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高中三角函数知识点与常见习题类型解法


三角函数知识点与常见习题类型解法
1、任意角的三角函数: (1)弧长公式: l ? a R (2)扇形的面积公式: S ? (3)同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ③平方关系: sin 2 a ? cos2 a ? 1 (4)诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限) ②商数关系: tan a ? R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。

1 lR 2

R 为圆弧的半径, l 为弧长。

sin a , cos a

cot a ?

cos a sin a

?
2

? k ? ? 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性;
函 数

x
?a 2? ? a
?
2 ?a

sin x ? sin a ? sin a

cos x cosa cosa
? sin a

tan x ? tan a ? tan a ? cot a

cot x

? cot a ? cot a ? tan a

cosa

2、两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:

cos(? ? ? ) ? cosa cos ? ? sin a sin ? sin(a ? ? ) ? sin a cos? ? cosa sin ?

tana(a ? ? ) ?

tana ? tan ? 1 ? tana tan ?

【注:公式的逆用或者变形】 .......... (2)二倍角公式:

sin 2a ? 2 sin a cos a
cos2a ? cos2 a ? sin 2 a ? 1 ? 2 sin 2 a ? 2 cos2 a ? 1

tan 2a ?

2 tan a 1 ? tan 2 a

2 从二倍角的余弦公式里面可得出:降幂公式: cos a ?

1 ? cos 2a , 2

sin 2 a ?

1 ? cos 2a 2

(3)半角公式(可由降幂公式推导出) :

sin

a 1 ? cosa a 1 ? cosa ?? , cos ? ? , 2 2 2 2

a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a tan ? ? ? ? 2 1 ? cos a 1 ? cos a sin a
1

3、三角函数的图像和性质: (其中 k ? z ) y ? sin x 三角函数
图像

y ? cos x

y ? tan x

定义域 值域 最小正周期 奇偶性

(-∞,+∞) [-1,1]

(-∞,+∞) [-1,1]

x ? k? ?

?
2

(-∞,+∞)

T ? 2?

?
2

T ? 2?


T ??

?
2

单调性

[ 2k? ?
[2k? ?

,2k? ?
,2k? ?

? 单调递增 ]
2
3? 单调递减 ] 2

[(2k ? 1)? ,2k? ] 单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ] 单调递减

(k? ?

, k? ?

? 单调递增 )
2

?
2

对称性

对称轴: x ? k? ? 对称中心: (k? ,0)

?
2
对称轴: x ? k? 对称中心: (k? ?

?
2

对称中心: (

,0)

k? ,0 ) 2

零值点

x ? k?
x ? 2k? ?

x ? k? ?

?
2

x ? k?

?

最值点

x ? 2k? ?

?

2

, y max ? 1 , y max ? ?1

x ? 2k? , ymax ? 1 x ? (2k ? 1)? , ymax ? ?1


2

4、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) (1)函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2?

?
? ?

(2)函数 y ? A tan( ?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的周期都是 T ? (3)五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、 及对应的 y 值再描点作图。

? 3? 、? 、 、 2? 来求相应 x 的值以 2 2

(4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字 母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
2

【函数的平移变换】 : ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位(左加右减) ② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位(上加下减)

【函数的伸缩变换】 : ① y ? f ( x) ? y ? f (wx)(w ? 0) 将 y ? f ( x) 图像纵坐标不变, 横坐标缩到原来的 短, 0 ? w ? 1伸长) ② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f ( x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A 倍( A ? 1 伸长, 0 ? A ? 1缩短) 【函数的对称变换】 : ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f ( x) 图像绕 y 轴翻折 180°(整体翻折) ; (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f ( x) 图像绕 x 轴翻折 180°(整体翻折) ; (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧(偶函 数局部翻折) ; ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去(局部翻动) 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换; 2 2 ? 如 1 ? sin a ? cos a ? tan x ? cot x ? tan45 等。 (2)项的分拆与角的配凑。 如分拆项: sin 2 a ? 2 cos2 a ? (sin 2 a ? cos2 a) ? cos2 a ? 1 ? cos2 a ; 配凑角: ? ? (? ? ? ) ? ? ; ? ? (3)降次与升次;切化弦法。 (4)引入辅助角。

1 倍 ( w ? 1缩 w

? ??
2

?

