当前位置:首页 >> 数学 >> 不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习[1]

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习[1]


不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
3? 1、已知不等式 x ? 2x ? a ? 0对任意实数x ??2, 恒成立。求实数 a 的取值范围。
2

2、若不等式 (m ? 1) x2 ? (m ?1) x ? 3(m ?1) ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 取值范围

3、已知不等式

kx 2 ? kx ? 6 ? 2 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围 x2 ? x ? 2

4、对任意的 a ?? ?2, 2? ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总是正数,求 x 的取值范围

5、对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范围。 6、 若不等式 x ? logm x ? 0 在 ? 0, ? 内恒成立,则实数 m 的取值范围
2

? ?

1? 2?



7、不等式 kx 2 ? k ? 2 ? 0 有解,求 k 的取值范围。

8、对于不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a ,存在实数 x ,使此不等式成立的实数 a 的集合是 M;对于任意 x ? [0, ,使此不等式恒成立的实数 a 的集合为 N,求集合 M ,N . 5]

9、①对一切实数 x,不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? a 恒成立,求实数 a 的范围。 ②若不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? a 有解,求实数 a 的范围。 ③若方程 x ? 3 ? x ? 2 ? a 有解,求实数 a 的范围。

10、 ①若 x,y 满足方程 x ? ( y ?1) ? 1 ,不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,求实数 c 的范围。
2 2

②若 x,y 满足方程 x ? ( y ?1) ? 1 , x ? y ? c ? 0 ,求实数 c 的范围。
2 2

2? 11、设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b( x ? R) ,其中 a, b ? R .若对于任意的 a?? ?2, ,不等式
f ( x) ? 1在 ??11? 上恒成立,求 b 的取值范围. ,

12、设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 ,若当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 恒成 3

立,求 a 的取值范围。

13、已知向量 a =( x 2 ,x+1), b = (1-x,t)。若函数 f ( x) ? a ? b 在区间(-1,1)上是增函数,求 t 的取值范围。

14、 (浙江文 21)设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax , a ? 0
2 2

(Ⅰ )求 f (x) 的单调区间; )求所有实数 a ,使 e ? 1 ? f ( x) ? e 对 x ? [1, e] 恒成立. (Ⅱ e 为自然对数的底数. 注: 15、 (本小题满分 12 分)
2

已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 2 3 2 a x ? ax 2 ? , g ( x) ? ?ax ? 1 , x ? R 3 3

.

(I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若在区间 (0, ] 上至少存在一个实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,试求正实数 a 的取值范围. ... 16、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1 2

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 2 4

x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.
17、函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? m(a ? 0).
3 2 2

(1)若函数 f (x) 在 x ? [?1,1] 内没有极值点,求 a 的取值范围。 (2)若对任意的 a ? [3,6] ,不等式 f ( x) ? 1在x ? [?2,2] 上恒成立,求实数 m 的取值范围。
2 18、已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax ? 1, x ? [1,??) , g ( x) ? x ? 2 x .

(1)讨论函数 f (x) 的单调区间; (2)若对任意的 x1 ? [1,??) ,总存在 x2 ? (??, a] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的取值范围. 19、 (2010 山东数)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2
2

(Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ?

1 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.
2 20、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x , a ? R.

(1)若函数 f (x ) 在 ?1,2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e] ( e 是自然常数)时,函数 g (x ) 的 最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由;
2

5 x ? ( x ? 1) ln x . 2 21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 . 1 (1)若函数 f (x) 在 x=1 处与直线 y ? ? 相切. 2 ①求实数 a,b 的值;
(3)当 x ? (0, e] 时,证明: e x ?
2 2

1 ②求函数 f ( x)在[ , e] 上的最大值. e

3 (2)当 b=0 时,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? [0, ], x ? ?1, e 2 都成立,求实数 2 m 的取值范围.
22、(乌鲁木齐第一中学二次月考理科)已知函数 f ( x) ? px ?

?

p ? 2ln x . x (1)若 p ? 2 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正数 p 的取值范围; 2e (3)设函数 g ( x) ? ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取 x 值范围.

