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初中数学知识结构图思维导图


一次函数

一元二次方程
二元一次方程组

分式方程 反比例函数

二次函数

一元一次方 程

不等式

平面直角坐标系

三角形

线

四边形

函数
方程、不等式
图形与坐标

图形的认识(证明)

数与代数




空间与图形
平移


图形与变换
轴对称

统计与概率

初 中 数 学
课题学习

相似

旋转

实践活动

统计 概率

综合应用

三、教材内容

逆用公式
公 提 式 公 法 因 式 法

必须内容 补充 十 字 相 乘 法

数与代数3-1
不改变 分式的值
分 组 分 解 法

平 方 差、 完 全 平 方

公因式

通分化 成同分 母

分母不变 分子相加 减

多项式除以 单项式 单项式除以 单项式 同底数幂 相除

通分
除法 基本性质

子积为子 母积为母

注:分子、 分母为多 项式时先 分解因式

化除法为 乘法

乘法公式 单项式与多项式 幂的乘法

乘除
运算 乘方

乘法 运算
加减

系数 相加 字母 不变

分母中 含字母、 分母 不为零

an ?a? ? n ?n为整数? ? ? b ?b?

n

a ?n ?

分式

分式方程
应用

去分母 是解

1 ?n为整数? an

合并 同类项


整式方程 解法 解方程
x?a

同类项

每个单项式
升降幂排列

多项式

整式

检验 增根

次数
意义

最高 项的 次数

单项式
次数 系数
数 字

字母 指数

代 数 式

二次根 式
定义 性质
(1)
( 2)

运算
乘除

加减

a ?a ? 0?

? a?
2

a ?a ? 0 ?双非负
2

? a ( a ? 0)
? a

(3) a

三、教材内容
y y

数与代数3-2
o x o
b>0,图象在 x 一二四象限

Y 随 x 的 增 大 而 增 大

b>0,图象在 一二三象限

y
b=0,图象在 一三象限

y

o
y

o x 注意:过原点
y

x

b=0,图象在 二四象限

b<0,图象在 一三四象限

o

o x 一条直线

b<0,图象在 x 二三四象限

Y 随 x 的 增 大 而 减 小

y

o

x

两条直线

加减消元

k>0

k<0

=kx+b,k≠0, k,b为常数

图象 与一次函数 的关系

解法

注意a、c、 k,g不为0

与一次函 数关系 解法

代入消元

.
二元一次 方程组

一元一 次方程 一般式

实践与探索 一般式

最优方案

实践与探索
形如kx+b=0 (k.b为常数,k≠0)

一元 一次 方程 和二 元一

?ax ? by ? k 形如? ?cx ? dy ? g

实际问题的 解决

y
Y随 x的 增 大 而 增 大
b>0,图象在 一二三象限

y

数与代数3-3
x
b>0,图象在 一二四象限

o

x

o

y
b=0,图象在 一三象限 注意:过原点

y
b=0,图象在 二四象限

Y随 x的 增 大 而 减 小

Y随 x 的 增大 而减 每一 小 象限 内

图象在 一三象限

图象在 二四象限

o
y
b<0,图象在 一三四象限

x

o
y

x

y

y

Y随 x 的 增大 而增 每一大 象限 内

o
b<0,图象在 二三四象限

x
双曲线

o

x

o

x

一条直线

o

x

k>0

k<0

k>0

k<0

关系 图象

K同号时, 有两交点。 K异号时, 有两个、一个 或无交点

图象

性质
柱形储藏室轮船卸货 力学问题 电学问题

性质

一次函数

反比例函数 应用

最优方案

应用 解析式
形如y=kx+b (k.b为常数,k≠0) 当b=0时,是 正比例函数

一次函 数与反 比例函 数

解析式
实际问题,图象在第 一象限

k x (k为常数,k ? 0) 形如y ?

看 图 象 能 口 述 性质

y

y
抛物线与x轴的交点 一元二次方程的根

o

x

o

x

十字 相乘 法

万能 公式

化为 直接 开方

有两交点

Δ >0

图象
1.开口方向 2.顶点坐标 3.对称轴 4.增减性 5.极值 看 式 子 类 型 能 口 述 性质 ①

(x1,0)( x2,0 )

有两个不等根 X1, x2

提公 因式 法

应用 平方 根

公式 法 配方 法 直接 开平 方法

性质

有一交点 ( ,0)

Δ =0

b ? 2a

有两个等根 x1= x2 =

?

b 2a

② ③ ④ ⑤

y ? ax2 y ? ax2 ? k 2 y ? a? x ? h ? 2 y ? a? x ? h ? ? k y ? ax2 ? bx ? c
磁道问题 利 润问题 拱桥问题

无交 点

Δ <0

无实 根

解法 类型 关系
传播问题

行程问题

应用

二次函数

一元二次方程

应用
效率问题

与y轴交点位置 c>0.在正 半轴 c=0.在原点 c<0. 开口方向. a>0.向 在负半轴 上a<0.向下 对称轴在y轴的位
置 左同右异

解析

二次函数 与 一元二 次方程

面积问题

定义

y=ax2+bx+c (a.b.c为常数a≠0)

y ? a?x ? h ? ? k
2

y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ?

