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苏州市2011届高三调研测试(数学)


苏州市 2011 届高三调研测试 数
1.复数 (1 + 2i ) 的共轭复数是
2



小题, 不需要写出解答过程, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案 填空题: 直接填在答题卡相应位置上。 直接填在答题卡相应位置上。 ▲ .

x2 y2 b 2.若双曲线 2 ? 2 = 1( a, b > 0 ) 的离心率为 2 ,则 = a b a
3.样本数据 11,8, 9,10, 7 的方差是 ▲ .



.

4.函数 f ( x ) = A sin (ω x + ? ) A > 0, ω > 0, ? ∈ [ 0, 2π ) 的图象如图所示,则 ? = ▲ . 5.已知集合 A = {2,5} ,在 A 中可重复的依次取出三个数

(

)

a, b, c ,则“以 a, b, c 为边恰好构成三角形”的概率是



.

6 . 设 E , F 分 别 是 Rt ABC 的 斜 边 BC 上 的 两 个 三 等 分 点 ,已 知 AB = 3, AC = 6 , 则

uuu uuur r AE ? AF =



.

7.设 α , β 为两个不重合的平面, m, n 为两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ⊥ n, m ⊥ α , n ? α 则 n ∥ α ; ②若 α ⊥ β , α ∩ β = m, n ? α , n ⊥ m, 则 n ⊥ β ; ③若 m ⊥ n, m ∥ α , n ∥ β ,则 α ⊥ β ; ④若 n ? α , m ? β , α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直. 其中,所有真命题的序号是 8.已知 tan α = 则 α + 2β = ▲ .

1 1 , tan β = ,且 α , β ∈ ( 0, π ) , 7 3
▲ . ▲ .

9.右图是一个算法的流程图,最后输出的 S =

10.已知圆 x 2 + y 2 = m 与圆 x 2 + y 2 + 6 x ? 8 y ? 11 = 0 相交, 则实数 m 的取值范围为 ▲ .

1

11.某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径 40mm , 满盘时直径 120mm ,已知卫生纸的厚度为 0.1mm , 则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲

m ( π 取 3.14 ,精确到 1m ).

12.已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 =

5an ? 13 ( n ∈ N * ) ,则数列 3an ? 7

{an } 的前 100 项的和为



.

13.已知 △ ABC 的三边长 a, b, c 满足 b + 2c ≤ 3a, c + 2a ≤ 3b , 则

b 的取值范围为 ▲ a

.

14.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是第一象限内曲线 y = ? x 3 + 1 上的一个动点,点 P 处 的切线与两个坐标轴交于 A, B 两点,则 △ AOB 的面积的最小值为 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分. 解答题:本大题共六小题, 15.(本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中,已知角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 ( a + b + c )( b + c ? a ) = 3bc . ⑴求 A ; ⑵若 B ? C = 90°, c = 4 ,求 b .(结果用根式表示) ▲ .

16. (本小题满分 14 分) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB = A1 A ,

D 为 C1C 的中点, O 为 A1 B 与 AB1 的交点.
⑴求证: AB1 ⊥ 平面 A1 BD ; ⑵若点 E 为 AO 的中点,求证: EC ∥平面 A1 BD .

17. (本小题满分 14 分) 有一隧道既是交通拥挤地段,又是事故多发地段.为了保证安全,交通部门规定,隧道内的 车距 d ( m ) 正比于车速 v ( km / h ) 的平方与车身长 l ( m ) 的积, 且车距不得小于一个车身长 l (假设所有车身长均为 l ).而当车速为 60 ( km / h ) 时,车距为 1.44 个车身长.