23、设函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d ( a, b, c, d ? R )的图象关于原点对称,且 x ? 1 时, 1 f(x)取极小值 ? , 3 ①求 a, b, c, d 的值; ②当 x???1,1? 时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明 你的结论。
4 ③若 x1, x2 ???1,1? ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 。 3 1 3 24、设函数 f ( x) ? ? x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) . 3 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式| f′(x)|≤a 恒成立,求 a 的取值范围. 1 25、设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3 (1)求函数 f (x) 的极大值; (2) x ??1 a1? a ? 时, 若 恒有 ?a ? f ?( x) ? a 成立 (其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数) , ? ,

试确定实数 a 的取值范围.
26、 (2010 辽宁文数) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax ? 1.
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | . 27、

专项练习:

( ?? ,?
1、解:
'

13 ) 11

2、解: [2,10)
2 ' 2 x ? R , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 在 x ? R

3、解析: f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 , ? 对 ?

上恒成立, ? ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得

m??

3 3 ? 4 ,即 m 的最大值为 4 。

4、解:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在[-2,2]上恒大于 0,故有:

? 2 ?x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ? 2 ? ? x ? 1或x ? ?1 ∴x<-1 或 x>3. ? ? f (2) ? 即 ? x ? 1 ? 0 解得: ?
5、解: a ? 0

1 [ ,1) x ? (??,0) ? (4,??) 7、解: 16 6、解:
y ? ax 和 y ? x(4 ? x) 在 x ? [0,3]

y

y ? ax

8、解:画出两个凼数

3 a? y ? 3, 3 上的图象如图知当 x ? 3 时 a?


0

3

x

3 3 a? 3 x ? [0,3] 时总有 ax ? x(4 ? x) 所以 3
?k?

9、 不等式 kx ? k ? 2 ? 0 有解 ? k ( x ? 1) ? 2 有解 解:
2

2

? 2 ? 2 ?k ?? 2 ? ?2 ? x ? 1 ?max x ? 1 有解 ,
2

2) 所以 k ? (??, 。

??2 x ? 1( x ? ?1), ? f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 ? ?3(?1 ≤ x ≤ 2), ?2 x ? 1( x ? 2). ? a ? f ( x)min ? 3 , ? 10、解:由 又 a ? f ( x) 有解
所 以

M ? { a ? a3 }




g ( x)

?x 2 ?

x, ? x [ ? ? 1 ,, 0

5a ]



g ?



x(



)

?a

?(g m ) xa

x

? (g.所以 N ? {a a ? 9} 5 ?) 9
12、解:① c ?
2

11、解:① a ? ?5 ② a ? 5 ③ a ? [?5,5]
3 2

2 ? 1 ② c ?[?1 ? 2,?1 ? 2 ]

a???2, 2? ? 13、解: f ( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4) 由条件 可知
? ? 9a2 ? 64 ? 0 , 从 而 4 x2 ? 3a x? 4 ? 0恒 成 立 . 当 x ? 0 时 , f ?( x ) ? 0 ; 当 x ? 0 时 ,

, f ?( x) ? 0 .因此函数 f ( x) 在 ??11? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者.
为使对任意

a???2, 2?

, ??11? 上恒成立,当且仅当 f ( x)max ? 1 , ,不等式 f ( x) ? 1 在

?b ? (?2 ? a)min ? f (1) ? 1 ?b ? ?2 ? a ? ? ? 2? 2? f (?1) ? 1 ,即 ?b ? ?2 ? a 在 a???2, 上恒成立.即 ?b ? (?2 ? a)min , a???2, 即?
所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是

? ? ?∞, 4? .

14、解: (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f (x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 4 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3 3 ; f (0) ? 24a

则由题意得

?a ? 1 ? ? f (2a) ? 0, ? f (0) ? 0, ?
2



?a ? 1, ? 4 ? ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ?24a ? 0. ?
3

解得
2

1? a ? 6

? a ? (1, 6) 。
2

? 15、解:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t 。则 f ( x) ? ?3x ? 2 x ? t ,
? 若 f (x) 在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设 f ( x) ? 0 恒成立。
2 ? ∴ f ( x) ? 0 ? t ? 3x ? 2 x 在(-1,1)上恒成立。

y 考虑函数 g ( x) ? 3x ? 2 x , (如图)
2

x?