(a ? 0)

?a ? 0?

ax2+bx+c=0 (a≠0)

性质 余角.补角 等角的余角相等 等角的补角相等

和 为1800 相 等 定义 性质

角平分线 一“放”二“靠” 三“推”四“画”

叠合法 角的比较 度量法 角的比较与运算

对邻 顶补 角角

垂 直 画法
同位角相等

内错角相等 定义.表示

相交线 借助角研究平面内两条直 线的位置关系 判定

条件
同旁内角互补

度.分.秒互化 进位.计算

角的度量

平行公理.推论
尺规作角

关系

平行线
同位角相等

直线公理

直线

图形认识初步

相交线.平行线

性质

内错角相等

表示与画法 射线 寻找射线方法 表示与画法 线段 计算与比较 性质 立体图形 多姿多彩的图形 直线.射线.线段 同旁内角互补

图形认识初 步 相交线 平行线
命题
平面图形

分类

结构

辨认

展开图

确定有标记的相对图

点与直线位置关系

定 义 条件 定义
镶嵌

表 示 方 法

要 素

等 边 对 等 角

三 线 合 一

等 角 对 等 边

等 边 三 角 形

已知两边求第三 边 弦图 毕达哥拉 斯苏菲尔德

应用 证明

性质 概念
外角和

判定

特例
内容
定理

文字.符号图形

互逆命题
内角和

多边形 及其 内角和

勾股定理 等腰三角形
逆定理 证明 内容

文字.符号图形

定义

全等

直角三角形
内角和 知三边定形状

应用

有关的角
外角的性质

三角形

锐角三角函数

有关线段
高.中线.角平分线

三角 形
定义

解直角三角形

锐角三角函数

特殊值的运算

定义 计算
三边关系锐角关 系边角关系

应用
坡度 仰.俯角 方位角

正弦 余弦
符号.几何意义. 特殊角的值

正切

三边关系

基本 图形
作对称轴 作一点到两点距离相等 离相等(外心) 作等腰三角形 作一点到三点距

翻折后与

另一图形重 合

对称 轴
用 坐 标 表 示 轴 对 称

对称点 定义
到两点距离相等的 点

作:关于x轴、 y轴的对称点

特征 利用轴对称制作图案

要素

应用 判定

解决几何中的 极值问题

点到两点 的距离 相等

性质

垂直平分线

关于轴对称 轴对称变换

基本图形 旋转中心

一条直线

对称轴

轴对称图形


静 动

要 素

旋转方向 旋转角 对应点到旋转中心的距离相等

翻折后与 两部分 重合

定义

轴对称
基本图形 方向 距离 图形的旋转 特 征

旋转前.后的图形全等

对应点与旋转中心所连线段的夹角= 旋转角

要素

平移
前.后图形全等

旋转角=1800 中心对称图形

旋转1800后与 重合

其自身

特征
对应线段 平行且相等

图形的 全等变 换

旋转

中心对称

对称中心是对称点连线的中 点

关于中心对称

两图形全等



应用
图案设计
( x,y ) 平 移 (x±a,y±b) 后 关于原点对称 旋转1800后与 另一图形 重合

利用平移制作图 案
平移过程 对应点坐标 的变化规律

右加左减

上加下减

用平移.轴对称和旋转的组合设计图 案

用坐标表示 旋转

对称点的坐标符号 相反

对应点的坐标比为k或-k 到角两边距离相等的 点

两图形相似 于一点对应边平行 放大或缩小图形

对应顶点的连线交

外位似内位似 点到角两边 的距离相 等


用坐标表示 位似变换

适用于

直角三角形

判定 应用

应用

性质 特征
对应角相等, 周长的比=相似比 方 对应边成比例, 面积的比=相似比的平

HL

性质

适合判定 所有三角 形 全等

AAS ASA

角平分线

关系

位似变换 性质
两角对应 相等

条件
SAS

全等三角形

相似三角形
判定

两边成比例 且夹角相等

SSS
三边对应 成比例

性质 定义
对应边、角、周长 面积、中线、高线、 角平分线相等

平行

表示方法

全等 三角形 与 相似 三 角形
相似图形

相似多边形

A字型X字型

性质 比例线段
对应角相等, 周长的比=相似比 方 对应边成比例, 面积的比=相似比的平

两个三角形 用符号≌连接

完全重合 两个三角形

形状相同

a c ? b d

轴对称性

旋转 不变性

正方形

外心:是三边垂直平 分线的交 点. 到三顶点的距离相等 锐—形内;直—斜边上;钝—形 外

形状:取决于原四边形对 角线的 相等或垂 直

④ ① ②



垂 径 定 理

等 对 等 定 理

圆 周 角 定 理

内心:是三角平分线的交点. 到三边的距离相等在三角形内 圆 内 圆 上 圆 外

中点 形

四边

矩形

菱形
相交 点与圆 相切 直线与圆
切线长 定理 切线的 性质.判 定

基本性质

性质 对边平行且相等 判定 对角相等邻角互补性质 判定 性质 对角线 互相平 分

有关位置
③ 边 平行四边形 角
外 离 内 含 外 切 内 切



④ 圆与圆

相离

相 交

弧等 弦等

对角线
判定

四边形

圆 正多边形

等分圆周

圆心角等
有关计算: 中心.中心 角. 半径.边心距

性质 等腰 判定 直角
延 长 两 腰 平 移 两 腰

梯形

四 边 形 与 圆
平 移 对 角 线 利用腰中点 割补成-- 全等三角形、 平 行四边形

正多边形

辅助线

弧长.扇形

作 高 线

扇形s ?

n?r 弧长l ? 180

n?r 2 360 1 或 ? lr 2

圆锥的

侧面积、全 面积

反映数据向其中心值聚集的程 度

反映数据分布的离散程度

平均 数

中位 数

众数

极 差

方 差

事件发生可能性的 刻画
体验不确定现 像

样本与总体
如何描述数 据

直方图

集中趋势

离散程度

扇形图

频率估计法

分析
应用
条形图
简单列举法

描述

推断、预测

求法
列举法

列表法 (两步)

统计表

统计
整理

概率
树形图(两步以上)

收集

统计 与 概率

随机事件

定义

意义


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