? ??
2

等。

y ? a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ? a 2 ? b 2 cos( ? ? ? ) ,这里辅助角 ? 所在象限由 b a、 b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ? 确定。 a
【典型例题】 : 1、已知 tan x ? 2 ,求 sin x, cos x 的值.

3

解:因为 tan x ? 联立得 ?

sin x ? 2 ,又 sin 2 a ? cos2 a ? 1 , cos x

?sin x ? 2 cos x

, 2 2 ?sin x ? cos x ? 1

? 2 5 ? 2 5 ?sin x ? ?sin x ? ? ? 5 ? 5 解这个方程组得 ? ,? . 5 5 ?cos x ? ?cos x ? ? ? ? 5 5 ? ?
2、求

tan(?120? ) cos(210? ) sin(?480? ) 的值。 tan(?690? ) sin(?150? ) cos(330? )

解:原式 ?

tan(?120? ? 180? ) cos(180? ? 30? ) sin(?360? ? 120? ) tan(?720? ? 30o ) sin(?150? ) cos(360? ? 30? )
tan 60? (? cos 30? )(? sin120? ) ? ?3 3. tan 30? (? sin150? ) cos 30?

?

3、若

sin x ? cos x ? 2, ,求 sin x cos x 的值. sin x ? cos x
sin x ? cos x ? 2, sin x ? cos x

解:法一:因为

所以 sin x ? cos x ? 2(sin x ? cos x)
2 2 得到 sin x ? ?3 cos x ,又 sin a ? cos a ? 1 ,联立方程组,解得

? 3 10 ? 3 10 sin x ? sin x ? ? ? ? ? 10 ? 10 , , ? ? ?cos x ? ? 10 ?cos x ? 10 ? 10 ? 10 ? ?
所以 sin x cos x ? ?

3 ? 10 sin x ? cos x ? 2, 法二:因为 sin x ? cos x

所以 sin x ? cos x ? 2(sin x ? cos x) , 所以 (sin x ? cos x) 2 ? 4(sin x ? cos x) 2 ,所以 1 ? 2 sin x cos x ? 4 ? 8 sin x cos x , 所以有 sin x cos x ? ?

3 ? 10
4

4、求证: tan x sin x ? tan x ? sin x 。
2 2 2 2

证明:法一:右边= tan2 x ? sin 2 x ? tan2 x ? (tan2 x cos2 x) ? tan2 x(1 ? cos x 2 ) ? tan2 x sin x 2 ; 法二: 左边= tan2 x ? sin 2 x ? tan2 x ? (1 ? cos2 x) ? tan2 x ? tan2 x cos x 2 ? tan2 x(1 ? cos x 2 ) ? tan2 x sin x 2

5、求函数 y ? 2 sin(

x π ? ) 在区间 [0,2? ] 上的值域。 2 6

解:因为 0 ? x ? 2? ] ,所以 0 ?

x ? x ? 7? ?? , ? ? ? 由正弦函数的图象,得到 2 6 2 6 6

x π x π ? 1 ? y ? 2 sin( ? ) ? ?? ,1? 所以 y ? 2 sin( ? ) ? ?? 1,2? 2 6 2 6 ? 2 ?,
6、求下列函数的值域. (1) y ? sin 2 x ? cos x ? 2 ; (2) y ? 2 sin x cos x ? (sin x ? cos x) )

解: (1) y ? sin 2 x ? cos x ? 2

= 1 ? cos2 x ? cos x ? 2 ? ?(cos2 x ? cos x) ? 3
令 t ? cos x ,则 t ? [?1,1], y ? ?(t ? t ) ? 3 ? ?(t ? ) ?
2 2

1 2

13 1 13 ? ?(t ? ) 2 ? , 4 2 4

利用二次函数的图象得到 y ? [1,

13 ]. 4
5

(2) y ? 2 sin x cos x ? (sin x ? cos x) = (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? (sin x ? cos x)

