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求值域的常用方法


4、反函数法 适用类型: 分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用 于其它易反解出自变量的函数类型。 例 7、求函数 y ?
2x 的值域。 x ?1

分析与解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x, 从而便于求出反函数。
y?

y 2x 反解得 x ? x ?1 2? y

即y?

x 2? x

知识回顾:反函数的定义域即是原函数的值域。 故函数的值域为: y ? (??,2) ? (2,??) 。

5 、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为 主来确定函数的值域。 适用类型:一般用于三角函数型,即利用 sin x ? [?1,1], cos x ? [?1,1] 等。 例 8、求函数 y =
ex ?1 的值域。 ex ?1 y ?1 y ?1

解:由原函数式可得: e x =
?
e x >0,?

y ?1 >0 y ?1

解得:- 1<y<1。 故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .

例 9、求函数 y =

cos x sin x ? 3

的值域。

解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y 可化为: y 2 ? 1 sinx(x+β)=3y 即 sinx(x+β)=
3y y2 ?1 3y y2 ?1

∵x∈R,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤
2 2 ≤y≤ 4 4

≤1

解得:-

故函数的值域为[-

2 2 , ]。 4 4

6 、函数单调性法 适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值。 (原理:同增异减) 例 10、求函数 y ? log1 (4x ? x 2 ) 的值域。
2

分析与解:由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内 层 函 数 ) 复 合 而 成 , 故 可 令 : f ( x) ? ?x 2 ? 4x( f ( x) ? 0) 配 方 得 :
f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ? 4所以f ( x) ? (0,4) 由复合函数的单调性(同增异减)知:
y ? [?2,??) 。

例 11、 求函数 y =

2

x ?5

? log 3

x ?1

(2≤x≤10)的值域 y 1 , y 2 在[ 2, 10 ]上都是增

解:令 y 1 = 2x?5 , y 2 = 函数。

log

3

x ? 1 ,则

所以 y= y 1 + y 2 在[ 2 ,10 ]上是增函数。 当 x = 2 时,y min = 2 ?3 + log 3 2 ? 1 =
1 8



当 x = 10 时, ymax = 2 5 + log 3 9 =33。

故所求函数的值域为:[ 例 12、求函数 y=

1 8

,33]。

x ? 1 - x ? 1 的值域。

解:原函数可化为: y= 令 y1 =
x ? 1 , y2 =

2 x ?1 ? x ?1

x ? 1 ,显然

y 1 , y 2 在[1,+∞)上为无上界

的增函数,所以 y= y 1 + y 2 在[1,+∞)上也为无上界的增函数。 所 以当 x = 1 时, y=y 1 + y 2 有 最 小值
2 2
2

, 原 函数有 最大 值

=

2。
2 ]。

显然 y>0,故原函数的值域为( 0 ,

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析 式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法 之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等。 例 13、求函数 y = x +
x ? 1 的值域。

解:令 x-1=t, (t≥0)则 x= t 2 +1 ∵y= t 2 +t+1= (t ? ) 2 + ,又 t≥0,由二次函数的性质可知 当 t=0 时,y min = 1, 当 t →0 时,y →+∞。 故函数的值域为[ 1 ,+∞) 。 例 14、求函数 y =x+2+ 1 ? ( x ? 1) 2 的值域 解:因 1- ( x ? 1) 2 ≥0 ,即 ( x ? 1) 2 ≤1
1 2 3 4

故可令 x+1=cosβ,β∈[ 0 ,∏] 。 ∴y=cosβ+1+ 1 ? cos2 B =sinβ+cosβ+1 =
2 sin(β+∏/

4 )+1

∵0≤β≤∏,0 ≤β+∏/4≤5∏/4 ∴2 ≤sin(β+∏/4)≤1 2
2 sin(β+∏/4)+1≤1+ 2 。 2 ]。

∴0 ≤

故所求函数的值域为[0,1+ 例 15、求函数 y=

x3 ? x 的值域 x 4 ? 2x 2 ? 1
1 2

解:原函数可变形为:y=- ? 可令 x=tgβ,则有
1 2

2x 1? x2 ? 1? x2 1? x2

2x 1? x2 =sin2β , =cos2β 1? x2 1? x2
1 4

∴y=- sin2β ? cos2β= - sin4β 当 β= k∏/2-∏/8 时, ymax = 。 当 β= k∏/2+∏/8 时,y min = 而此时 tgβ 有意义。 故所求函数的值域为[- , ] 。 例 16、求函数 y=(sinx+1) (cosx+1) ,x∈[-∏/12∏/2]的值域。 解:y=(sinx+1) (cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1 令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx= ( t 2 -1) y =
1 ( t 2 -1)+t+1= 2 1 (t ? 1) 2 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4

