福建省福州市2011届高三上学期期末质量检查word版(数学理)

福建省福州市 2011 届高三上学期期末质量检查

数学试题（理科）
（满分：100 分；完卷时间：90 分钟） 友情提示：答案一律填写在答题卡上。 一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分） 1．已知集合 M = { y | y = x 2 + 1, x ∈ R}, N = { y | y = x + 1, x ∈ R}, 则M ∩ N 等于（ A． （0，1）（1，2） ， C． { y | y = 1或y = 2} 2．设复数 z = 1 + B．{（0，1）（1，2）} ， D． { y | y ≥ 1} （ ） ）

2i则z 2 ? 2 z 等于

D． 3i A．-3 B．3 C． ?3i 3．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中 m 为数字 0 —9 中的一个） ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为

a1 , a2 ，则一定有
A． a1 > a2 C． a1 = a2 B． a2 > a1 D． a1 , a2 的大小不确定

（

）

?x ≥ 1 ? 4．已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 2 , 则x + y 的最小值为 ?x ? y ≤ 0 ?
A．2 5．若双曲线 B．3 C．4 D．5

（

）

x2 y2 ? = 1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 a2 b2
（ ）

A． 5

B．5

C． 2

D．2

6． 设函数 f ( x ) = sin(ω x + ? )(ω > 0, 0 < ? < 条对称轴，则函数 f ( x ) 的解析式为 A． f ( x ) = sin( x +

π
2

) 的部分图象如图所示，直线 x =

π
6

是它的一 ）

（

π
3

) )

B． f ( x ) = sin(2 x ?

π
6

-1-

C． f ( x ) = sin(4 x + D． f ( x ) = sin(2 x +

π π
3 6

) )

7． 已知实数 a, b, c, d 成等比数列， 且函数 y = ln( x + 2) ? x当x = b 时取到极大值 c ， ad 等 则 于 A．-1 （ B．0 C．1 D．2 ）

8．如图所示，正方形的四个顶点分别为 O (0, 0), A(1, 0), B (1,1), C (0,1) ， 曲线 y = x 经过点 B。现将一个质点随机投入正方形中，则质点落
2

在图中阴影区域的概率是 A．

（

）

1 2 1 C． 3

1 4 2 D． 5
B．

9．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有 一棵树与两墙的距离分别是 am(0 < a < 12), 4m ， 不 考虑树的粗细，现在用 16m 长的篱笆，借助墙角围 成一个矩形的花圃 ABCD。设此矩形花圃的面积为 S m2，S 的最大值为 f ( a ) ，若将这棵树围在花墙内， 则函数 a = f (a ) 的图象大致是 （ ）

10．在 ?ABC 中， AB ? AC = BA ? BC ”是“ | AC |=| BC | ”的 “ A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

uuu uuur r

uuu uuu r r

uuur

uuu r

（

）

11．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点” ，过函数 y = 整点”作直线，则倾斜角大于 45° 的直线条数为

9 ? x 2 图象上任意两个“左
（ ）

-2-

A．10

B．11

C．12

D．13

12 ． 设 函 数 y = f ( x ) 的 定 义 域 为 实 数 集 R ， 对 于 给 定 的 正 数 k ， 定 义 函 数

? f ( x) f k ( x) = ? ?k

( f ( x) ≤ k ) ( f ( x) > k )

， 给 出 函 数 f ( x) = ? x + 2 ， 若 对 于 任 意 的
2

x ∈ (?∞, +∞) ，恒有 f k ( x) = f ( x) ，则
A．k 的最大值为 2 C．k 的最大值为 1 二、填空题（每小题 4 分，满分 16 分） 13． 在二项式 ? x 2 ? 的值为 B．k 的最小值为 2 D．k 的最小值为 1

（

）

? ?

