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2017-2018学年高中数学人教A版必修3课件:2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(38张)_图文

【课标要求】 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.结合实 例理解样本数据的标准差、方差. 2.会用样本的数字特征对总体进行估计. 3.会应用相关知识解决简单的实际问题. 自主学习 |新知预习| 基础认识 1.众数、中位数、平均数的概念 (1)众数:一组数据中,重复出现次数最多的数据是众数. (2)中位数:把一组数据按照大小顺序排成一列,把处在最中间 的数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数:如果有 n 个数 x1,x2,x3,?,xn,那么这 n 个数 1 的平均数为n(x1+x2+?+xn). 2.标准差、方差 (1)标准差的计算公式 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示, 1 s= n[?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2]. (2)方差的计算公式 1 2 2 标准差的平方 s 叫做方差.s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn - x )2],其中,xi(i=1,2,?,n)是样本数据,n 是样本容量, x 是 平均数. [化解疑难] (1)对众数、中位数、平均数的理解 ①众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平 均数是最重要的量. ②众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分 数据有关,当一组数据中部分数据多次重复出现时,其众数往往更 能反映问题. ③中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数 没有影响, 中位数可能在所给的数据中, 也可能不在所给的数据中. ④实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位. (2)对方差与标准差概念的理解 ①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准 差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的 离散程度越小. ②标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动 幅度,数据没有离散性. ③因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差 的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一 样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差. |自我尝试| 1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)数据 5,4,4,3,5,2 的众数为 4.( × ) (2)数据 2,3,4,5 的标准差是数据 4,6,8,10 的标准差的一半. (√ ) (3)方差与标准差具有相同的单位.( × ) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数, 则这组数的平均 数改变,方差不变.( √ ) 2.为了了解我国 13 岁男孩的平均身高,从北方抽取了 300 个 男孩, 平均身高 1.60 m; 从南方抽取了 200 个男孩, 平均身高为 1.50 m,由此可推断我国 13 岁男孩的平均身高为( ) A.1.54 m B.1.55 m C.1.56 m D.1.57 m 300×1.60+200×1.50 解析: x = =1.56(m). 300+200 答案:C 3.已知一组数据为 20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位 数和众数的大小关系是( ) A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 解析:平均数、中位数、众数皆为 50,故选 D. 答案:D 4.已知一组数据为-3,5,7,x,11,且这组数的众数为 5,那么 该组数据的中位数是( ) A.7 B.5 C.6 D.11 解析:由这组数据的众数为 5,可知 x=5,把这组数据由小到 大排列为-3,5,5,7,11,则可知中位数为 5. 答案:B 5.已知五个数据 3,5,7,4,6,则该样本的标准差为________. 1 解析:因为 x =5×(3+5+7+4+6)=5, 1 所以 s= 5×[?3-5?2+?+?6-5?2]= 2. 答案: 2 课堂探究 互动讲练 类型一 众数、中位数、平均数的应用 [例 1] 某公司的 33 名员工的月工资(以元为单位)如下: 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 1 1 2 1 5 3 20 人数 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 月工资 5 500 (1)求该公司员工月工资的平均数、中位数、众数;(精确到 1 元) (2)假设副董事长的月工资从 5 000 元提升到 20 000 元, 董事长 的月工资从 5 500 元提升到 30 000 元,那么新的平均数、中位数、 众数又分别是多少?(精确到 1 元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结 合此问题谈一谈你的看法. 【解析】 (1)平均数是 x = 5 500+5 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 33 ≈2 091(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (2)新的平均数是 x ′= 30 000+20 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 33 ≈3 288(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中, 中位数和众数都能反映出这个公司员工的工 资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较 大,这样导致平均数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工 的工资水平. 方法归纳 (1)平均数计算方法 a1+a2+?+an ①定义法: n 个数据 a1, a2, ?, an 的平均数 a = . n ②利用加权平均数公式: 在 n 个数据中,如果 x1 出现 f1 次,x2 出现 f2 次,?,xk 出现 fk 次 (f1 + f2 + ? + fk = n) , 则 这 n 个 数 的 平 均 数 为 : x =

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