π 2 sin( x ? ) ,则 t ? [? 2 , 2 ] 4 5 则 y ? t 2 ? t ? 1, 利用二次函数的图象得到 y ? [? ,1 ? 2 ]. 4
令 t ? sin x ? cos x ? 7、若函数 y=Asin(ω x+φ )(ω >0,φ >0)的图象的一个最高点为 (2, 2 ) ,它到其相邻的最低点之 间的图象与 x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式。

解:由最高点为 (2, 2 ) ,得到 A ? 2 ,最高点和最低点间隔是半个周期, 从而与 x 轴交点的间隔是 个周期,这样求得

1 4

π T ? 4 ,T=16,所以 ? ? ? 4 8 π π 2 sin( x ? ). 8 4

π π 又由 2 ? 2 sin( ? 2 ? ? ) ,得到可以取 ? ? .? y ? 8 4 4 4 8、已知函数 f(x)=cos x-2sinxcosx-sin x.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? [0, ], 求 f(x)的最大值、最小值.数 y ?

π 2

1 ? sin x 的值域. 3 ? cos x

解:(Ⅰ)因为 f(x)=cos x-2sinxcosx-sin4x=(cos x-sin x)(cos x+sin x)-sin2x
π π ? (cos2 x ? sin2 x) ? sin 2x ? cos 2x ? sin 2x ? 2 sin( ? 2x) ? ? 2 sin(2x ? ) 4 4

4

2

2

2

2

所以最小正周期为 π .
6

π π π 3π π 3π (Ⅱ)若 x ? [0, ] , 则 (2 x ? ) ? [? , ] , 所以当 x=0 时, f(x)取最大值为 ? 2 sin(? ) ? 1; 当 x ? 时, 2 4 4 4 4 8

f(x)取最小值为 ? 2.
9、已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? ; (2) sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? 的值. cos ? ? sin ?

sin ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 1?
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就会使解题过 程简化。 10、求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。

解:设 t ? sin x ? cos x ?

π 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4 1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4
7

11、已知函数 f ( x) ? 4sin2 x ? 2sin 2x ? 2 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及 ,x ? R ; 此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称。 8

解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2) 证 明 : 欲 证 明 函 数 f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 对 称 , 只 要 证 明 对 任 意 x ? R , 有 8 π π f (? ? x ) ? f ? ( ? x 成立, ) 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin( ? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8
所以,当 2 x ? 12 、已知函数 y=

1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

8

解: (1)y=

? ? ? = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z} 6
所以 y 取最大值时,只需 2x+ (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移

1 1 1 3 3 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 4 4 4 2 1 5 1 ? ? 5 3 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 2 6 6 4 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 ? (ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y=sin(2x+ )的图像; 2 6 1 1 ? (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数 y= sin(2x+ )的 2 2 6
图像; (iv)把得到的图像向上平移 综上得到 y=

5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4

1 3 2 cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2

历年高考综合题 一、选择题:
1、(08 全国一 6) y ? (sin x ? cos x) ? 1是(
2



A、最小正周期为 2 π 的偶函数 C、最小正周期为 π 的偶函数

B、最小正周期为 2 π 的奇函数 D、最小正周期为 π 的奇函数

2、(08 全国一 9)为得到函数 y ? cos ? x ?

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像( 3?



π 个长度单位 6 5π C、向左平移 个长度单位 6
A、向左平移

π 个长度单位 6 5π D、向右平移 个长度单位 6
B、向右平移 )

3、(08 全国二 1)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( A、第一象限角 B、第二象限角

C、 第三象限角 D、 第四象限角 ) D、2
9

4、(08 全国二 10) .函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为( A、1 B、 2 C、 3

5、(08 安徽卷 8)函数 y ? sin(2 x ? A、 x ? ?

?
?
3

) 图像的对称轴方程可能是(
C、 x ?

) D、 x ?

?
6

B、 x ? ?

?
6

?
12

12

6、(08 福建卷 7)函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 解析式为 ( A、-sinx ) B、sinx

? 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的 2
D、cosx )

C、-cosx

7、(08 广东卷 5)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是( A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为 )

8、(08 海南卷 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A、 -3,1 B、-2,2 C、-3,

3 2

D、-2,

9、(08 湖北卷 7)将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向右平移 称轴是直线 x ? A、

?
1

? 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对 3

3 2

, 则 ? 的一个可能取值是(
B、 ?

