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8.4.2 向量内积的直角坐标运算


向量内积的直角坐标运算
【教材分析】 本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的,主要知识 是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式,是后面学 习曲线方程的重要公式和推导依据,是进一步学习相关数学知识的 重要基础。 【教学目标】 1. 掌握平面向量内积的坐标表示,会应用平面向量内积的知识 解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题. 2. 能够根据平面向量的坐标,判断两向量是否垂直,求两向量 的夹角等。 3. 通过学习平面向量的坐标表示, 使学生进一步了解数学知识 的相同性,培养学生辩证思维能力.提高学生数学知识的应用能力。 【教学重点】 平面向量内积的坐标公式式,平面向量垂直的充要条件,平面内 两点间距离公式的应用. 【教学难点】 平面向量内积的坐标公式的推导和应用。 【教学方法】 本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法. 【教学过程】

环节

教学内容 前面我们学习了平面向量的平面直角坐

师生互动 教师提

标及其运算下面一起来回忆下这些知识:1. 出问题. 在平面直角坐标系中, e1 ,e 2 是基向量,他们 学生回

的坐标如何表示?任意向量 a 的坐标如何表 忆 解 答 . 师 示? a ? b , ? a 的坐标如何表示? 生共同回忆

2.上节课我们学习了向量的内积, 是怎么 旧知识. 定义的呢?
a

·b = =

复 习 导 入

cos a , b

3. 有哪些重要性质? 师:对
a

·e = ? |=

=
平面向量的 ; 内积的研究 不能仅仅停

a ? b

|

a

∣ a · b ∣≤ 留在几何角 4.满足哪些运算律 度,还要寻 (1)交换律: a · b = b · a 求其坐标表 (2)结合律:(λ
a a

)· b =λ ( a · b )= 示.引出探 究问题.

·(λ

b

);

(3)分配律:( a + b )· c = a · c + b · c 5.那么如何用坐标来表示 a · b 呢?

已知 e1 , e 2 是直角坐标平面上的基向量,如 果 a =(a1,a2),
b

学生讨 论并回答,

b =(b1,2), b 你能推导出 a · 的坐标公式吗? 教师再提出

探究过程
a

的下列问 题:

· b =(a1 e1 +a2 e 2 )·(b1 e1 +b2 e 2 )

新 课 知 识 讲 解 定理 所以

=a1b1 e1 · e1 +a1b2 e1 · e 2 +a2b1 e1 · e 2 + (1)(a1 e1 + a2b2 e 2 · e 2 , 又因为
e1

a2 e 2 )·(b1 e1 +b2 e 2 ))是

· e1 =1, e 2 · e 2 =1, e1 · e 2 =0,

怎样进行运 算的?

a

· b =a1b1+a2b2.
e1 e2 e1

(2) · e1 , · e2 , ·e 2 的内积

在直角坐标平面 xoy 中,如果 a =(a1,

a2), b =(b1,b2)则
a

· b =a1b1+a2b2.

即:两个向量的内积等于它们对应坐标的 是怎样计算 乘积的和. 因此可以推出两向量垂直的充要条件为
a

的? 教师给 出向量内积

⊥ b ? a1 b1+a2 b2=0;

问题:(1)若已知 a =(a1,a2) ,你能用上面的 的直角坐标 定理求出| 解
a

| 吗?

运算公式. 并 引导学生用 文字叙述.

因为

| a |2= a · a =(a1,a2)·(a1,a2)

=a12+a22, 所以|
a

|= a12+a22.

这就是根据向量的坐标求向量长度的计 算公式. 因此可推出两非零向量夹角余弦值公式为 cos? a , b ?= a1b1+a2b2 . a1 +a22 b12+b22
2

在教师 的引导下学 生讨论得出. 教师提

例 1 设 a =(3,-1),b =(1,-2),求: 例 (1) 题 (3) | 讲 解 解 +2=5; 教师总 (2) |
a b a

出问题,稍 ·b ; |;
a

(2) | (4)?

a a

|; 加点拨. , b ?. 学生讨 论解答.

(1)

· b =3×1+(-1)×(-2)=3

|= 3 +(-1) = 10; 结得出这就
2 2

2

2

(3) | b |= 1 +(—2) = 5; 是根据向量 (4) 因为 cos? a , b ?=
a ?b | a || b |



5 2 = , 10× 5 2

的坐标求向 量长度的计 算公式. 教师例

π 因为 0≤? a , b ?≤ ? 所以? a , b ?= . 4 配套学生练习:

题分析讲解 已知 a =(0,2), b =(-2,2 (1)
a 3

),求: 学生边 学边用

·b ;

(2) |

a

|;

练 习 巩 固

(3) | 问题

b

|;

(4)?

a

, b ?.

(2)若已知 A(x1,y1),B(x2,y2),如何求|→ AB | ? 解 因为 A(x1,y1),B(x2,y2),所以

→=(x2-x1,y2-y1). AB 所以|→|= (x2-x1)2+(y2-y1)2, AB 这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公 式. 例2 |. 解 因为 A(2,-4),B(-2,3),所以 →=(-2,3) -(2,-4) AB =(-4,7), 例 题 讲 解 学生练习: 已知 A(2,1),B(6,3),C(5, 0),求:△ABC 三边的长,并判别△ABC 是否 为等腰三角形. 例 3 已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 练 习 求证:→?→. AB AC 证明 因为 教师提 出问题. 所以|→ AB|= 72+(-4)2= 65. 学生练 习巩固所学 知识 已知 A(2, -4), B(-2, 求|→ 3), AB

巩 固

→=(2-1,3-2)=(1,1), AB →=(-2-1,5-2)=(-3,3), AC 可得 →·→=(1,1)·(-3,3)=0. AB AC 所以→ ? →. AB AC

学生讨 论解答. 教师总 结得出这就 是根据两点 的坐标求两

练习

点之间的距

快速判别上面的练习中的△ABC 是否为等 离公式. 腰直角三角形? 学生尝 试解答. 教师 针对学生的 回答进行点 评.

教师点拨, 学 新 课 生解答. 教师针 对学生的回 答进行点评.

本节课我们主要学习了平面向量内积的 坐标运算与距离公式,常见的题型主要有:

学生阅 读课本,畅

(1)直接用两向量的坐标计算平面向量的 谈 本 节 课 的 内积; 小 (2)根据向量的坐标求该向量的模(长 结 度); (3)根据两点坐标求这两点间的距离; 总结本节课 主要的知识 引导梳理, 收获,老师

(4)运用平面向量的性质判定平面内两向 点. 量是否垂直? 作 业 教材 P56 练习 A 组第 1 题; 教材 P57 练习 B 组第 1 题(选做).

【设计理念】 数学学习是一个知识理解、迁移、转化的过程,因此要实现教学 的有效性,必须知识点的迁移、转化,引导学生充分利用自己已有 的知识与经验,通过对问题的探究与解决,实现数学知识的转化, 从而实现数学知识的归纳和应用,达成教学目标。


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