2

⑴求通过隧道的最低车速; ⑵在交通繁忙时,应规定怎样的车速,可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量 Q 最多? 18. (本小题满分 16 分)

如图,椭圆

x2 y 2 + = 1 的左焦点为 F ,上顶点为 A , 4 3

过点 A 作直线 AF 的垂线分别交椭圆、 x 轴于 B, C 两点. ⑴若 AB = λ BC ,求实数 λ 的值; ⑵设点 P 为 △ ACF 的外接圆上的任意一点, 当 △ PAB 的面积最大时,求点 P 的坐标. 19. (本小题满分 16 分) 设数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,已知

uuu r

uuu r

1 1 1 n + + ??? + = (n ∈ N* ) . S1 S 2 Sn n + 1

⑴求 S1 , S2 及 Sn ; ⑵设 bn = ?
n n 16 ? ?1? ?1 , 若对一切 n ∈ N * 均有 ∑ bk ∈ ? , m2 ? 6m + ? , 求实数 m 的取值范围. ? 3? ?2? ?m k =1

a

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x ) = ln x ?

kx ? a ? ln a ( x > 0, a > 0且a为常数 ) . ax

⑴当 k = 1 时,判断函数 f ( x ) 的单调性,并加以证明; ⑵当 k = 0 时,求证: f ( x ) > 0 对一切 x > 0 恒成立; ⑶若 k < 0 ,且 k 为常数,求证: f ( x ) 的极小值是一个与 a 无关的常数.

加试题卷
21.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到定点 F (1, 0 ) 的距离与定直线 l : x = ?1 的距离相等. ⑴求动点 P 的轨迹 E 的方程; ⑵过点 F 作倾斜角为 45° 的直线 m 交轨迹 E 于点 A, B ,求 △ AOB 的面积. 22. (本小题满分 10 分)

3

一个口袋装有 5 个红球,3 个白球,这些球除颜色外完全相同,某人一次从中摸出 3 个球, 其中白球的个数为 X . ⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率; ⑵求 X 的分布列及 X 的数学期望. 23. (本小题满分 10 分) 如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 E = CF = 1 . ⑴求两条异面直线 AC1 与 D1 E 所成角的余弦值; ⑵求直线 AC1 与平面 BED1 F 所成角的正弦值. 24. (本小题满分 10 分) 设 f (n) = n
n +1

, g ( n ) = ( n + 1) , n ∈ N .
n *

⑴当 n = 1, 2, 3, 4 时,比较 f ( n ) 与 g ( n ) 的大小. ⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论,并加以证明. 解答部分】 【解答部分】 1. ?3 ? 4i 【解析】 (1 + 2i ) = 1 + 4i ? 4 = ?3 + 4i.
2

2.

c b2 b2 b 3 【解析】 = 1 + 2 = 2, 2 = 3, = 3. a a a a
2

3. 2 【解析】 s

(11 ? 9 ) + (8 ? 9 ) + ( 9 ? 9 ) + (10 ? 9 ) + ( 7 ? 9 ) =
2 2 2 2

2

5

= 2.

4.

π
4

【解析】 T = 2 ( 7 ? 3) = 8, ω =

2π π ?π ? = , A = 3 , f ( x ) = 3sin ? x + ? ? , 8 4 ?4 ?

π ? π ? f ( ?1) = 3sin ? ? + ? ? = 0 , ? = . 4 ? 4 ?
5.

5 3 【解析】 A 中可重复的依次取出三个数 a, b, c ” “在 的基本事件总数为 2 = 8 , “以 事件 8 3 5 a, b, c 为边不能构成三角形”分别为 ( 2, 2,5 ) , ( 2,5, 2 ) , ( 5, 2, 2 ) , 所以 P = 1 ? = . 8 8 uuu uuur uuu uuu uuur uuu r r r r 6. 10 【解析】 AE ? AF = AB + BE ? AC + CF

(

)(

)

r r r ? uuu 1 uuu ? ? uuur 1 uuu ? = ? AB + BC ? ? ? AC ? BC ? 3 3 ? ? ? ? uuu uuur 1 uuu 2 1 uuu uuur uuu r r r r = AB ? AC ? BC + BC ? AC ? AB 9 3 uuu 2 2 2 2 r 2 = BC = ( 6 + 3 ) = 10. 3 9

A

(

)
B
4

E

F

C

7. ①②【解析】③错误,α , β 相交或平行;④错误, n 与 m 可以垂直,不妨令 n = α I β , 则在 β 内存在 m ⊥ n.

