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福建省龙岩市2017年高中毕业班教学质量检查理数试题 Word版含答案


福建省龙岩市 2017 年高中毕业班教学质量检查 数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? { y | y ? x 3 } , B ? {x y ? ln( x ?1)} ,则 A ? B ? ( A. [1, ??) B. (0,1) C. (1, ??)
1



D. (??,1) ) D.2
2

2.已知纯虚数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 1 ? ai ,则实数 a 等于( A.

1 2

B. ?

1 2

C.-2

3.在等差数列 {an } 中,已知 a3 , a7 是函数 f ( x) ? x ? 4x ? 3 的两个零点,则 {an } 的前 9 项 和等于( A.-18 ) B.9 C.18 D.36 )

4.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为(

A.3

B.

2 3


C.

1 2

D. ?

1 2

5.下列关于命题的说法错误的是(

2 2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ;

B. “ a ? 2 ”是“函数 f ( x) ? loga x 在区间 (0, ??) 上为增函数”的充分不必要条件;

C.若命题 p : ?n ? N , 2 ? 1000 ,则 ?p : ?n ? N , 2 ? 1000 ;
n n

D.命题“ ?x ? (??, 0) , 2 ? 3 ”是假命题.
x x

6. ( x ?1)( x ? 2)6 的展开式中 x 的系数为(
4

) D.-220

A.100

B.15

C.-35
0

7.已知向量 OA 与 OB 的夹角为 60 ,且 | OA |? 3 , | OB |? 2 ,若 OC ? mOA ? nOB ,且

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? m OC ? AB ,则实数 的值为( ) n 1 1 A. B. C.6 6 4

D.4

8.中国古代数学著 《九章算术》 中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方 升, 其三视图如图所示 (单位: 寸) , 若 ? 取 3, 其体积为 13.5 (立方寸) , 则图中的 x 为 ( )

A.2.4

B.1.8

C.1.6

D.1.2

?x ? 1 ? 9.设不等式组 ? x ? y ? 0 ,表示的平面区域为 M ,若直线 y ? kx ? 2 上存在 M 内的点,则 ?x ? y ? 4 ?
实数 k 的取值范围是( A. [1,3] ) C. [2,5] D. (??, 2] ? [5, ??)

B. (??,1] ? [3, ??)

10.已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在同一球面上, 其中 ?ABC 是正三角形,PA ? 平面

ABC , PA ? 2 AB ? 2 3 ,则该球的表面积为(
A. 8? B. 16? C. 32?

) D. 36?

x2 y 2 5 M 11.已知离心率为 的双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , a b 2

是双曲线 C 的一条渐近线上的点,且 OM ? MF2 ,O 为坐标原点,若 S?OMF2 ? 16 ,则双曲 线 C 的实轴长是( A.32 B.16 ) C.8 D.4

12.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,其图象关于点 (?1, 0) 中心对称,其导函数 f ' ( x) ,当

x ? ?1 时, ( x ? 1)[ f ( x) ? ( x ? 1) f ' ( x)] ? 0 ,则不等式 xf ( x ? 1) ? f (0) 的解集为(
A. (1, ??) B. (??, ?1) C. (?1,1) D. (??, ?1) ? (1, ??)



第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.设 ? 为钝角,若 sin(? ?

?

3 ) ? ? ,则 cos ? 的值为 3 5



14.过抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A, B ,若 A F ? 4B F ,则直线 l 的斜率是 .

15.已知各项不为零的数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,且满足 Sn ? ? an ? 1 ,若 {an } 为递增数 列,则 ? 的取值范围为 16.若实数 a, b, c, d 满足 为 . .

2a 2 ? ln a 3c ? 2 ? ? 1 ,则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小值 b d

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 已知 f ( x) ? 3 sin x ? sin x cos x ?
2

3 . 2

(1)求 f ( x ) 的单调增区间; (2) 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 A 为锐角且 f ( A) ? 求 a 的取值范围.
0 18. 如图,在梯形 ABCD 中, AB // CD , AD ? DC ? CB ? 2 , ?ABC ? 60 ,平面

3 b?c ? 4, , 2

ACEF ? 平面 ABCD ,四边形 ACEF 是菱形, ?CAF ? 600 .