1 3

g(x)

由于 g (x) 的图象是对称轴为

x?

1 3 ,开口向上的抛物线,

2 故要使 t ? 3x ? 2 x 在(-1,1)上恒成立 ? t ? g (?1) ,即 t ? 5 。

? ? 而当 t ? 5 时, f (x) 在(-1,1)上满足 f (x) >0,
即 f (x) 在(-1,1)上是增函数。故 t 的取值范围是 t ? 5 .

· -1

·· o · 1

x

(浙江文 21)设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax , a ? 0
2 2

(Ⅰ )求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ )求所有实数 a ,使 e ? 1 ? f ( x) ? e 对 x ? [1, e] 恒成立.
2

注: e 为自然对数的底数. (21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、推 理论证能力。满分 15 分。 ( Ⅰ ) 解 : 因 为

f ( x) ? a2 ln x ? x2 ? ax.其中x ? 0







f ?( x) ?

a2 ( x ? a)(2 x ? a) ? 2x ? a ? ? x x

由于 a ? 0 ,所以 f ( x ) 的增区间为 (0, a ) ,减区间为 (a, ??) (Ⅱ )证明:由题意得, f (1) ? a ? 1 ? c ? 1,即a ? c ,由(Ⅰ )知 f ( x)在[1, e] 内单调递增,

? f (1) ? a ? 1 ? e ? 1, ? 2 2 2 e ? 1 ? f ( x) ? e2 对x ? [1, e] 恒成立,只要 ? f (e) ? a ? e ? ae ? e ,解得 a ? e. 要使
18. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 2 3 2 a x ? ax 2 ? , g ( x) ? ?ax ? 1 , x ? R 3 3

.

(I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若在区间 (0, ] 上至少存在一个实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,试求正实数 a 的取值范围. ...

1 2

已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 1 2 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 2 4

x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

(Ⅱ)当 a ?

1 时, f(x) 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意 x1 ? (0, 2) , 4 1 1 ,又已知存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 ? ? g ( x2 ) , x2 ??1,2? , 2 2

有 f(x1 ) ? f(1)=-

9 1 9 11 17 2 2 即存在 x ??1, 2? ,使 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ? ? ,即 2bx ? x ? ,即 2b ? x ? 2 ? [ , ] , 2 2 2 4 x
所以 2b ?

11 11 11 ,解得 b ? ,即实数 b 取值范围是 [ , ?? ) 。 2 4 4

函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? a 2 x ? m(a ? 0). (1)若函数 f (x) 在 x ? [?1,1] 内没有极值点,求 a 的取值范围。

(2)若对任意的 a ? [3,6] ,不等式 f ( x) ? 1在x ? [?2,2] 上恒成立,求实数 m 的取值 范围。 解: (1)由题设可知,方程 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 0 [-1,1]在上没有实数根,
? f ?(0) ? 0

? f ?(1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ? ? ? f ?(?1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ?a ? 0 ? 解得 a ? 3
a (2)? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3( x ? )( x ? a) 3 又a ? 0 a ? 当 x ? ? a或x ? 时, f ?( x) ? 0 ; 3 a 当 ? a ? x ? 时, f ?( x) ? 0 3 a ? 函数 f (x) 的递增区间为 ( ?? ,? a )和( ,?? ) 3 a 单调递减区间为 (?a, ) 3 a 当 a ? [3,6]时, ? [1,2], ?a ? ?3 , 3

又 x ? [?2,2] ,

? f ( x) max ? max{f (?2), f (2)}
而 f (2) ? f (?2) ? 16 ? 4a 2 ? 0

? f ( x) max ? f (?2) ? ?8 ? 4a ? 2a 2 ? m,
又? f ( x) ? 1 在[-2,2]上恒成立,

? f ( x) max ? 1
即 ? 8 ? 4a ? 2a 2 ? m ? 1, 即 m ? 9 ? 4a ? 2a 2在a ? [3,6] 上恒成立。

? 9 ? 4a ? 2a 2 的最 小值为-87,
? m ? ?87
已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax ? 1, x ? [1,??) , g ( x) ? x 2 ? 2 x . (1)讨论函数 f (x) 的单调区间; (2)若对任意的 x1 ? [1,??) ,总存在 x2 ? (??, a] 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的取值范围. 围.