1 1 + π 7 3 = 1 < 3 , α + β < π . tan β = 1 < 3 , β < π . 8. 【解析】 tan (α + β ) = 1 1 2 3 4 6 3 3 6 1? × 7 3 1 1 + π π tan (α + 2 β ) = 2 3 = 1, α + 2 β < , α + 2 β = . 1 1 3 4 1? × 2 3
9. 25 【解析】 ..., a = 5, P = 25 > 24, S = 25; a = 6, P = 24 < 25, 输出的 S = 25. 10. 1 < m < 121【解析】由 C2 : x + y + 6 x ? 8 y ? 11 = 0 得该圆圆心坐标为 ( ?3, 4 ) ,半径
2 2

为 6 ,圆 C1 : x + y = m 的圆心坐标在圆 C2 内,因此两圆相切的可能性只有两种:圆 C1 内
2 2

切 于 圆 C2 此 时 5 = 6 ? m , m = 1; 圆 C2 内 切 于 圆 C1 , 此 时 5 =

m ? 6, m = 121. 所 以

1 < m < 121 .
11. 100 【解析】

π × 120 + π × 40

2 所以 32000π mm = 32π m ≈ 100m.
12. 200 【解析】 a1 = 2, an +1 = 由

120 ? 40 2 × = 32000π ( mm ) , 0.1

5an ? 13 ( n ∈ N * ) 得 a2 = 5 × 2 ? 13 = 3, a3 = 53× 3 ? 13 = 1, 3an ? 7 3× 2 ? 7 ×3? 7

a4 =
13. ?

5 ×1 ? 13 = 2, 则 {an } 是周期数列, S100 = ( 2 + 3 + 1) × 33 + 2 = 200. 3 ×1 ? 7

? 3 5? , ? 【解析】 ? 4 3?

?b + 2c ≤ 3a ?c + 2a ≤ 3b ? ? a+b > c 通过 ? 求得可行域如图 ? a+c <b ? b+c > a ? ?a > 0, b > 0 b b?0 3 b 5 因此 = 可以看作是点 ( a, b ) 到原点连线的斜率, < < 。 a a?0 4 a 3

5

33 2 2 3 14. 【 解 析 】 设 切 点 为 ( x0 , ? x0 + 1) , 则 切 线 的 斜 率 k = ?3 x0 , 切 线 方 程 为 4

? 2 x3 + 1 ? 2 x3 + 1 1 2 3 3 3 y = ?3 x0 x + 2 x0 + 1 , A ? 0 2 , 0 ? , B ( 0, 2 x0 + 1) ,所以 S ?AOB = ? ( 2 x0 + 1) ? 0 2 2 3 x0 ? 3x0 ?
1 ? 2 x3 + 1 ? 1 ? 2 1 1 ? 1 ? 3 1 ? 33 2 = ?? 0 + . ? = ? = ? 2 x0 + ? ≥ ??3 ? 6 ? x0 ? 6 ? 2 x0 2 x0 ? 6 ? 2 ? 4 ?
15.【解析】 (1)由条件,得 ( b + c ) ? a = bc .
2 2 2 2 2

所以 cos A =

b2 + c2 ? a2 1 = . 2bc 2
°

因为 A 是三角形内角,所以 A = 60 .

? B + C = 120° (2)由 ? 得 B = 105° , C = 15°. ° ? B ? C = 90
由正弦定理得

b 4 4 = ,b = × sin105° = 4 tan 75°. ° ° ° sin105 sin15 sin15

因为 tan 75 = tan 45 + 30 所以 b = 8 + 4 3.

°

(

°

°

)=

1 + tan 30° = 2 + 3. 1 ? tan 30°

16.【解析】证明: (1)连结 DA, DB1 , DO 因为 AB = A1 A , D 为 CC1 的中点,

而 DB1 = DC12 + C1 B12 , DA = DC 2 + CA2 ,
所以 DB1 = DA . 又因为 O 是正方形 A1 ABB1 对角线的交点, 所以 DO ⊥ AB1. 又因为 A1 B ⊥ AB1 , A1 B I DO, 所以 AB1 ⊥ 平面 A1 BD . (2)取 A1O 的中点 F ,

