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三角函数图像变换


略谈三角函数 y ? A sin(? ? x ? ? ) 的图象变换

三角函数的图象是三角函数的概念和性质的直观形象的反映,是研究三角函数的性质的基础。而三 角函数的图象的特征和性质,又是通过函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象变换反映出来的,因此掌握这一函 数图象的变换关系及灵活运用,是分析和解决与三角函数的图象有关的问题的关键。同时,三角函数的 图像变换也是历年高考中的常考内容。对于这一函数的图像变换,课本上首先分别探索了 、ω 、A 对 图像的影响,即得到下面三种基本变换:相位变换,周期变换,振幅变换。然后在此基础上,归纳总结 出由正弦曲线得到函数 的图象的变换过程。为了让学生充分理解和完全掌握三角函数的图像变换,我 们在设计相关题组时,可以对自变量 x 进行变化,可以对函数的解析式进行变化,还可以对变换过程的 顺序进行变化。 下面略谈三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0 且 A≠1,ω >0 且 ω ≠1)的图象变换。对于这一函数的 图像变换,课本上首先分别探索了 ? 、ω 、A 对图像的影响,即得到下面三种基本变换:

1.相位变换:把 y ? sin x 的图象上所有点向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时)平移| ? |个单位, 得到 y ? sin(x ? ? ) 的图像。

2.周期变换:把 y ? sin(x ? ? ) 的图象上所有点的横坐标缩短(当 ω >1 时)或伸长(当 0<ω <1 时) 到原来的

1

?

倍(纵坐标不变),得到 y ? sin(?x ? ? ) 的图像。

3.振幅变换:把 y ? sin(?x ? ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时) 到原来的 A 倍(横坐标不变),得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像。

然后在此基础上,归纳总结出由正弦曲线得到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的变换过程:

y ? sin x

x轴平行移动 ?沿 ? ?? ??

y ? sin(x ? ? )

x轴伸缩 ?沿 ? ? ??

y ? sin(?x ? ? )

y轴伸缩 ?沿 ? ? ??

1

y ? A sin(?x ? ? )

课本对于这一过程的归纳总结,虽然体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想,说明了图象 的变换过程,但是学生在学习理解上却存在一定的困难,有相当部分的同学形成思维定势。如果改变图 象的变换顺序,即先进行周期变换,再进行相位变换,则容易产生错误。如对于 的图象变换, 在由 y ? sin x 变换到 y ? A sin ?x 后, 有些学生错误地认为: 只需再将其图象向左或向右平移| ? |个单位,而正确的图象变换应该是向左或向右平移

? 个单位,即 ?

函数变换为 y ? A sin ?? ? x ?

? ? ? ?

? ?? ? 。 ? ?? ?

针对学生学习中的困难,图象变换过程还可表述为:

? ? ? ?? y ? A sin ?? ? x ? ?? 即 y ? A sin(?x ? ? ) ? ?? ? ?
这样就避免了容易发生的错误,有助于分析和解决问题。请看下面的例题。

例 1.要得到 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象 ( )个单位长度

2

(A)向左平移

? ? ? ? (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移 3 3 6 6

分析: 因为 ? ? ?

?
3

? 0 ,由图象变换可知应将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平行移动,移动单位为

? ? ? ? ? ,即有 y ? sin( 2 x ? ) ? sin 2( x ? ) ,于是选(D)。 3 6 ? 6
变式:要得到 y ? cos( ?

1 ? 1 x ? ) 的图像,只需将 y ? cos( ? x) 的图像( )个单位长度 2 3 2

(A)向左平移

? ? 2? 2? (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移 3 3 3 3
1 ? 1 2? ? 2? x ? ? ? (x ? ) ,即 ,所以选(C)。 ? 2 3 2 3 ? 3

分析:因为 ?

评注:进行图像变换时应切记无论是哪种变换都是对字母 x 而言的,注意到这一点就无须担心到底 是先作相位变换还是先作周期变换。

例 2.已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) ( | ? |?

?
2

)的图象如图 1 所示,那么( )

(A) ? ?

10 ? ,? ? 11 6

(B) ? ?

10 ? ,? ? ? 11 6

(C) ? ? 2, ? ?

?
6

(D) ? ? 2, ? ? ?

?
6

分析:由图象可知: ? ? 2, ? ? 0 又

? ? ? , ? 12

所以 ? ?

?
6

,于是选(C)。

评注:①此题牵涉到三角函数的性质、图像及其变换,要解决它需要综合应用这些知识;
3

②数形结合是数学中重要的思想方法,很多函数的性质都是通过观察图像而得到的。

例 3.已知函数 y ?

1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1,x ? R 2 2

1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;

2)该函数的图象可由 y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

略解:函数变形为 y ?

1 ? 5 sin( 2 x ? ) ? 2 6 4

1)当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为 {x | x ? k? ?

?
6

, k ? Z}

2)将 y ? sin x 的图像向左平移 的

? 1 ,再将所得图象上各点横坐标变为原来的 倍,纵坐标变为原来 2 6

1 5 倍,再将所得图象向上平移 个单位长度即得到该函数的图象。 2 4

s i 或者也可这样变换: 将 y ?n
再将所得图象左移

? 5 ,向上移 个长度单位即得到该函数的图象。 12 4

1 1 x 的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍, , 横坐标变为原来的 倍, 2 2

变式: y ? sin x ? cos x 的图像可由 y ? sin x ? cos x 的图像向右平移﹍﹍﹍个单位长度得到。

解: y ? sin x ? cos x = 2 sin( x ?

?
4

),

y ? sin x ? cos x = 2 sin( x ?

?
4

)=

2 sin[( x ?

?
2

)?

?
4

] ,所以把 y ? sin x ? cos x 的图像向右平移

? 个单位长度就得到 2

y ? sin x ? cos x 的图像。

4

评注:在解决三角函数的图像变换问题时,应先将函数的表达式利用公式统一化为

y ? A sin(?x ? ? ) 形式。

例 4.为了得到函数 y ? sin 3x 的图象,只需将 y ? sin( 3 x ?

?
6

) 的图象( )

(A)向左平移

? 6

(B)向左平移

? 18

(C)向右平移

? 6

(D)向右平移

? 18

解: 因为 ? ?

?
6

? 0 ,又题中变换与图象变换相逆,因此方向应向右,平移单位为:

? ? ? 6 ? ,所以应选(D)。 ? 3 18
变式:将 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴向右平移

?

? 个单位长度,再保持图像上每个点的纵坐标不变, 3

而横坐标伸长为原来的 2 倍,得到的曲线与 y ? cos x 相同,则 y ? f ( x) 是( )

(A) y ? cos( 2 x ?

?
3

) (B) y ? cos( 2 x ?

?
3

) (C) y ? cos( 2 x ?

2? 2? ) (D) y ? cos( 2 x ? ) 3 3

1 o s x 图像上的每个点的纵坐标不变,而横坐标伸长为原来的 倍,得到 y ? cos 2 x 的 解: 将y?c 2 ? ? 图像,再将此图像向左平移 个单位得到 y ? cos 2( x ? ) 3 3

? cos( 2 x ?

2? 2? ) ,即 y ? f ( x) ? cos( 2 x ? ) ,选(C)。 3 3

评注:图像变换的过程是可以互逆的。例题 4 及其变式的设计有助于培养学生的逆向思维能力,开 阔学生的视野,做到举一反三,加深对知识的理解。

总之,为了让学生充分理解和完全掌握三角函数的图像变换,我们在设计相关题组时,可以对自变 量 x 进行变化,可以对函数的解析式进行变化,还可以对变换过程的顺序进行变化。
5


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