f ′( x) > 0 , f ( x) 递增;

∴ f max ( x) = max { f (?1), f (2)} f min ( x) = f (0) = b
由?

= max {?7 a + b, ?16a + b} = ?16a + b , 、

??16a + b = 3 ?a = ?2 得? ?b = ?29 ?b = ?29

综上, ?

? a = 2 ? a = ?2 或? ?b = 3 ?b = ?29


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