解(i)得

1? 5 ? a ? 1 ,解(ii)得, 1 ? a ? 1 ? ln 2 , 2

?1 ? 5 ? ,1 ? ln 2? ? 所求的 a 的取值范围为 ? ? 2 ?

(2010 山东数)(22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

1 时, f(x) 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意 x1 ? (0, 2) , 4 1 1 有 f(x1 ) ? f(1)=- ,又已知存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 ? ? g ( x2 ) , x2 ??1,2? , 2 2 9 1 9 11 17 2 2 即存在 x ??1, 2? ,使 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ? ? ,即 2bx ? x ? ,即 2b ? x ? 2 ? [ , ] , 2 2 2 4 x 11 11 11 所以 2b ? ,解得 b ? ,即实数 b 取值范围是 [ , ?? ) 。 2 4 4
(Ⅱ)当 a ? 【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的 单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及

解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性; (2)利用导数求出 f ( x ) 的最小值、利用二次 函数知识或分离常数法求出 g ( x) 在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数。

已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x , a ? R. (1)若函数 f (x ) 在 ?1,2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e] ( e 是自然常数)时,函数 g (x ) 的 最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x ? (0, e] 时,证明: e x ?
2 2

5 x ? ( x ? 1) ln x . 2

21.解: (1) f ( x ) ? 2 x ? a ?
'

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0 在 ?1,2? 上恒成立, x x
?a ? ?1 ? 得? 7, a?? ? ? 2

?h(1) ? 0 令 h( x) ? 2 x ? ax ? 1,有 ? ?h(2) ? 0
2

……………… 3 分

得a ? ?

7 2

………………4 分

(2)假设存在实数 a ,使 g ( x ) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,

g ' ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

………………5 分

①当 a ? 0 时, g (x ) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? ②当 0 ?

4 (舍去) , e

1 1 1 ? e 时, g (x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 ? g ( x ) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. a 1 4 ③当 ? e 时, g (x ) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) , a e
综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 g (x) 有最小值 3. ………………8 分
2

(3)令 F ( x) ? e x ? ln x ,由(2)知,
2

F ( x) min ? 3 .令 ? ( x) ?

ln x 5 1 ? ln x ? , ? ' ( x) ? , x 2 x2

当 0 ? x ? e 时, ? ' ( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ∴ ? ( x) max ? ? (e) ?

1 5 1 5 ? ? ? ?3 e 2 2 2 5 ln x 5 ? e 2 x ? ln x ? ? , 即 e 2 x 2 ? x ? ( x ? 1) ln x . x 2 2

………………12 分

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 . 1 (1)若函数 f (x) 在 x=1 处与直线 y ? ? 相切. 2 ①求实数 a,b 的值; 1 ②求函数 f ( x)在[ , e] 上的最大值. e

3 (2)当 b=0 时,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? [0, ], x ? ?1, e 2 都成立,求实数 2 m 的取值范围. a 20. 解: (1)① f '( x ) ? ? 2bx x ? f '(1) ? a ? 2b ? 0 1 ∵函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切? ? ? 1 , 2 ? f (1) ? ?b ? ?
? 2

?

?a ? 1 ? 解得 ? 1 ?b ? 2 ?
② f ( x) ? ln x ?

…………3 分

1 2 1 1 ? x2 x , f '( x) ? ? x ? 2 x x

[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]



1 1 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ; e e

令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e ? f ( x)在? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, e

?1 ? ? ?

1 ? f ( x) max ? f (1) ? ? 。。。。 分 。。。。7 2

…………8 分

2 (2)当 b=0 时, f ( x) ? a ln x 若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e ? 都成立, ? 2

? 3? ? ?