(1)求证: BC ? 平面 ACEF ; (2)求平面 ABF 与平面 ADF 所成锐二面角的余弦值. 19. 某公司有 A, B, C , D, E 五辆汽车,其中 A, B 两辆汽车的车牌尾号均为 1, C , D 两辆汽 车的车牌尾号均为 2, E 车的车牌尾号为 6,已知在非限行日,每辆车可能出车或不出车,

A, B, E 三辆汽车每天出车的概率均为

1 2 , C , D 两辆汽车每天出车的概率均为 ,且五辆 2 3

汽车是否出车相互独立,该公司所在地区汽车限行规定如下: 车牌尾号 限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9 星期五

(1)求该公司在星期一至少有 2 辆汽车出车的概率; (2)设 X 表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和,求 X 的分布列及数学期 望. 20. 已知圆 M : x ? y ? 2 y ? 7 ? 0 和点 N (0,1) , 动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切, 圆心 P
2 2

的轨迹为曲线 E . (1)求曲线 E 的方程; (2)点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点,点 B, C 在曲线 E 上,若直线 AB, AC 的斜率

k1 , k2 ,满足 k1k2 ? 4 ,求 ?ABC 面积的最大值.
2 21.已知函数 f ( x) ? ( x ? )e , g ( x) ? 4 x ? 4 x ? m ln(2x) ( m ? R ) , g ( x) 存在两个极
x

3 4

值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) (1)求 f ( x1 ? x2 ) 的最小值; (2)若不等式 g ( x1 ) ? ax2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的直角坐标 为 (1, 0) , 若直线 l 的极坐标方程为 2 ? cos(? ? ( t 为参数). (1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)设直线 l 和曲线 C 交于 A, B 两点,求 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 g ( x) ? x ? 2 x ? 2 ? a ( a ? R ) (1)当 a ? 3 时,解不等式 g ( x) ? 4 ; (2)令 f ( x) ? g ( x ? 2) ,若 f ( x) ? 1 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

?

? x ? 4t 2 ) ? 1 ? 0 ,曲线 C 的参数方程是 ? 4 ? y ? 4t

1 1 . ? MA MB

福建省龙岩市 2017 年高中毕业班教学质量检查 数学(理科)试题参考答案 一、选择题
1-5:CACDC 6-10:AADCB 11、12:BA

二、填空题
13.

?4 ? 3 3 10

14. ?

4 3

15. ? ? 0 或 ? ? 1

16.

1 10

三、解答题
17. 解: (1)由题可知 f ( x) ?

3 1 3 (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? 2 2 2

? sin(2 x ? ) , 3
令 2 k? ?

?

?

2

≤ 2x ?

?
3

≤ 2 k? ?

?
2

,k ?Z

可得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ,k ?Z 12

即函数 f ( x) 的单调递减增区间为 ? k? ? (2)由 f ( A) ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ,k ?Z . 12 ? ?

3 ? 3 ,所以 sin(2 A ? ) ? , 2 3 2

A 为锐角,∴ ?
∴ 2A ?

?
3

? 2A ?

?
3

?

2? 3

?
3

?

?
3

解得 A ?

? , 3
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos ∵ bc ? (

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc ? 16 ? 3bc

b?c 2 ) ? 4 ,当且仅当 b ? c 时取等号, 2

∴ a2 ? 16 ? 3bc ? 16 ? 3? 4 ? 4, a ? 2 , 又a ? b?c ? 4, ∴ a 的取值范围为 2 ? a ? 4 . 18.

B C D中,∵ AB / /CD , 解: (1)证法一:在梯形 A
? AD ? DC ? CB ? 2 , ? A B C ? 6 0

∴ ?ADC ? ?DCB ? 1200 , ?DCA ? ?DAC ? 300
0 ∴ ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90 ,∴ AC ? BC

B C D,平面 ACEF ? 平面 ABCD ? AC , 又? 平面 ACEF ? 平面 A C F E ∴ BC ? 平面 A

B C D得高为 2sin 60? ? 3 证法二:梯形 A
AB ? 2 ? 2 ? 2cos 60? ? 4

AC ? 2 3

∴ AC 2 ? BC 2 ? AB2 , ??ACB ? 900 (下同) (2)取 G 为 EF 中点.连 CG ∵四边形 ACEF 是菱形, ?CAF ? 60 ,
?

∴ CG ? EF

即 CG ? AC

与(1)同理可知 CG ? 平面 ABCD 如图所示,以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系,

则有 A(2 3,0,0), B(0, 2,0), D( 3, ?1,0), F ( 3,0,3) ,

??? ? ??? ? ???? AB ? (?2 3, 2,0) , AF ? (? 3,0,3) , DF ? (0,1,3)
设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 ABF 的一个法向量,

??

??? ? ?? ? AB ? m ? 0 ? 则 ? ??? , ? ?? AF ? m ? 0 ? ?
即?

? ?? 3 x1 ? y1 ? 0

? ?? 3 x1 ? 3 z1 ? 0 ?? 取 m ? ( 3,3,1) .



设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 ADF 的一个法向量,

?

