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浙江省名校协作体2016届高三下学期3月联考数学文试题Word版含答案.doc


2015 学年第二学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科(文科)
考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并 填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式:V=
1 3

Sh,其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.

球的表面积公式:S=4πR2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式:V=
4 3

πR3 ,其中 R 表示球的半径. 第Ⅰ卷(选择题共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1,2,3,4,5?,集合 A ? ? 1,2?,集合 B ? ?2,3,4?,则 ? 1.设全集 U ? ? U ( A ? B) ? (
A. ?2? B. ?5?

)

1,2,3,4? C. ?
)

D. ? 1,3,4?

2.已知 x, y ? R ,则“ x ? 0, y ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.已知两直线 l,m 和平面 α,则( A.若 l∥m,m ? α,则 l∥α C.若 l⊥m,l⊥α,则 m⊥α 4.函数 f ? x ? ? 1 ? x 2 sin x 的图象

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.若 l∥α,m ? α,则 l∥m D.若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m

?

?

4 3 2 1

y

4 3 2 1
x

y

x

–4 –3 –2 –1

O

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1

O

1

2

3

4

–1 –2 –3 –4

–1 –2 –3 –4

A.
4 3 2 1
x y

B.
4 3 2 1
x y

–4 –3 –2 –1

O

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1

O

1

2

3

4

–1 –2 –3 –4

–1 –2 –3 –4

C. 5. 设函数 f ? x ? ? ? A. ? ??,1?
x ? ?2 , 2 ? ?x ,

D.

x?2 x?2

, 若 f ?a ?1?? f ( 2 a? 1 ) C. ? 2,6?

, 则实数 a 的取值范围是 ( D. ? 2, ?? ?



B. ? ??, 2?

6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ? ( ) A.7 B.8

? ?2an , n为奇数 (n ? N? ) ,若 an ? 30 ,则 n 等于 a ? 1, n 为偶数 ? ? n

C .9

D.10

7.已知第一象限内的点 M 既在双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,又在抛物线 a 2 b2

C2 : y 2 ? 2 px? p ? 0? 上,设 C1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,若 C2 的焦点为 F2 ,且

?MF1F2 是以 MF1 为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为(
A. 2 B. 3 C. 1 ? 2



D. 2 ? 3

8.在 n 元数集 S ? {a1 , a2 ,..., an } 中,设 ? ( S ) ?

a1 ? a2 ? ? ? an ,若 S 的非空子集 A 满足 n

? ( A) ? ? (S ) ,则称 A 是集合 S 的一个“平均子集”,并记数集 S 的 k 元“平均子集”的个数
为 f S (k ) .已知集合 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , T ? ??4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4? ,则下列说 法错误 的是( .. ) B. f S (8) ? fT (1)

A. f S (9) ? fT (1)

C. f S (6) ? fT (4)

D. f S (5) ? fT (4)

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分,单空题每题 4 分, 共 36 分. 9.计算: 3
1?log3 5

? ______ , ln e ? 6.25 2 ? _______ .

1

2 2 正视图 2 俯视图 第 10 题图

2 2 侧视图

10.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积 等于_________cm ,表面积等于__________cm .
3 2

? x ? y ? ?1 ? 11.已知 a ? R ,不等式组 ? x ? 2 y ? 2 表示的平面区域为 ? ,若 a ? 2 , ?3 x ? ay ? 6 ?

则 ? 的面积为______,若 ? 为三角形,则实数 a 的取值范围为__________.

0?? ? 12.若函数 y ? 2 sin(? x ? ? )(? ? 0,

?
2

) 的图象过点 (0,1) ,且向右平移

? 个单位 6

(保持纵坐标不变)后与平移前的函数图象重合,则 ? =______, ? 的最小值为_____. 13.若 x ? 0 , y ? 0 ,则

x y ? 的最小值为___________. x ? 2y x

14.已知平面四边形 ABCD, BC ? CA , DA ? AC , BC ? CA ? 2 ,P 是直线 AD 上的 动点,将 ?ACD 沿直线 AC 翻折,使得直线 AD 与 BC 所成的角为 60? ,若 BP ? 3 ,则 AP 的最小值 为_______. D P A C D P A B 第 14 题图 C