?

2 则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e ? 都成立, ? 2

? 3? ? ?

?

即 m ? a ln x ? x, 对所有的 a ? [0, ], x ? 1, e

3 2

? ?都成立,。 分 。。8
2

2 令 h(a) ? a ln x ? x, 则h(a) 为一次函数, m ? h(a)min ? x ? 1, e ? ,? ln x ? 0, ?

?

3 ? h(a)在a ? [0, ] 上单调递增? h(a)min ? h(0) ? ? x , 2
? m ? ? x 对所有的 x ? 1, e 2 ? 都成立。。。。 。。。。11 分 ?
2 。13 分 ?1 ? x ? e2 ,??e2 ? ? x ? ?1, ? m ? (? x)min ? ?e 。
2 ( 注 : 也 可 令 h( x) ? a ln x ? x, 则m ? h( x) 所 有 的 x ? 1, e ? 都 成 立 , 分 类 讨 论 得 ?

?

?

3 请根据过程酌情给分) m ? h( x)min ? 2a ? e2 对所有的 a ? [0, ] 都成立, m ? (2a ? e2 )min ? ?e2 , ? 2
22.(乌鲁木齐第一中学二次月考理科)已知函数 f ( x) ? px ?

p ? 2ln x . x (1)若 p ? 2 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正数 p 的取值范围;
(3)设函数 g ( x) ? 值范围.

2e ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取 x

22、 解:⑴当 p ? 2 时, 函数 f ( x) ? 2 x ?

2 2 2 曲线 f ( x) ? 2ln x ,f (1) ? 2 ? 2 ? 2ln1 ? 0 .f ?( x) ? 2 ? 2 ? , x x x 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 .从而曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 为 y ? 0 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 2 .[ ]
⑵ f ?( x) ? p ?

p 2 px2 ? 2x ? p .令 h(x) ? px 2 ? 2 ?p ,要使 f ( x) 在定义域 (0 , ? ?) 内是增 x ? ? x2 x x2

函数,只需 h( x) ≥ 0 在 (0 , ? ?) 内恒成立.由题意 p ? 0 , h( x) ? px2 ? 2 x ? p 的图象为开口向上 的抛物线,对称轴方程为 x ?
1 1 1 ? (0 , ? ? ) ,∴ h( x ) min ? p ? ,只需 p ? ≥ 0 ,即 p ≥ 1 时, p p p

h( x) ≥ 0 , f ? ( x )≥ 0∴ f ( x) 在 (0 , ? ?) 内为增函数,正实数 p 的取值范围是 [1, ? ?) .

⑶∵ g ( x) ?

2e 在 ?1, e? 上是减函数 ,∴ x ? e 时, g ( x)min ? 2 ; x ? 1 时, g ( x)m a x ? 2e , 即 x

g ( x) ? ? 2 , 2 ? , e

①当 p ? 0 时, h( x) ? px2 ? 2 x ? p ,其图象为开口向下的抛物线,对称轴 x ?

1 在 y 轴的左侧, p

且 h(0) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x? ?1, e? 内是减函数.当 p ? 0 时, h( x) ? ?2 x ,因为 x? ?1, e? ,所以
h( x) ? 0 , f ?( x) ? ?

2x ? 0 ,此时, f ( x) 在 x? ?1,e? 内是减函数.故当 p ≤ 0 时, f ( x) 在 ?1, e? 上 x2

单调递减 ? f ( x)max ? f (1) ? 0 ? 2 ,不合题意;

1 ②当 0 ? p ? 1 时,由 x ? ?1, e? ? x ? ≥ 0 ,所以 f ( x) ? x
知当 p ? 1 时, f ( x) 在 ?1, e? 上是增函数,∴ x ? 意;

1? 1 ? p ? x ? ? ? 2 ln x ≤ x ? ? 2 ln x .又由⑵ x? x ?