??? ? ? ? AF ? n ? 0 ?? 3 x2 ? 3z2 ? 0 ? ? 则 ? ???? ? ,即 ? , y ? 3 z ? 0 DF ? n ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? 取 n ? ( 3, ?3,1) .
设平面 ABF 与平面 ADF 所成锐二面角为 ? ,

?? ? m?n 5 5 则 cos ? ? ?? ? ? ? , 13 ? 13 13 m?n
即平面 ABF 与平面 ADF 所成锐二面角的余弦值为

5 . 13

19. 解: (1)记事件 a “该公司在星期一至少有 2 辆车出车”,

1 1 1 1 3 1 2 1 1 3 1 2 则 p( A) ? 1 ? ( )3 ( )2 ? C3 ( ) ( ) ? C2 ( ) ( )( ) 2 3 2 3 2 3 3 ?1? ? 8 9 1 3 4 (3 分) ? ? 72 72 72

(2) X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,
?1? P ? X ? 0? ? ? ? ? 3?
2

1 7 ?1? ?1? 1 2 1 ?1? 1 ?1? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C3 ?? ? ? ; P ? X ? 1? ? C2 ; 2 72 3 3 2 3 2 72 ? ? ? ? ? ? ? ? 19 ?1? ?1? 1 2 1 1?1? 2 ?1? ? ? ? ? C2 ? ? ? C3 ; ? ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ? 3 3 ?2? ? 2? ? 3? ? 2 ? 72
3 3 2 3 3 3 2 3

3

3

2

3

?2? P ? X ? 2? ? ? ? ?3?

2

?2? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 25 1 ?1? 1 2 1 P ? X ? 3? ? ? ? ? C3 ? ? ? ?C2 ? ? ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 3 ?3? ?2? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ? 72 16 ?2? ?1? 1 2 1 ?1? P ? X ? 4 ? ? ? ? ? C32 ? ? ? ? C2 ? ? ?? ? ? ; 3 2 3 3 2 ? ? ? ? ? ? 72
2 3 3

2

?2? P ? X ? 5? ? ? ? ?3?

2

4 ?1? ?? ? ? ; 2 72 ? ?

3

∴ X 的分布列为

X
P
E? X ? ? 0?

0

1

2

3

4

5

1 72

7 72

19 72

25 72

16 72

4 72

1 7 19 25 16 4 17 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 72 72 72 72 72 72 6

(0 , ? 1) 20. 解: (1)圆 M : x2 ? y 2 ? 2 y ? 7 ? 0 的圆心为 M ,半径为 2 2
点 N (0 ,1) 在圆 M 内,因为动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切, 所以动圆 P 与圆 M 内切.设动圆 P 半径为 r ,则 2 2 ?r ? PM . 因为动圆 P 经过点 N ,所以 r ? PN , PM ? PN ? 2 2 ? MN , 所以曲线 E 是 M , N 为焦点,长轴长为 2 2 的椭圆. 由 a ? 2, c ? 1 ,得 b ? 2 ? 1 ? 1 ,
2

y2 ? 1. 所以曲线 E 的方程为 x ? 2
2

(2)直线 BC 斜率为 0 时,不合题意 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,直线 BC : x ? ty ? m ,

? x ? ty ? m, ? 2 2 2 联立方程组 ? 2 y 2 得 (1 ? 2t ) y ? 4mty ? 2m ? 2 ? 0 , ? 1, ?x ? ? 2
4mt 2m 2 ? 2 y1 ? y2 ? ? , y1 y2 ? 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2
又 k1k2 ? 4, 知 y1 y2 ? 4( x1 ?1)( x2 ?1) ? 4(ty1 ? m ?1)(ty2 ? m ?1) = 4t y1 y2 ? 4(m ?1) t( y1 ? y2 ) ? 4(m ?1) .
2 2

代入得

2m 2 ? 2 ?4mt 2 2 (1 ? 4 t ) ? 4( m ? 1) ? 4(m ? 1)2 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2
2 2 2

又 m ? 1 ,化简得 , (m ? 1) (1 ? 4t ) ? 2(? 4mt ) ? 2(m ? 1)(1 ? 2t )

解得 m ? 3 ,故直线 BC 过定点 (3, 0)
2 由 ? ? 0 ,解得 t ? 4 ,

1 4 t2 ? 4 S?ABC ? ? 2 ? y2 ? y1 ? 2 1 ? 2t 2

?

4 t2 ? 4 9 ? 2( t ? 4)
2
2

2

?

4 9 t ?4
2

?

? 2 t2 ? 4

2 3

(当且仅当 t ?

17 时取等号). 2

综上, ?ABC 面积的最大值为 21. 解: (1) g ?( x) ? 8 x ? 4 ?

2 . 3

m 8x2 ? 4 x ? m ? ( x ? 0) , x x

令 g ?( x) ? 0 得 8x 2 ? 4 x ? m ? 0 ①, 因为 g ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 所以方程①在 (0, ??) 上有两个不等实根 x1 , x2 ,

?? ? 16 ? 32m ? 0 ? 所以 ? m ?0 ? ?8

1 解得 0 ? m ? , 2

1 1 且 x1 ? x2 ? ,0 ? x1 ? , 2 4 1 1 ? 1 ? 所以 x1 ? x2 ? x1 ? ( ? x1 ) ? 2 x1 ? ? ? ? ,0 ? 2 2 ? 2 ?