6

在 ?A1OA 中,因为 E 是 OA 的中点, 所以 EF

AA1 ,且 EF =

1 AA1. 2 AA1 ,且 CD =
DF .

又因为 D 是 C1C 的中点,所以 CD

1 AA1. 2

所以四边形 CDFE 是平行四边形,所以 CE

又因为 DF ? 平面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , 所以 EC ∥平面 A1 BD . 17.【解析】 (1)依题意,设 d = kv l ,其中 k 是待定系数,
2

因为当 v = 60 时, d = 1.44l 所以 1.44l = k × 60 l , k = 0.0004 ,
2

所以 d = 0.0004v l.
2

因为 d ≥ l ,所以 0.0004v l ≥ l , v ≥ 50.
2

所以最低车速为 50km / h. (2)因为两车间距为 d ,则两辆车头间的距离为 l + d . 一小时内通过汽车的数量为 Q =

1000v 1000 = , 2 l + 0.0004v l ?1 ? l ? + 0.0004v ? ?v ?

因为

1 1 25000 + 0.0004v ≥ 2 × 0.0004v = 0.04, 所以 Q ≤ . v v l
1 = 0.0004v 即 v = 50km / h 时,单位时段内通过的汽车数量最多. v

所以当

18.【解析】 (1)由条件得 F ( ?1, 0 ) , A 0, 3 , k AF = 3. 因为 AB ⊥ AF , 所以 k AB = ?

(

)

3 3 , AB : y = ? x + 3. 3 3

令 y = 0, 得 x = 3, 所以点 C 的坐标为 ( 3, 0 ) .

? 3 x+ 3 ?y = ? 24 ? 3 由? 得 13 x 2 ? 24 x = 0, 解得 x1 = 0 (舍) x2 = . 2 2 13 ? x + y =1 ? 4 3 ?

7

所以点 B 的坐标为 ?

? 24 5 3 ? ? 13 , 13 ? . ? ? ?

uuu r 24 AB uuu r uuu r 8 因为 AB = λ BC ,所以 λ > 0, 且 λ = uuu = 13 = . r BC 3 ? 24 5 13 (2)因为 △ ACF 是直角三角形,
所以 △ ACF 的外接圆的圆心为 D (1, 0 ) ,半径为 2. 所以圆 D 的方程为 ( x ? 1) + y = 4 .
2 2

因为 AB 为定值,所以当 △ PAB 的面积最大时点 P 到直线 AC 的距离最大. 过 D 作直线 AC 的垂线 m ,则点 P 为直线 m 与圆 D 的交点 . 直线 m : y =

3 ( x ? 1) 与 ( x ? 1) + y 2 = 4 联立得 x = 2 (舍)或 x = 0,
2

所以点 P 的坐标为 0, 3 . 19.【解析】依题意, n = 1 时, S1 = 2 ; n = 2 时, S 2 = 6 .

(

)

因为

1 1 1 n + + ??? + = (n ∈ N* ) , S1 S 2 Sn n + 1 1 1 1 n ?1 + + ??? + = , S1 S 2 S n ?1 n

n≥2时

所以

1 n n ?1 = ? , S n = n ( n + 1) . Sn n + 1 n

上式对 n = 1 也成立,所以 S n = n ( n + 1) n ∈ N * . (2)当 n = 1 时, a1 = 2 ,当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = 2n ,所以 an = 2n n ∈ N * .

(

)

(

)

1? 1 ?1 ? n b 1 4 4 ?1? bn = ? ? , n = ,数列 {bn } 是等比数列,则 ∑ bk = ? 1 bn ?1 4 ?4? k =1 1? 4
n

n

? ? ? = 1 ?1 ? 1 ? 3 ? 4n

? ?。 ?

因为 ? 1 ?

1? 3?

1 4n

1 n 1 ? 随 n 的增大而增大,所以 ≤ ∑ bk < , ? 4 k =1 3 ?

8

1 1 ? < ? ?m < 0或m > 4 ? m 4 由? 得? ,所以 m < 0 或 m ≥ 5. ?m 2 ? 6m + 16 ≥ 1 ? m ≤ 1或m ≥ 5 ? 3 3 ?
1 1 ? x?a 1 2 ? ln a = ln x ? ? x + a ? x 2 ? ln a , 20.【解析】(1)当 k = 1 时, f ( x ) = ln x ? ax a

f ' ( x) =

1 1 ? ?x x 2 a

?