a? 则实数 a ? 的展开式中，x 纱数是-10， x?
。

5

14．在 ?ABC 中， BC =

5, AC = 3, sin C = 2sin A ，则

。 AB 的长为 15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密 文（加密） ，接收方由 密文→明文（解密） ，已知加密规 则如图所示，例如，明文 1，2，3，4 对应密文 5，7， 18，16，当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则解密 得到的明文为 。 16． f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (2) = 0, 当x > 0 时， 设 且 有

xf ′( x) ? f ( x) < 0 恒成立，则不等式 x 2 f ( x) > 0 的 2 x

。 解集为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17． （本小题满分 12 分） 数列 {an } 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，其前 n 项的和为 S n . （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式 an 及前 n 项和 Sn ； （Ⅱ）设 bn = 2 n ，求数列 {bn } 的通项公式 bn 及前 n 项和 Tn .
a

-3-

18． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) = 2sin ω x + 2 3 sin ω x sin(
2

π
2

? ω x)(ω > 0) 的最小正周期为 π .

（Ⅰ）求 ω 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在区间 [0,

2π ] 上的取值范围。 3

19． （本小题满分 12 分） 一个袋子内装有若干个黑球，3 个白球，2 个红球（所有的球除颜色外其它均相同） ，从 中一次性任取 2 个球，每取得一个黑球得 0 分，每取一个白球得 1 分，每取一个红球得 2 分，用随机变量 ξ 表示取 2 个球的总得分，已知得 0 分的概率为 . （Ⅰ）求袋子内黑球的个数； （Ⅱ）求 ξ 的分布列与期望。

1 6

20． （本小题满分 12 分） 某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它 费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为 0.5） ， 其它费用为每小时 800 元，且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时。 （Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本 y（元）表示为航行速度 x （海里/小时）的函数； （Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

-4-

21． （本小题满分 12 分） （文题满分 14 分） 如图， ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且 OD ⊥ AB ，Q 为线段 OD 的中 点，已知|AB|=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （Ⅱ）过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，与 OD 所在直线交于 E 点，若

uuuu r uuur uuur uuu r EM = λ1 MB, EN = λ2 NB, 求证 : λ1 + λ2 为定值。

22． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) = ? x3 + ax 2 + bx + c 在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数， 函数 f ( x ) 在 R 上有三个零点，且 1 是其中一个零点。 （Ⅰ）求 b 的值； （Ⅱ）求 f (2) 的取值范围； （Ⅲ）设 g ( x ) = x ? 1 ，且 f ( x ) > g ( x ) 的解集为（-∞，1） ，求实数 a 的取值范围。

-5-

参考答案
一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分） 1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 10．C 二、填空题（每小题 4 分,满分 16 分） 13．1 14． 2 5 15．6,4,1,7 16． （－∞,－2）∪（0,2）

11．B 12．B

三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 17． （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）依题意： an = 2 + (n ? 1) = n + 1 2分

S n = 2n +

n(n ? 1) n 2 3n ×1 = + 2 2 2
a1

4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b1 = 2

=4

5分

bn +1 = 2an +1 ? an = 21 = 2 ∴ {bn } 是首项为4,公比为2的等比数列 bn
∴ bn = 4 × 2n ?1 = 2 n +1 Tn = 4(1 ? 2n ) = 2n+ 2 ? 4 1? 2
9分

7分

12 分

18． （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）

f ( x ) = 1 ? cos 2ω x + 2 3 sin ω x cos ω x = 1 ? cos 2ω x + 3 sin 2ω x = 3 sin 2ω x ? cos 2ω x + 1 = 2sin(2ω x ? ) + 1 6
2分

π

5分

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ，且 ω > 0 ，
-6-

所以

2π = π ，解得 ω = 1 ． 2ω

7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x ) = 2 sin( 2 x ?

π
6

) +1

2π ， 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ ， 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

9分

1 π ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 ， ? ? 2 6? ?

因此 0 ≤ 2 sin( 2 x ?