1 f '( x) ? ( x ? )e x , 4
? 1 1? ? 1 ? 当 x ? ? ? , ? ? 时, f ?( x) ? 0, 当 x ? ? ? , 0 ? 时, f ?( x) ? 0, ? 2 4? ? 4 ?
1 ? 1 所以 f ( x1 ? x2 ) 的最小值为 f ( ? ) ? ? e 4 4

(2)由(1)可知, 0 ? m ? 由 g ( x1 ) ? ax2 得 a ?

1 1 m 1 1 1 , x1 ? x2 ? , x1 x2 ? (0 ? x1 ? , ? x2 ? ) , 2 2 8 4 4 2

g ( x1 ) , x2

g ( x1 ) 4 x12 ? 4 x1 ? m ln(2 x1 ) ? 所以 1 x2 ? x1 2


4 x1 ? 4 x1 ? 8 x1 x 2 ln(2 x1 ) 1 ? x1 2

2

1 2 4 x1 ? 4 x1 ? 8 x1 ( ? x1 ) ln(2 x1 ) 2 = 1 ? x1 2


(2 x1 ? 1) 2 ? 1 ? 2(2 x1 )(1 ? 2 x1 ) ln(2 x1 ) 1 (1 ? 2 x1 ) 2

= 2?(1 ? 2 x1 ) ?

? ?

? 1 ? 2(2 x1 ) ln(2 x1 )? 1 ? 2 x1 ?
1 ?
1

令 ? ( x) ? 2?(1 ? x) ? , ? 2 x ln x? ( 0 ? x ? ) 2 1? x ? ? 则 ? ?( x) ? 2?1 ?

?

? ?

? 1 ? 2 ln x ? 2 (1 ? x) ?

因为 0 ? x ?

1 , 2
1 1 ? ( x ? 1) 2 ? 1 , 2 4

所以 ?1 ? x ? 1 ? ? ,

1 ? 1? ? ?( x) ? 0 ,即 ? ( x) 在 ? 0, ? 递减, ? ( x) ? ? ( ) ? ?3 ? 2 ln 2 , 2 ? 2?
综上,实数 a 的取值范围为 ? ??, ?3 ? 2ln 2? 22. 解: (1)因为 2 ? cos(? ? 所以 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , 得 x ? y ?1 ? 0

?
4

) ?1 ? 0 ,

因为 ?

? x ? 4t 2, ? y ? 4t,

消去 t 得 y ? 4 x
2

所以直线 l 和曲线 C 的普通方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 和 y 2 ? 4 x . (2)点 M 的直角坐标为 (1, 0) ,点 M 在直线 l 上,

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 设直线 l 的参数方程: ? ( t 为参数) , A, B 对应的参数为 t1 , t2 . ? y ? 2 t, ? ? 2
t 2 ? 4 2t ? 8 ? 0

t1 ? t2 ? 4 2, t1t2 ? ?8
t ?t (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 1 1 ? ? 1 2 ? MA MB t1t2 t1t2

?

32 ? 32 ?1 8

23. 解: (1)依题意得 g ( x) ? x ? 2 x ?1 ? 4 当 x ? 1 时,原不等式化为: x ? 2( x ? 1) ? 4 ,解得 1 ? x ? 2 当 0 ? x ? 1 时,原不等式化为: x ? 2(1 ? x) ? 4 ,解得 0 ? x ? 1 当 x ? 0 时,原不等式化为: ? x ? 2(1 ? x) ? 4 ,解得 ? 综上可得,不等式的解集为 {x ?

2 ?x?0 3

2 ? x ? 2} 3

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x ? 2) ? x ? 2 ? 2 x ? a (a ? R)

? ?3 x ? 2 ? 2 a , x ? 2 ? a ? 2 时, f ( x) ? ?? x ? 2a ? 2, 2 ? x ? a ; ?3 x ? 2 ? 2a, x ? a ?

??3x ? 6, x ? 2 a ? 2 时, f ( x) ? ? ; ?3x ? 6, x ? 2
? ?3 x ? 2 ? 2 a , x ? a ? a ? 2 时, f ( x) ? ? x ? 2a ? 2, a ? x ? 2 ; ?3 x ? 2 ? 2a, x ? 2 ?

所以 f ( x ) 的最小值为 f (2) 或 f ( a ) ; 则?

? f ( a) ? 1 ,所以 a ? 2 ? 1 ? f (2) ? 1

解得 a ? 1 或 a ? 3


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