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合肥一中自主招生2010年考试素质测试数学试卷(扫描答案)


2010 年综合素质测试试卷数学
一、选择题(本大题共有 5 个小题,每小题 8 分,共 40 分) 1.如图是一个切去了一个角的正方体纸盒,切面与棱的交点 A、B、C 均是棱的中点,现 将纸盒剪开展成平面,则展开图不可能的是( )
A C

B

(A)

(B)

(C)

(D)

2.若点 P(x,y)横坐标 x 与纵坐标 y 均为整数,则点 P 称为整点.在以(10,0)(0, 、 10)(-10,0)(0,-10)为顶点的正方形内(包括边)一共有整点的个数为( 、 、 ) (A)220 (B)221 (C)222 (D)223 3.将二次函数 y ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 的图象先向右平移一个单位,再沿 x 轴翻折到第一象限, 然后向右平移一个单位,再沿 y 轴翻折到第二象限??以此类推,如果把向右平移一个单 位再沿一条坐标轴翻折一次记作 1 次变换,那么二次函数 y ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 的图象经过 2010 次变换后,得到的图象的函数关系式为( (A) y ? 2( x ? 3) 2 ? 1 (B) y ? 2( x ? 2) 2 ? 1 (C) y ? ?2( x ? 2) 2 ? 1 (D) y ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 4.如图,B 是线段 AC 的中点,过点 C 的直线 l 与 AC 成 50°的角,在直线 l 上取一点 P, 使得∠APB=30°,则满足条件的点 P 的个数是( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)无数个 5.如图,记二次函数 y ? ? x ? 1 的图象与 x 轴的正半轴交
2



点为 A,将线段 OA 分成 n 等分.设分点分别为 P1,P2,?, Pn-1,过每个分点作 x 轴的垂线,分别与该图象交于点 Q1, Q2,?,Qn-1,再记直角三角形 OP1Q1,P1P2Q2,?的面积 分别为 S1, 2, 这样就有 S1 ? S ?,

n2 ?1 n2 ? 4 S , 2 ? , ?; 2n 3 2n 3


记 W=S1+S2+?+Sn-1,当 n 越来越大时,W 最接近的常数是( (A)

2 3

(B)

1 2

(C)

1 3

(D)

1 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分) 6.等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角的度数 等于_____________. 7.将水平相当的 A、B、C、D 四人随机平均分成甲、乙两组进行乒乓球单打比赛,每组 的胜者进入下一轮决赛.则 A、B 在下一轮决赛中相遇的概率是________. 8.如图,在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边 BC 上一 动点,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F,M 为 EF 的中点,则 AM 的 最小值为_________. 9.已知点 A、B 的坐标分别为(1,0) (2,0).若二次函数 ,

y ? x 2 ? (a ? 3) x ? 3 的图象与线段 AB 只有一个交点,则 a 的取
值范围是__________________. 三、解答题(本大题共 3 小题,共 70 分) 10. (20 分)已知,甲、乙两车分别从相距 300(km)的 M、N 两地同时相向而行,其中 甲到达 N 地后立即返回,图 1、图 2 分别是它们离各自出发地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数图象. (1)试求线段 AB 所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了

9 (h) ,求乙车的速度; 2

(3)在(2)的条件下,它们在行驶的过程中相遇的时间.

11. (20 分)提出问题:如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕(AB=BC,且 BC≠AC) , 在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分(要求分得的 蛋糕和巧克力质量都一样). 背景介绍:这条分割直线既平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条直 .. 线为三角形的“等分积周线”. 尝试解决: (1)小明很快就想到了一条分割直线,请你帮小明在图 1 中用尺规作图作出这条“等分 积周线” ,从而平分蛋糕.

(2)小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图 2 中过点 C 画了一条直线 CD 交 AB 于点 D.你觉得小华会成功吗?如能成功,说出确定的方法;如不能成功,请说明理由. (3)通过上面的实践,你一定有了更深刻的认识.请你解决下面的问题:在△ABC 中,若 AB=BC=5cm,AC=6cm,请你画出该三角形所有的“等分积周线”. (要求:1.画出示意图;2.简要说明确定的方法; 3.不需要尺规作图.)

12. (30 分)如图:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点 P 以一定的速度 沿 AC 边由 A 向 C 运动, Q 以 1cm/s 的速度沿 CB 边由 C 向 B 运动, P、 同时运动, 点 设 Q 且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t(s). (1)若点 P 以

3 cm/s 的速度运动, 4

①当 PQ∥AB 时,求 t 的值; ②在①的条件下,试判断以 PQ 为直径的圆与直线 AB 的位置关系,并说明理由. (2)若点 P 以 1cm/s 的速度运动,在整个运动过程中,以 PQ 为直径的圆能否与直线 AB 相切?若能,请求出运动时间 t;若不能,请说明理由.

利用立方和公式可得

(n ? 1)3 ? n3 ? (n ? 1)2 ? n2 ? n(n ? 1) = (n ? 1)2 ? 2n2 ? n
于是有 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? 1
3 3 2

2 33 ? 23 ? 32 ? 2 ? 2 ? 2

????

(n ? 1)3 ? n3 ? (n ? 1)2 ? 2n2 ? n
将上面各式左右两边分别相加,就会有

(n ? 1)3 ?1 ? (22 ? 32 ? ?? (n ? 1)2 ) ? 2(12 ? 22 ? ?? n2 ) ? (1 ? 2 ? ?? n)
设 S= 1 ? 2 ? ? ? n ,则
2 2 2

1 (n ? 1)3 ? 1 ? S ? (n ? 1) 2 ? 1 ? 2S ? n(n ? 1) 2 1 解得 S ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6


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