B

2 2 15 .已知 AB 是圆 Γ1 : ( x ? 2) ? y ? 1的直径, P 为椭圆 Γ 2 :

x2 y 2 ? ? 1 上一动点,则 25 16

??? ? ??? ? PA ? PB 的取值范围是______.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边的边长分别为 a, b, c ,已知

2sin 2

A ? 3 sin A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若

a a ? 2 cos B ,求 的值. b c

17.(本小题满分 15 分)设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,满足 S3 , S2 , S4 成等差数列,已 知 a1 ? 2a3 ? a4 ? 4 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? ,满足 bn ?

1 , n ? N* ,记 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ?? ? bn bn?1 , log2 an

n ? N* ,若对于任意 n ? N* ,都有 aTn ? n ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 15 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, ?ADC ? ?BCD ? 900 , BC ? 1 , CD ? 3 ,

P

PD ? 2 , ?PDA ? 60 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD .
?

D C B A 第 18 题图

(I)求证: AD ? PB ; (II)在线段 PA 上存在一点 M,使直线 BM 与平面 PAD 所成的

? 角为 ,求 PA 的取值范围. 3

19 . ( 本 小 题 满 分 15 分 ) 过 点 M (2,0) 的 直 线 l 与 抛 物 线

y

A

C : y ? 4x 交于 A, B 两点,直线 OA, OB ( O 为坐标原点)与
2

T

抛物线 C 的准线分别交于点 S , T .
O S B M x

(I)设 F 为抛物线 C 的焦点, k1 , k2 分别为直线 FS , FT 的斜率,求 k1k2 的值; (II)求

1 1 ? 的取值范围. MA MB

第 19 题图

20. (本小题满分 15 分)已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? (I)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在区间 ? ?2,3? 上的值域;

? 2 x 2 ? 4ax, ??2 x ? 3ax,
2

x?0 x?0



(II)设 s1 , s2 , t1 , t2 ? R , s1 ? t1 , s2 ? t2 ,若当且仅当实数 m ?? s1, t1 ? ? ? s2 , t2 ? 时,关于 x 的 方程 f ( x) ? m 在 ? ?2, 2? 上有唯一解,求 t1 ? t2 ? s1 ? s2 的取值范围.

2015 学年第二学期浙江省名校协作体参考答案 高三年级数学学科(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.B 2.A 6.B 3.D 7.C 4.A 8.C

二、填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分,单空题每题 4 分, 共 36 分. 9.15, 3 10. ? , (5 ? 5)? 12.

6 , ?3 ? a ? 6 5 1 13. 2 ? 2
11. 15. ?8, 48?

? , 12 6

8 3

14. 2 ? 1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边的边长分别为 a, b, c ,已知

2sin 2

A ? 3 sin A . 2

(I)求角 A 的大小;

a a ? 2 cos B ,求 的值. b c A A A 【解析】 (I) 2sin 2 ? 3 sin A ? 2 3 sin cos 2 2 2 A ? A 又 0 ? A ? ? , 0 ? ? ,故 sin ? 0 , 2 2 2 A A A 2? 故 sin ? 3 cos , tan ? 3 , A ? .………………………………7 分 2 2 2 3
(II)若 (II)由

a a 2 ? c 2 ? b2 a , ? 2 cos B 得 ? 2 ? c c 2ac
2? ,b ? c , 3

化简得 b ? c ………………………………………………………………10 分 故在 ?ABC 中, A ? 由此可得

a ? 3 ………………………14 分 b

17. (本小题满分 15 分)设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,满足 S3 , S2 , S4 成等差数列, 已知 a1 ? 2a3 ? a4 ? 4 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? ,满足 bn ?