1 2

?

a ?x 2

?

3 2

( =?
1 2

x? a

)

2

2 ax ? x

≤ 0,

所以函数 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上是单调减函数. (2) 当 k = 0 时, f ( x ) = ln x + a ? x 令f
'
?

? ln a , f ' ( x ) =

1 a 2 x? a ? = . x 2x x 2x x

( x) = 0 得 x =

a . 4

当0 < x < 当x>

a ' 时, f ( x ) < 0 , f ( x ) 是单调减函数; 4

a ' 时, f ( x ) > 0 , f ( x ) 是单调增函数; 4 a 时, f ( x ) 有最小值 4

所以当 x =

?a? f ? ? = 2 ? ln 2 > 2 ? ln e = 1 > 0 , ?4?

即 f ( x ) > 0 对一切 x > 0 恒成立.
1 1 ? k ?kx + 2 ax ? a 2 (3) f ( x ) = ln x ? ? x + a ? x 2 ? ln a ,所以 f ' ( x ) = ? 。 a 2 ax ? x

令f

'

( x0 ) = 0 ,得 kx0 ? 2

ax0 + a = 0 ,

x0 =

a a a 1 + 1 ? k (舍)或 x0 = 1 ? 1 ? k ,所以 x0 = k k 1+ 1? k

(

)

(

)

(

)

2

.

当 0 < x < x0 时, f 当 x > x0 时, f
'

'

( x ) < 0 , f ( x ) 是单调减函数;

( x ) > 0 , f ( x ) 是单调增函数。
x0 x a ?k 0 + , a a x0

当 x = x0 时, f ( x ) 有极小值 f ( x0 ) = ln

9



x0 1 = a 1+ 1? k

(

)

2

是与 a 无关的常数,

所以 f ( x0 ) = ln

x0 x a ?k 0 + 是与 a 无关的常数, a a x0

即 f ( x ) 的极小值是一个与 a 无关的常数. 21.【解析】 (1)设 P ( x, y ) ,由抛物线定义知,点 P 的轨迹 E 为抛物线,方程为 y = 4 x.
2

( 2 ) l : y = x ? 1 , 代 入 y = 4 x, 消 去 x 得 y ? 4 y ? 4 = 0 . 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则
2 2

1 1 y2 ? y1 = 4 2, 所以 S ?AOB = × OF × y2 ? y1 = × 1× 4 2 = 2 2. 2 2 22.【解析】 (1)记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件 A ,依题意知
1 1 C5C32 + C52C3 45 P ( A) = = . C83 56

所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为 (2) P ( X = 0 ) =

45 . 56

C50C33 1 C 1C 2 15 = , P ( X = 1) = 5 3 3 = , 56 56 C83 C8

P ( X = 2) =

1 C52C3 30 C 3C 0 10 = , P ( X = 3) = 5 3 3 = , 56 56 C83 C8

所以 X 的分布列为

X P

0 1 56

1 15 56

2 30 56

3 10 56

所以 X 的数学期望 E ( X ) = 0 ×

1 15 30 10 15 + 1× + 2 × + 3 × = . 56 56 56 56 8

23.【解析】 (1)以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz , 如图所示,则 A ( 3, 0, 0 ) , C1 ( 0,3, 3) , AC1 = ( ?3, 3,3) ,

uuuu r

uuuu r D1 ( 0, 0, 3) , E ( 3, 0, 2 ) , D1 E = ( 3, 0, ?1) . uuuu uuuu r r uuuu uuuu r r AC1 ? D1 E ?9 ? 3 2 30 所以 cos < AC1 , D1 E >= uuuu uuuu = =? , r r 15 AC1 D1 E 3 3 × 10
即两条异面直线 AC1 与 D1 E 所成角的余弦值为 ?
10