由 t=sinx+cosx=

2 sin(x+∏/4)且

x∈[- ∏/12,∏/2]

可得: ∴当 t=

2 ≤t≤ 2 2
2 时, ymax =

2 2 3 3 + 2 ,当 t= 时,y= + 2 4 2 2
3 4

故所求函数的值域为[ +

2 2

, +

3 2

2]



例 17、求函数 y=x+4+ 5 ? x 2 的值域 解:由 5-x≥0 ,可得∣x∣≤ 故可令 x = y=
5

5 cosβ,β∈[0,∏]

5 cosβ+4+ 5 sinβ= 10 sin(β+∏/4)+

4

∵ 0 ≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4 当 β=∏/4 时, ymax =4+
10 ,当

β=∏时,y min =4-

5。

故所求函数的值域为:[4-

5 ,4+ 10 ]。

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公 式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目 了然,赏心悦目。 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例 18、求函数 y=

(x?2)

2

+

(x?8)

2

的值域。

解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点 P(x )到定点 A(2 ) ,B(- 8 )间的距离之和。 由上图可知:当点 P 在线段 AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 例 19、求函数 y=

x

2

? 6 x ? 13

+

x

2

? 4 x ? 5 的值域
2 2

解:原函数可变形为:y=

(x?3) ? (0?2)

+

(x?2) ? (0?1)
2

2

上式可看成 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2) ,B(-2 ,-1 )的 距离之和, 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min =∣AB∣= 故所求函数的值域为[ 例 20、求函数 y=

(3?2) ? (2?1)
2

2

=

43 ,

。 43 ,+∞) -

x

2

? 6 x ? 13

x

2

? 4 x ? 5 的值域
2 2

解:将函数变形为:y=

(x?3) ? (0?2)

-

(x?2) ? (0?1)
2

2

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0 )的距离与定点 B(-2,1) 到点 P(x,0)的距离之差。即:y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P? ,则构成△ABP? ,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP? ∣-∣BP? ∣∣<∣AB∣= 即:26 <y< 26

(3?2) ? (2?1)
2

2

=

26

(2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣= 综上所述, 可知函数的值域为: (26 。

- 26 ]。 26 ,

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形, 使 A,B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点 A ,B 在 x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为: (3 ,2 ) , (- 2 ,- 1 ) ,在 x 轴的同侧; 例 18 的 A,B 两点坐标分别为: (3 ,2 ) , (2 ,- 1 ) ,在 x 轴的 同侧。 例 21、求函数 y ?
3 ? sin x 的值域. 2 ? cos x

分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的 B x 斜率的公式 k ?
y 2 ? y1 ,将原函数视为定点(2,3)到动点 (cosx, sin x) 的斜率,又 x2 ? x1

知动点 (cos x, sin x) 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点(2,3)到单 位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和 圆相切时取得,从而解得: y ? [
6?2 3 6?2 3 , ] 3 3

9 、不等式法 适用类型:能利用几个重要不等式及推论来求得最值。 (如:
a 2 ? b 2 ? 2ab, a ? b ? 2 ab )

其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定 值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 22、 求函 y=(sinx +1/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域 解:原函数变形为:
2 2 2 2 y=( sin x + cos x )+1/ sin x +1/ cos x

= 1+

csc
2

2

x + sec x = 3+ tg x + ctg x
2
2

2

2

≥3 3 tg xctg x +2 =5 当且仅当 tgx=ctgx,即当 x=k∏±∏/4 时(k∈z) ,等号成立。 故原函数的值域为:[ 5,+∞) 。 例 23、求函数 y=2sinxsin2x 的值域
2 解:y=2sinxsinxcosx=4 sin x cosx

y

2

4 2 =16 sin x cos x

2 2 2 =8 sin x sin x (2-2 sin x ) 2 2 ≤8( sin x + sin x +2-

sin

2

x)