) C、

5 ? 12

5 ? 12

11 ? 12


D、 ?

11 ? 12

10、(08 江西卷 6)函数 f ( x) ?

sin x sin x ? 2sin x 2

是(

A、以 4? 为周期的偶函数 C、以 2? 为周期的偶函数

B、以 2? 为周期的奇函数 D、以 4? 为周期的奇函数

11、若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大值为 ( ) A、1 B、 2 C、 3 D、2 )

12、 (08 山东卷 10)已知 cos ? ? ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( ? ? sin ? ? 6? 5 6 ? ? 2 3 5
) C、 ?

A、 ?

2 3 5

B、

4 5

D、

4 5

13、08 陕西卷 1) sin 330? 等于( A、 ?

3 2

B、 ?

1 2
2

C、

1 2

D.

3 2

14、 (08 四川卷 4) ? tan x ? cot x ? cos x ?

(

)
10

A、 tan x

B、 sin x

C、 cos x

D、 cot x

15、 (08 天津卷 6)把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 A、 y ? sin ? 2 x ?

? 个单位长度,再把所得 3


1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( 2
B、 y ? sin ?

? ? ? ?

?? ?,x ? R 3? ?? ?,x ? R 3?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ?? ? ?,x ? R 3 ?


C、 y ? sin ? 2 x ?

D、 y ? sin ? 2 x ?

? ?

16、 (08 天津卷 9)设 a ? sin A、 a ? b ? c

2? 5? 2? , b ? cos , c ? tan ,则( 7 7 7
C、 b ? c ? a D、 b ? a ? c

B、 a ? c ? b

17、 (08 浙江卷 2)函数 y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 的最小正周期是( A、



? 2

B、 ?

C、

3? 2

D、 2?

18、 (08 浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 的交点个数是( A、0 二、填空题 ) B、1 C、2

x 3? 1 ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 2 2 2
D、4

19、 (08 北京卷 9)若角 ? 的终边经过点 P(1 , ? 2) ,则 tan 2? 的值为 20、 (08 江苏卷 1) f ? x ? ? cos ? ? x ?



? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?
2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x




21、 (08 辽宁卷 16)设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 22、 (08 浙江卷 12)若 sin(

? ?

?? 2?

?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5

? 23、 (08 上海卷 6)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 三、解答题 24、 (08 四川卷 17)求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

11

25、 (08 北京卷 15)已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π ; 2?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? 2π ? ? ?

26、 (08 天津卷 17)已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周 期是

? ; (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. 2

27、 (08 安徽卷 17)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) , 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

12

28、 (08 陕西卷 17)已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? 说明理由.

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并 3?

13

参考答案:
一、选择题: 1—10:D 、C、C、B、B、A、D 、C、 9、A 、A; 11—20: 11、C、13、B 、14、D 15、C 16、D 二、填空题: 19、 17、B 18、C;

4 3

20、10

21、 3

22、 ?

7 25

23、2。

三、解答题: 24、解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x

? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为:
2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
2

最小值为: zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 【点评】 :此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】 :利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键; 25、解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

因为 0 ≤ x ≤

2π , 3

所以 ?

π π 7π 1 π? ≤ 2 x ? ≤ , 所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , ? 6 6 6 2 6? ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?
14

26、解: (Ⅰ)

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2 2? 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?? ?k ? Z ? 时,sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 f ?x ? 的最大值 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

是2?

? k? ? ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z? 16 2 ? ?
?
) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

27、解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? sin(2 x ? ) 6

?

∴周期T ?

(2)? x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6

? ?

2? ?? 2

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以当 x ? 又? f (?

?

?
3

6

) 在区间 [?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

时, f ( x ) 取最大值 1;

?
12

)??

3 ? 1 ? f( )? , 2 2 2

∴当 x ? ?

?
12

时, f ( x ) 取最小值 ?

? ? 3 3 所以 函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的值域为 [ ? ,1] 12 2 2 ; 2

15

28、解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin

x x ? x π? ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 ?2 3?

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ? 1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

π? ? ? x π? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ? ?2 3?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? ? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?
? 函数 g ( x) 是偶函数.

16


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