1 1 1 ? 2ln x ≤ e ? ? 2ln e ? e ? ? 2 ? 2 ,不合题 x e e

③当 p ≥ 1 时,由⑵知 f ( x) 在 ?1, e? 上是增函数, f (1) ? 0 ? 2 ,又 g ( x) 在 ?1, e? 上是减函数,故
1? ? ? ne 只 需 f ( x) a x? g ( x)m , x ? ?1, e? , 而 f ( x) a x? f ( e) ? p ? e ? ? 2 l , g ( x)min ? 2 , 即 m m i n e? ? 1? 4e ? ? 4e ? p ? e? ? ? 2 l n e ,解得 p ? 2 ? 2 ,? ?? . ,所以实数 p 的取值范围是 ? 2 e? e ?1 ? ? e ?1 ?

设函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d( a, b, c, d ? R ) 的图象关于原点对称, x ? 1 时,f(x) 且 取极小值 ?

1 , 3

①求 a, b, c, d 的值; ②当 x???1,1? 时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明 你的结论。
4 ③若 x1, x2 ???1,1? ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 。 3

解:①? 函数 f ( x) 的图象关于原点对称
? 对任意实数 x ,有 f (? x) ? ? f ( x) ? ?ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d ? ?ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d

即 bx2 ? 2d ? 0 恒成立

? b ? 0, d ? 0

? f ( x) ? ax3 ? cx, f ?( x) ? 3ax2 ? c
? x ? 1 时, f ( x) 取极小值 ?

2 2 ,? 3a ? c ? 0 且 a ? c ? 3 3

1 ? a ? , c ? ?1 3

②当 x???1,1? 时,图象上不存在这样的两点使结论成立。 假设图象上存在两点 A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ) ,使得过此两点处的切线互相垂直,则由

2 f ?( x) ? x2 ?1 知两点处的切线斜率分别为 K1 ? x12 ?1, K2 ? x2 ?1 2 且 ( x12 ?1)( x2 ?1) ? ?1

(*)

2 ? x1 , x2 ?[-1,1]?( x12 ?1)( x2 ?1) ? 0 与(*)矛盾

③? f ?( x) ? x2 ?1

令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1 ,? x ? (??, ?1) ,
x ? (?1,1) 时 f ?( x) ? 0
2 ……10 分 3

或 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0

? f ?( x ) 在[-1,1]上是减函数,且 f max ( x ) ? f ( ?1) ?
f min ( x ) ? f (1) ? ? 2 3

2 3 2 2 4 ? x1, x2 ???1,1? 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? 3 3 3

? 在[-1,1]上 f ( x) ?

1 设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) . 3 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式| f′(x)|≤a 恒成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 令 f ?( x) ? 0, 得 f (x) 的单调递增区间为(a,3a) 令 f ?( x) ? 0, 得 f (x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? ) ∴当 x=a 时, f (x) 极小值= ? 当 x=3a 时, f (x) 极小值=b. (Ⅱ)由| f ?(x ) |≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.①(7 分) ∵0<a<1, ∴a+1>2a. ∴ f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2在[a ? 1, a ? 2] 上是减函数. ∴ f ?( x) max ? f ?(a ? 1) ? 2a ? 1. f ?( x) min ? f (a ? 2) ? 4a ? 4. 于是,对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于
3 3 a ? b; 4

?? a ? 4a ? 4, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ?a ? 2a ? 1.
又 0 ? a ? 1, ∴
4 ? a ? 1. 5

1 设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3

(1)求函数 f (x) 的极大值; (2) x ??1 a1? a 若 ? , 恒有 (其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数) , ? 时, ?a ? f ?( x) ? a 成立

试确定实数 a 的取值范围. 解 (1)∵ f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ,且 0 ? a ? 1 ,

当 f ?( x) ? 0 时,得 a ? x ? 3a ;当 f ?( x) ? 0 时,得 x ? a或x ? 3a ; ∴ f (x) 的单调递增区间为 (a,3a) ;
f (x) 的单调递减区间为 (??, a ) 和 (3a,??) .