2 2 =8[( sin x + sin x +2-

sin

2

x )/3]

3

=

64 27

2 2 2 当且当 sin x =2-2 sin x ,即当 sin x =时,等号成立。

由y ≤

2

64 8 3 8 3 ,可得:≤y≤ 27 9 9

故原函数的值域为:[-

8 3 8 3 , ) 。 9 9
4 的最值,并指出 f ( x) 取最值时 x 的 x2

例 24、当 x ? 0 时,求函数 f ( x) ? 8 x ? 值。 分析与解: 因为 f ( x) ? 8 x ?
f ( x) ? 33 4 x ? 4 x ?

4 4 ? 4 x ? 4 x ? 2 可利用不等式 a ? b ? c ? 33 abc 即: 2 x x

4 4 所以 f ( x) ? 12 当且仅当 4 x ? 2 即 x ? 1 时取 ”=” 当 x ? 1 时 2 x x

f ( x) 取得最小值 12。

例 25、双曲线

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 的离心率为 e2 , e 的离心率为 ,双曲线 1 a2 b2 b2 a2

则 e1 ? e2 的最小值是( ) 。 A
2

2 2

B

4

C

2

D

分析与解:根据双曲线的离心率公式易得: e1 ? e2 ? 我们知道 x ? y ? 2 xy 所以 e1 ? e2 ? 2

a2 ? b2 a2 ? b2 ? , a b

a2 ? b2 a2 ? b2 ? (当且仅当 a ab

a2 ? b2 b

时 取 “=” ) 而 a 2 ? b 2 ? 2ab 故 e1 ? e2 ? 2 2 ( 当 且 仅 当 a ? b 时 取 “=” )
所以(e1 ? e2 ) min ? 2 2 。

10、导数法 设函数 f ? x ? 在 ? a, b? 上连续,在 ? a, b ? 上可导,则 f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大 值和最小值为 f ? x ? 在 ? a, b ? 内的各极值与 f ? a ? ,f ? b ? 中的最大值与最小值。 要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数 似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够 重视。 例 26、求函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 6x ? 2 , x ???1,1? 的最大值和最小值。 解: f ' ? x? ? 3x2 ? 6x ? 6 ,令 f ' ? x ? ? 0 ,方程无解.
? f ' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 6 ? 3 ? x ? 1? ? 3 ? 0
2

? 函数 f ? x ? 在 x ???1,1? 上是增函数.

故当 x ? ?1 时, fmin ? x ? ? f ? ?1? ? ?12 ,当 x ? 1 时, fmax ? x ? ? f ?1? ? 2 例 27、求函数 f ( x) ?
1 的最值. x ? 2x ? 2
2

解析: 函数 f ( x) 是定义在一个开区间 ?? ?,? ?? 上的可导函数, 令 f ' ( x) ? ?
2x ? 2 ?0 ( x ? 2 x ? 2)
2

得 f ( x) 的唯一驻点 x ? ?1 即为最点.
x ? ?1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数递增, x ? ?1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数递减,

故 f ( x) 有最大值 f (?1) ? 1 . 【说明】 本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简

便.
f ( x) ? 1 ? 1 ,等号成立条件是 x ? ?1 . ( x ? 1) 2 ? 1

注:最值寻根的导数判定 若定义在一个开区间上的函数 y ? f ( x) 有导函数 f ?( x) ? g ( x) 存在, 那么
f ( x) 是否有最值的问题可转化为 f ( x) 的导函数 g ( x) 是否有最根的问题来

研究: (1)若导函数 g ( x) 无根,即 g ( x) ? 0 ,则 f ( x) 无最值; (2)若导函数 g ( x) 有唯一的根 x0 ,即 f ' ( x0 ) ? 0 ,则 f ( x) 有最值 f ( x0 ) . 此时,导函数 f ?( x) 的根 x0 即是函数 f ( x) 最根 x0 . (3)若导函数 g ( x) 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、 最点的存在性.