π
6

) + 1 ≤ 3 ，即 f ( x) 的取值范围为 [0,3] ．

12 分

19． （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）设袋中黑球的个数为 n，由条件知，当取得 2 个黑球时得 0 分，概率为：

Cn2 1 p (ξ = 0) = 2 = Cn + 5 6
2

2分

化简得： n ? 3n ? 4 = 0 ，解得 n = 4 或 n = ?1 （舍去） ，即袋子中有 4 个黑球 （Ⅱ）依题意： ξ =0,1,2,3,4

4分

C1 ? C1 1 1 p (ξ = 0) = , p (ξ = 1) = 4 2 3 = 6 3 C9
1 1 C32 + C2 ? C4 11 p (ξ = 2) = = 36 C92 1 1 C3 ? C2 1 = C92 6

5分

6分

p (ξ = 3) =

7分

p (ξ = 4) =

C22 1 = C92 36

8分

∴ ξ 的分布列为

ξ
P

0
1 6

1 1 3

2 11 36

3 1 6

4 1 36

10 分

Eξ = 0 ×

1 1 11 1 1 14 + 1× + 2 × + 3 × + 4 × = 6 3 36 6 36 9

12 分

-7-

20． （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由题意，

300 小时， 2 分 每小时的燃料费用为 0.5 x (0 < x ≤ 50) ，从甲地到乙地所用的时间为
2

x

则从甲地到乙地的运输成本 y = 0.5 x 2 ?

300 300 ， (0 < x ≤ 50) + 800 ? x x 300 300 1600 故所求的函数为 y = 0.5 x 2 ? + 800 ? = 150( x + ) ， (0 < x ≤ 50) ． x x x

６分 ７分

（Ⅱ）由（１） y = 150 ? x + 当且仅当 x =

? ?

1600 ? 1600 = 12000 ， ? ≥ 150 × 2 x × x ? x

９分

1600 ，即 x = 40 时取等号．…11 分 x

故当货轮航行速度为４0 海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． 12 分 21． （本小题满分 12 分） （文 22 题 满分 14 分） 解： （Ⅰ）以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系， ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 + 12 = 2 5 ＞|AB|=4． ∴曲线 C 是为以原点为中心，A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1． ∴曲线 C 的方程为

x2 2 +y =1 5

5分

（Ⅱ）证法 1：设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) ， 又易知 B 点的坐标为 (2, 0) ．且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交． ∵ EM = λ1 MB ，∴ ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) ． ∴ x1 =

uuuu r

uuur

y0 2λ1 ， y1 = ． 1 + λ1 1 + λ1

7分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得： (

y 1 2λ1 2 ) + ( 0 )2 = 1， 5 1 + λ1 1 + λ1
2

去分母整理，得 λ1 + 10λ1 + 5 ? 5 y 0 = 0 ．
2

10 分
2

同理，由 EN = λ2 NB 可得： λ 2 + 10λ 2 + 5 ? 5 y 0 = 0 ．
2

uuur

uuu r

∴ ∴

λ1 ， λ2 是方程 x 2 + 10 x + 5 ? 5 y 0 2 = 0 的两个根， λ1 + λ2 = ?10 ．
12 分

-8-

（Ⅱ）证法 2：设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) ，又易知 B 点的 坐标为 (2, 0) ．且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交． 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 y = k ( x ? 2) ． 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得

(1 + 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x + 20k 2 ? 5 = 0 ． 8 分
∴ x1 + x 2 =

20k 2 20k 2 ? 5 ， x1 x 2 = ． 1 + 5k 2 1 + 5k 2

又 ∵ EM = λ1 MB ， 则 ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) ．∴ λ1 =

uuuu r

uuur

x1 ， 2 ? x1
10 分

同理，由 EN = λ2 NB ，∴ λ2 =

uuur

uuu r

x2 ． 2 ? x2

∴ λ1 + λ2 =

x1 x 2( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 + 2 = = L = ?10 ． 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 + x2 ) + x1 x2

12 分

22． （本小题满分 14 分）
2 解: （Ⅰ）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴ f ′ ( x ) = ?3 x + 2ax + b ．