故当 x ? 3a 时, f (x) 有极大值,其极大值为 f ?3a ? ? 1. (2)∵ f ? ? x ? ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ? ? x ? 2a ? ? a 2 ,
2

1 当 0 ? a ? 时, 1 ? a ? 2a , 3

∴ f ?( x) 在区间 ?1? a,1 ? a? 内是单调递减. ∴ ? f(x) ? f ? ?1-a ? ? ?8a2 ? 6a ?1, ? ?max
? ? ? f(x)min ? f ? ?1+a ? ? 2a ?1.

??8a2 ? 6a ? 1 ? a, ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ? ?2a ? 1 ? ?a.
此时, a ?? . 1 当 ? a ? 1 时, ? f(x) ? f ? ? 2a ? ?a2 . ? ?max 3

? ?0 ? a ? 1, ? a 2 ? a, ? 1 ? ? ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ? 2a ? 1 ? ? a, 即 ?a ? , 3 ? ?8a 2 ? 6a ? 1 ? ? a. ? ? ? 7 ? 17 7 ? 17 ?a? . ? 16 ? 16
1 7 ? 17 此时, ? a ? . 3 16
? 1 7 ? 17 ? 综上可知,实数 a 的取值范围为 ? , ?. 16 ? ?3
(2010 辽宁文数) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax ? 1.
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0, 2a

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? ,+ ? )单 2a 2a

调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则

g ?( x) ?


a ?1 ? 2ax +4 x

2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 . x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .

(12 分)

22.(1) g ( x) ? f ( x) ? x( x ? 0)

g ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ?

( x ? 1) 2 ? 0 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上递增, x

所以 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 x2 ? x1

(2)当 a ? 1 时

f ' ( x) ? x ?

1 ? a ?1 ? 2 ? a ?1 ? 0 x

所以, f ( x ) 在 (1,3) 上递增,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 满足条件

当 a ? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 ? 0 ?

a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 3 a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 3 , ? x1 ? x ? x2 ? 2 2

? f ' (1) ? 1 ? a ? 0? x1 ? 1 ? x2 , 令 b ? m i ?x2 n
f ( x) ? f (1) ? 0 ,不合题意。综上 a ? 1

3 ?, , 则

f ( x) 在 (1, b)

上递减,所以


赞助商链接
更多相关文档:

高考数学:不等式恒成立、能成立、恰成立问题

高考数学:不等式恒成立能成立恰成立问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。不等式恒成立能成立恰成立问题一不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数...

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析

小结:不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式 A ?...a ? ?3 不等式恒成立能成立恰成立问题专项练习 1、若不等式 ? m ?1...

4不等式中恒成立问题、能成立问题、恰成立问题-教师版

教学内容概要高中数学备课组 日期 教师: 上课时间 年级: 高三 学生: 主课题:不等式恒成立能成立恰成立问题 教学目标: 1、掌握不等式的恒成立能成立、...

不等式恒成立能成立与恰成立问题

不等式恒成立能成立恰成立问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一、恒成立问题 思路: (1)判别式 (2) 函数最值 (3)分离参数 (4)变更主元 1、在定义域...

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立能成立恰成立问题_数学_高中教育_教育专区。思学教育 1 祝你成功成才 不等式恒成立能成立恰成立问题一不等式恒成立问题的处理方法 1、转...

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用

不等式恒成立能成立不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用问题引入: 问题引入: 2 例 1 :已知不等式 x ? 2ax + 1 > 0 对 x ∈ [1,2] ...

高一数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题

高一数学不等式恒成立能成立恰成立问题 - 高一数学不等式恒成立能成立恰成立问题 不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式...

不等式恒成立、恰成立问题分析和解法

不等式恒成立恰成立问题分析和解法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函...

...6.1 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题-...

问题6.1 含参数的不等式的恒成立恰成立能成立问题-突破170分2016届高三数学复习提升秘籍_数学_高中教育_教育专区。突破 170 分之江苏高三数学复习提升秘籍 ...

高中数学不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

专题:不等式“恒成立” 、 “能成立” 、 “恰成立”问题不等式恒成立问题...1 ,则 m ? f ( x) 恒成立 ? m ? 1 不等式中能成立 问题(有解) ....

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com