11、多种方法综合运用 例 28、求函数 y= 解:令 t=
x?2

x?2 的值域 x?3

(t≥0) ,则 x+3= t 2 +1
t

(1) 当 t>0 时,y= 所以 0<y≤ 。
1 2

t

2

?1

=

1 1 ≤ , 当且仅当 t=1,即 x=-1 时取等号 t ? 1/ t 2

(2) 当 t=0 时,y=0。综上所述,函数的值域为:[0, ]。 注:先换元,后用不等式法。

1 2

例 29、求函数 y=
2

1? x ? 2 x ? x ? x 1? 2 x ? x
4 2 4

2

3

4

的值域。
2

2 1 ? x x 解:y= + =( + ) 1? 2 x ? x 1? 2 x ? x 1? x 2 1 ? x
1? 2 x ? x
2 4

x? x
2

3

4

2

2 ? 1 ? 1 x 2 x 令 x=tg ,则 ( = cos ? , = sin ? , ) 2 2 2 1? x 2

2

1? x

2 2 ∴y= cos ? + sin ? =- sin ? +

1 2

1 sin ? +1 2

1 17 =- (sin ? ? ) + 4 16
∴当 sin ? = 时, ymax = 此时 tg
1 4

2

17 。当 sin ? =-1 时,y min =-2。 16

? 17 都存在,故函数的值域为: [-2, ] 。 2 16

注:此题先用换元法。后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然 后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然 后才考虑用其他各种特殊方法。

学生巩固练习 1 函数 y=x2+ 1 (x≤- 1 )的值域是(
x 2

) ,+∞ ) D(-∞,- 3 3 2 ]
2

A(-∞,- 7 ] B[- 7 ,+∞ )
4 4

C[

33 2 2

2 函数 y=x+ A (-∞,1 ]

1 ? 2x

的值域是(

)[来源:学+科+网 Z+X+X+K] C R D [1,+∞ )

B (-∞,-1 ]

3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市, 已知

两地铁路线长 400 千米, 为了安全, 两列货车间距离不得小于( V )2 千米 ,
20

那么这批物资全部运到 B 市,最快需要_________小时(不计货车的车身 长) 4 设 x1、x2 为方程 4x2-4mx+m+2=0 的两个实根,当 m=_________ 时,x12+x22 有最小值_________ 5 某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元,而每生产 100 台 产品时直接消耗成本要增加 2500 元,市场对此商品年需求量为 500 台, 销售的收入函数为 R(x)=5x- 1 x2(万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量
2

(单位 百台) (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本? 6 已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1][来源:学科网] (1)若 f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围 7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准 备每周(按 120 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至 少生产 60 台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 工时 产值(千元) 空调器 彩电 冰箱
1 2 1 3 1 4

4

3

2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最

高产值是多少?(以千元为单位) 8 在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,以斜边 AB 所在直线为轴将△ABC 旋 转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为 S1,△ABC 的内切 圆面积为 S2,记 BC ? CA =x
AB

(1)求函数 f(x)= S1 的解析式并求 f(x)的定义域
S2

(2)求函数 f(x)的最小值

参考答案 1 解析 ∵m1=x2 在(-∞,- 1 )上是减函数,m2= 1 在(-∞,- 1 )上
2 x 2

是减函数,∴y=x2+ 1 在 x∈(-∞,- 1 )上为减函数,
x 2

∴y=x2+ 1 (x≤- 1 )的值域为[- 7 ,+∞ )
x 2 4

答案 B 2 解析 令
2 ∵y= 1 ? t 2

1 ? 2x

=t(t≥0),则 x= 1 ? t
2

2

+t=- 1 (t-1)2+1≤1
2

∴值域为(-∞,1 ] 答案 A 3 解析 t= 400 +16× ( V )2/V= 400 + 16V ≥2
V 20 V 400
16 =8

答案 8 4 解析 由韦达定理知 x1+x2=m,x1x2= m ? 2 ,[来源:Zxxk.Com]
4 ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2- m ? 2 =(m- 1 )2- 17 , 2 4 16