1 , n ? N* ,记 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ?? ? bn bn?1 , log2 an

n ? N* ,若对于任意 n ? N* ,都有 aTn ? n ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【解析】 (I)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 S3 ? S4 ? 2S2 ,得 S3 ? S2 ? S4 ? S2 ? 0 , 即有 a3 ? a4 ? a3 ? 0 ,得 q ? ?2 。 又 a1 ? a4 ? 4 ? 2a3 ,则 a1 ? (?2)3 a1 ? 4 ? 2 ? 4a1 ,得 a1 ? 4 。 故 an ? 4 ? (?2)n?1 ? (?2)n?1 。………………………………7 分 (II)由(I)知 bn ?

1 log 2 an

?

1 1 1 1 ? ? ,则 bnbn +1 ? 。 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 。 ?Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? ? 2 3 3 4 4 5 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2)
………………………………10 分 依题意有 设 f ( n) ?

an a (n ? 2)(n ? 4) ? n ? 4 对于任意的正整数 n 恒成立,即 ? 恒成立。 2 n 2(n ? 2)
(n ? 2)(n ? 4) 8 ? n ? ? 6, n n 8 ? ? ? 6 在区间 ? ?1, 2 2 ? 上为减函数,在区间 ? 2 2, ?? 上为增函数, x

由于 y ? x ?

?

而 2 ? 2 2 ? 3 ,则 f (n)min ? min ? f (2), f (3)? ? min ?12, 故有

? ?

35 ? 35 , ?? 3? 3

a 35 70 ? f (n) min ? ,即有 a ? 。 2 3 3
70 ) 。………………………………15 分 3
P

所以实数 a 的取值范围为 ( ??,

18. (本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为 直角梯形,?ADC ? ?BCD ? 90 ,BC ? 1 ,CD ? 3 ,PD ? 2 ,
0

?PDA ? 60? ,且平面 PAD ? 平面 ABCD .

D C B A 第 18 题图

(I)求证: AD ? PB ; (II) 在线段 PA 上存在一点 M, 使直线 BM 与平面 PAD 所成的角为

?
3

, 求 PA 的取值范围.

【解析】 (I)证明:在平面 ABCD 内过 B 作 BO ? AD,交 AD 于 O, 连 PO,则四边形 BODC 为矩形, 在△ PDO 中, PD =2, DO = BC =1,∠ PDA = 60 ? , 则 PO= 3 ,? PO ? AD --------------3 分 N M A

P

D O B
第 18 题 图

C

? AD ⊥面 POB ? AD ⊥ PB -----------------6 分
(II)解:连 OM ,平面 PAD⊥平面 ABCD,BO ? AD

? BO ? 平面PAD,

? ?BMO 就是 BM 与平面 PAD 所成的角------9 分
P

?BMO ? 60? ,又 OB ? CD ? 3 ,? MO ? 1 ----------------------------11 分 N ?
过 O 作 ON ? PA 于 N, 设?APO ? ? A 则 ON ? OM ? OA ? M

3
O

2

60 ?

D

3sin? ?1? 3tan?
PA ? a= 3 3 2 ---------------15 分 ?2 ? a ? cos ? 2
2

?

6 3 ? cos? ? 3 2 ,

19. (本小题满分 15 分)过点 M (2, 0) 的直线 l 与抛物线 C : y ? 4x 交于 A, B 两点,直线

OA, OB ( O 为坐标原点)与抛物线 C 的准线分别交于点 S , T .
(I)设 F 为抛物线 C 的焦点, k1 , k2 分别为直线 FS , FT 的斜率,求 k1k2 的值; (II)求

1 1 ? 的取值范围. MA MB

【解析】 (I)显然直线 l 的斜率不为零,故可设直线 l 的方程为 x ? my ? 2 。 由?

? x ? my ? 2 ,消去 x 得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,此时 ? ? 16m2 ? 32 ? 0 2 ? y ? 4x

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ? 4m ,且 y1 y2 ? ?8 。………………………3 分

? x1 x2 ?

( y1 y2 )2 y 4 ? 4 ? 0 ,? 直线 OA 的方程为 y ? 1 x ? x 。 16 x1 y1

又抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,

4 4 2 y 2 得点 S 的坐标为 (?1, ? ) ,从而 k1 ? 1 ? ;同理得 k2 ? 。 y1 y2 2 y1
则 k1k2 ?