1分

∵f（x）在在（－∞,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数， ∴当 x=0 时，f（x）取到极小值，即 f ′ ( 0 ) = 0 ．∴b=0． （Ⅱ）由（1）知，f（x）=－x3+ax2+c， ∵1 是函数 f（x）的一个零点，即 f（1）=0，∴c=1－a． ∵ f ′ ( x ) = ?3 x + 2ax = 0 的两个根分别为 x1 = 0 ， x2 =
2

3分

5分

2a ． 3

∵f（x）在（0,1）上是增函数，且函数 f（x）在 R 上有三个零点， ∴ x2 =

2a 3 > 1 ，即 a > ． 3 2

7分

∴ f ( 2 ) = ?8 + 4a + (1 ? a ) = 3a ? 7 > ? 故 f（2）的取值范围为 ? ?

5 ． 2
9分

? 5 ? , +∞ ? ． ? 2 ?
3

（Ⅲ）解法 1：由（Ⅱ）知 f ( x ) = ? x + ax + 1 ? a ，且 a >
2

3 ． 2

-9-

∵1 是函数 f ( x ) 的一个零点，∴ f (1) = 0 ， ∵ g ( x ) = x ? 1, ∴ g (1) = 0 ， ∴点 (1, 0) 是函数 f ( x ) 和函数 g ( x ) 的图像的一个交点． 10 分 结合函数 f ( x ) 和函数 g ( x ) 的图像及其增减特征可知，当且仅当函数 f ( x ) 和函数 g ( x ) 的图像只有一个交点 (1, 0) 时， f ( x ) > g ( x ) 的解集为 ( ?∞ ,1) ． 即方程组 ?
3

? y = x ? 1,
3 2

? y = ? x + ax + 1 ? a
2

（１）只有一个解 ?

? x =1 ． 11 分 ?y = 0

由 ? x + ax + 1 ? a = x ? 1 ，得 x ? 1 ? a x ? 1 + ( x ? 1) = 0 ．
3 2

(

) (

)

即 ( x ? 1) x + x + 1 ? a ( x ? 1)( x + 1) + ( x ? 1) = 0 ．
2 2 即 ( x ? 1) ? x + (1 ? a ) x + ( 2 ? a ) ? = 0 ． ? ?

(

)

∴ x = 1 或 x + (1 ? a ) x + ( 2 ? a ) = 0 ． 12 分
2

由方程 x + (1 ? a ) x + ( 2 ? a ) = 0 ， （２）
2

得 ? = (1 ? a ) ? 4 ( 2 ? a ) = a + 2a ? 7 ．∵ a >
2 2

3 ， 2
13 分

当 ? < 0 ，即 a + 2a ? 7 < 0 ，解得
2

3 < a < 2 2 ?1 2

此时方程（２）无实数解，方程组（１）只有一个解 ?

? x =1 ． y=0 ?
14 分

所以

3 < a < 2 2 ? 1 时， f ( x ) > g ( x ) 的解集为 ( ?∞ ,1) ． 2
3 2

（Ⅲ）解法 2：由（Ⅱ）知 f ( x ) = ? x + ax + 1 ? a ，且 a > ∵1 是函数 f ( x ) 的一个零点

3 ． 2

∴ f ( x) = ?( x ? 1) ? x 2 + (1 ? a ) x + 1 ? a ? ? ?
又 f ( x ) > g ( x ) 的解集为 ( ?∞ ,1) ，

∴ f ( x) ? g ( x) = ?( x ? 1) ? x 2 + (1 ? a ) x + 2 ? a ? > 0解集为 ( -∞，1) ? ?

10 分

∴ x 2 + (1 ? a ) x + 2 ? a > 0恒成立
∴ ? = (1 ? a ) ? 4 × 1 × ( 2 ? a ) < 0
2

11 分 12 分

∴ a 2 + 2a ? 7 < 0

∴ ( a + 1) < 8
2

- 10 -

3 3 ?3 ? 又 Q a > ∴ < a < 2 2 ? 1∴ a的取值范围为 ? ， 2 ? 1? 2 2 2 ?2 ?

14 分

- 11 -

- 12 -

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 13 -