又 x1,x2 为实根,∴Δ≥0 ∴m≤-1 或 m≥2,

y=(m- 1 )2- 17 在区间(-∞,1) 上是减函数, 在 [2, +∞ ) 上是增函数,
4 16

又抛物线 y 开口向上且以 m= 1 为对称轴 故 m=1 时,
4

ymin= 1

2 1 2

答案 -1

5 解 (1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其 总成本 C(x)?之差,由题意,当 x≤5 时,产品能全部售出,当 x>5 时, 只能销售 500 台,所以
1 ? 1 2 5x ? x 2 ? (0.5 ? 0.25x )( 0 ? x ? 5) ? ? ? ?4.75x ? x ? 0.5(0 ? x ? 5) 2 y= ? ?? 2 ?(5 ? 5 ? 1 ? 52 ) ? (0.5 ? 0.25x )( x ? 5) ? ( x ? 1) ?12 ? 0.25x ? 2 ?

(2)在 0≤x≤5 时,y=- 1 x2+4 75x-0 5,当 x=-
2

b =4 2a

75(百台)

时, ymax=10 元) ,?

78125(万元) , 当 x>5(百台) 时, y<12-0 25× 5=10 7 5(万

所以当生产 475 台时,利润最大 ?
?0 ? x ? 5 ?x ? 5 或? (3)要使企业不亏本,即要求 ? ?1 2 x ? 4.75x ? 0.5 ? 0 ?12 ? 0.25x ? 0 ? ?2

解得 5≥x≥4 75-

21.5625 ≈0

1(百台)或 5<x<48(百台)时,即企

业年产量在 10 台到 4800 台之间时,企业不亏本 6 解 (1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立,当 a -1≠0
2

?a ? 1或a ? ?1 2 ? ?a ? 1 ? 0 ? ,即? 时,其充要条件是 ? , 5 2 2 a ? 或a ? ?1 ? ?? ? ( a ? 1) ? 4( a ? 1) ? 0 ? 3 ?

∴a<-1 或 a> 5

3

又 a=-1 时,f(x)=0 满足题意,a=1 时不合题意

故 a≤-1 或 a>为 5 所求
3

(2)依题意只要 t=(a2-1)x2+(a+1)x+1 能取到(0,+∞)上的任何值, 则 f(x)的值域为 R,故有 ?a
?
2

?1 ? 0

?? ? 0

,解得 1<a≤ 5 ,又当 a2-1=0 即 a=1 时,
3

t=2x+1 符合题意而 a=-1 时不合题意,∴1≤a≤ 5 为所求
3

7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,由 题意得 x+y+z=360?
1 1 1 x ? y ? z ? 120 2 3 4

① ② ③?

x>0,y>0,z≥60

假定每周总产值为 S 千元,则 S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下, 为求目标函数 S 的最大值,由①②消去 z,得 y=360-3x 将④代入①得 x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ∵z≥60,∴x≥30 ⑥ ④ ⑤

再将④⑤代入 S 中,得 S=4x+3(360-3x)+2· 2x,即 S=-x+1080 由条件⑥及上式知,当 x=30 时,产值 S 最大,最大值为[来源:学§ 科 § 网] S=-30+1080=1050(千元) 得 x=30 分别代入④和⑤得 y=360-90=270,z=2× 30=60 ∴每周应生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值 最大,最大产值为 1050 千元

8 解 (1) 如图所示 设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h= ab ,
c

∴S1=πah+πbh= ?ab (a ? b), S2 ? ? ( a ? b ? c ) 2 , ,
c 2

∴f(x)= S1

S2

?

4ab( a ? b) c( a ? b ? c ) 2


b

C

?a ? b ?a ? b ? cx ?x ? ? ?? 又? c c2 2 ab ? ( x ? 1) 2 2 2 ?a ? b ? c ? 2 ? ?

a

A

c

B

代入①消 c,得 f(x)= 2( x

? x) x ?1
2

在 Rt△ABC 中,有 a=csinA,b=ccosA(0<A< ? ) ,则
2

x= a ? b =sinA+cosA=
c

2

sin(A+ ? ) ∴1<x≤
4

2

(2)f(x)= 2( x

? x) 2 ? 2[( x ? 1) ? ] x ?1 x ?1
2

+6,
t

设 t=x-1,则 t∈(0, 在(0,

2

-1),y=2(t+ 2 )+6

2 -1 ] 上是减函数, 2 -1)+1= 2 时,f(x)的最小值为

∴当 x=(

6

2

+8


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