4 1 ? ? .………………………………7 分 y1 y2 2

(II)

1 1 1 1 ? ? ? 2 2 2 MA MB ( x1 ? 2) ? y1 ( x2 ? 2)2 ? y2
1 ? 1 x ? 4 x2 ? 4 ? 4 x2
2 2

?

x ? 4 x1 ? 4 ? 4 x1
2 1

?

1 x ?4
2 1

?

1 x ?4
2 2



2 ? x1 x2 ? 4 ,? x2 ?

16 x1 1 ,则 。………………………………10 分 ? 2 2 x1 x2 ? 4 2 x12 ? 4
1 ? x1 2 x12 ? 4 ? 4x 1 ( x1 ? 2)2 1 1 4 ? 1? 2 1 ? 1? . 2 4 2 x1 ? 4 2 x1 ? 4 2 x1 ? x1

?

1 1 ? ? MA MB

x12 ? 4

………13 分

? x1 ?

?1 2? 4 4 1 1 。 ? 4 ,? 0 ? ? 1 ,? ? ?? ?2, 2 ? 4 MA MB x1 ? ? x1 ? x1



?1 2? 1 1 的取值范围是 ? , 。…….…….………….………….15 分 ? ?2 2 ? MA MB ? ?

20. (本小题满分 15 分)已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? (I)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在区间 ? ?2,3? 上的值域;

? 2 x 2 ? 4ax, ??2 x ? 3ax,
2

x?0 x?0



(II)设 s1 , s2 ,t1 ,t2 ? R , s1 ? t1 , s2 ? t2 ,若当且仅当实数 m ?? s1 , t1 ? ? ? s2 , t2 ? 时,关于 x 的 方程 f ( x) ? m 在 ? ?2, 2? 上有唯一解,求 t1 ? t2 ? s1 ? s2 的取值范围. 【解析】 (I)当 a ? 2 时, f ( x) ? ?

? 2 x 2 ? 8 x, ??2 x ? 6 x,
2

x?0 x?0

在区间 ? ?2, ? ? 上为增函数,在区 2

? ?

3? ?

间 ? ? , 2 ? 上为减函数,在区间 ? 2,3? 上为增函数。…….…….………….…………3 分 2

? 3 ?

? ?

3 9 9 ? f (?2) ? 4, f (? ) ? , f (2) ? ?8, f (3) ? ?6 。? f ( x) max ? , f ( x) min ? ?8 。 2 2 2
故函数 f ( x) 在区间 ? ?2,3? 上的值域为 ? ?8, ? 。…….…….………….………….7 分 2

? ?

9? ?

(II) 当 a ? 0 时, 函数 f ( x) 在 ? ??, ?

? ?

3a ? ? 3a ? 上为增函数,? ? , a 上为减函数,? a, ?? ? 上 ? 4? ? 4 ? ?
a ,或 x ? ?2a , 2

为增函数,令 ?2 x2 ? 3ax ? f (a) ? ?2a2 ,得 x ?

故 f (?2a) ? f (a) ? ?2a 2 。…….…….………….………….9 分

9 3a 9 1 ) ? a 2 ,得 x ? a ,或 x ? ? a , 4 4 8 4 9 3 9 2 故 f ( a ) ? f ( ? a ) ? a 。…….11 分 4 4 8
2 令 2 x ? 4ax ? f (?

若关于 x 的方程 f ( x) ? m 在 ? ?2, 2? 上有唯一解时, 实数 m 的取值范围是 m ∣ s1 ? m ? t1或s2 ? m ? t2 ,

?

?

? ?2 ? ?2 a 8 ? 2 则有 ? 9 ,即 0 ? a ? ,此时 t1 ? f (a) ? ?2a , s1 ? f (?2) ? ?8 ? 6a , 9 2 ? a ? ? 4
3 9 t2 ? f (2) ? 8 ? 8a , s2 ? f (? a) ? a 2 , 4 8 7 2 故 t1 ? t2 ? s1 ? s2 ? ? a ? 2a ,…….………….….13 分 8 8 又0 ? a ? , 9 200 , 0) …….………….….15 分 故 t1 ? t2 ? s1 ? s2 ? (? 81


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