2 30 . 15

(2) B ( 3, 3, 0 ) , BE = ( 0, ?3, 2 ) , D1 E = ( 3, 0, ?1) . 设平面 BED1 F 的一个法向量为 n = ( x, y, z ) ,

uuu r

uuuu r r

r uuuu r ?n ? D1 E = 0 ? 3 x ? z = 0 ? 由 ? r uuu 得? , r ? n ? BE = 0 ??3 y + 2 z = 0 ?
所以 ?

r r ? y = 2x ,则 n = ( x, 2 x, 3 x ) , 不妨取 n = (1, 2,3) , ? z = 3x

设直线 AC1 与平面 BED1 F 所成角为 α ,则

uuuu r r ?3 + 6 + 9 2 42 = sin α = cos < AC1 , n > = . 21 3 3 × 14
所以直线 AC1 与平面 BED1 F 所成角为

2 42 . 21

24.【解析】 (1) f (1) < g (1) , f ( 2 ) < g ( 2 ) , f ( 3) > g ( 3) , f ( 4 ) > g ( 4 ) . (2)猜想:当 n ≥ 3, n ∈ N * 时,有 n 证明:①当 n = 3 时,猜想成立. ②假设当 n = k k ≥ 3, k ∈ N * 时猜想成立,即 k 因为 ( k + 1) > k ( k + 2 ) ,
2 n +1

> ( n + 1) .
n

(

)

k +1

> ( k + 1) ,
k

k k +1

( k + 1)

k

> 1.

k +1 k > , k + 2 k +1
2

( k + 1) = ? k + 1 ?k ? ( k + 1) 所以 ? ? k +1 k +2 ?k +2? ( k + 2)
k +2

k k +1 ? k ? >? ?k = > 1. ? k ? k +1 ? ( k + 1)
k n +1

由①②知,对一切 n ≥ 3, n ∈ N * 时, n 【巩固部分】

> ( n + 1) 都成立.
n

1-4 已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + φ ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7π ? ?= ? 12 ?



11

【解析】由图象知最小正周期 T =

2 5π π 2π 2π π ( ? )= = ,故 ω = 3 ,又 x = 时, 3 4 4 3 ω 4

f ( x ) = 0 ,即 2 sin(3 ×
【答案】 0 .

π
4

+ ? ) = 0 ,可得 φ =

π
4

,所以, f ?

? 7π ? 12

7π π ? + ) = 0。 ? = 2 sin(3 × 12 4 ?

2-5 连掷两次骰子分别得到点数 m , n ,向量 a = ( m , n ),b = ( ? 1, 1) ,若 ?ABC 中

uu r

uu r

r uuur uu r uuur uu AB 与 a 同向, CB 与 b 反向,则 ∠ABC 是钝角的概率是 . uu r uu r 【 解 析 】 则 ∠ABC 是 钝 角 , 即 向 量 a = (m , n ),b = ( ? 1, 1) 夹 角 为 锐 角 , ∴ n ? m > 0, m < n ,所以包含 15 个基本事件,又共有 36 个基本事件,所以 ∠ABC 是钝
角的概率是
5 12

【答案】

5 。 12


3-6 等边三角形 ABC 中, P 在线段 AB 上, AP = λ AB ,若 CP ? AB = PA ? PB ,则实数 λ 的值是 【解析】设三角形的边长为 1,则 AP= λ , BP = 1 ? λ 。

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

uuu uuu r r

uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu uuu r r r r CP ? AB = PA ? PB ? CA + AP ) ? AB = PA PB cos π ? CA ? AB + AP ? AB = ?λ (1 ? λ ) (

uuu 2 r 1 2± 2 。 ? 1 ?1 cos1200 + λ AB = ?λ (1 ? λ ) ? λ 2 ? 2λ + = 0 ? λ = 2 2
又 0 < λ < 1 ,∴ λ =

2? 2 。 2

【答案】

2? 2 . 2 5 10 , sin β = ,且 α , β 为锐角, α + β = _____ . 5 10 2 5 3 10 2 5 3 10 5 10 2 ,cos β = ,cos(α + β ) = × ? × = , 5 10 5 10 5 10 2

4-8 已知 sin α =

【解析】cos α =

α +β =
【答案】

π π
4

.这里如果通过 sin(α + β ) ,就会出现 α + β = 。

π


4

3π ,需进一步确定结果。 4

4
5-14 曲线 y = e x 在点 (2,e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .

12

【解析】切线的斜率 k = y

'

x=2

= e 2 ∴ 切线的方程为 y ? e 2 = e 2 ( x ? 2) 令 x = 0 ,则

y = ?e 2 ; y = 0 ,x = 1 .即切线与两坐标轴的交点分别是 (1, 0), (0, ? e 2 ) ∴ 曲线 y = e x
在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
2

1 e2 ×1× e 2 = . 2 2

【答案】

e2 . 2
o

6-16 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ACB = 90 , AA1 = BC = 2 AC = 2 ,D 为 AA1 ∠ 中点. (Ⅰ)求证: CD ⊥ B1C1 ; (Ⅱ)求证:平面 B1CD ⊥ 平面 B1C1 D ; (Ⅲ)求三棱锥 C1 ? B1CD 的体积. 【解析】 (Ⅰ)∵ ∠A1C1 B1 = ∠ACB = 90
o

C1 A1

B1

D C A B

∴ B1C1 ⊥ A1C1 又由直三棱柱性质知 B1C1 ⊥ CC1 ∴ B1C1 ⊥ 平面 ACC1 A1 又 CD ? 平面 ACC1 A1 ∴ B1C1 ⊥ CD .

(Ⅱ)由 AA1 = BC = 2 AC = 2 , D 为 AA1 中点,可知 DC = DC1 = ∴ DC + DC1 = CC1 = 4 即 CD ⊥ DC1 .
2 2 2

2,

又 B1C1 ⊥ CD

∴ CD ⊥ 平面 B1C1 D

又 CD ? 平面 B1CD ,故平面 B1CD ⊥ 平面 B1C1 D . (Ⅲ)解: VC1 ? DCB1 = VB1 ? DCC1 =

1 1 1 2 ? S ?DCC1 ? B1C1 = × × 2 × 1× 2 = . 3 3 2 3

7-19 设 Sn 为数列 an } 的前 n 项和,对任意的 n ∈ N * ,都有 S n = ( m + 1) ? man ( m 为常数, 且 m > 0) . (1)求证:数列 an } 是等比数列; (2) 设数列 an } 的公比 q = f (m ) , 数列 {bn } 满足 b1 = 2a1 , bn = f ( bn ?1 ) (n ≥ 2 , ∈ N * ) , n 求数列 {bn } 的通项公式;

{

{

{

13

(3)在满足(2)的条件下,求数列 ?

? 2n +1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

【解析】 (1)当 n = 1 时, a1 = S1 = ( m + 1) ? ma1 ,解得 a1 = 1 . 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = man ?1 ? man .即 (1 + m ) an = man ?1 . ∵ m 为常数,且 m > 0 ,∴

an m = ( n ≥ 2) . an ?1 1 + m

m 的等比数列. 1+ m m , b1 = 2a1 = 2 . (2)由(1)得, q = f (m ) = 1+ m
∴数列 an } 是首项为 1,公比为 ∵ bn = f ( bn ?1 ) =

{

bn ?1 , 1 + bn ?1



1 1 1 1 = + 1 ,即 ? = 1 ( n ≥ 2) . bn bn ?1 bn bn ?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2 ? bn ?
1 1 2n ? 1 2 * = + ( n ? 1) ?1 = ,即 bn = (n∈N ) . bn 2 2 2n ? 1



2 2n +1 (3)解:由(2)知 bn = ,则 = 2n ( 2n ? 1) . 解 2n ? 1 bn
所以 Tn =
1

2 2 23 2 4 2n 2 n +1 + + +L + + , b1 b2 b3 bn ?1 bn
2 3

即 Tn = 2 × 1 + 2 × 3 + 2 × 5 + L + 2
2 3 4

n ?1

× ( 2n ? 3) + 2n × ( 2n ? 1) ,
n +1



则 2Tn = 2 × 1 + 2 × 3 + 2 × 5 + L + 2 × ( 2n ? 3) + 2
n

× ( 2n ? 1) ,



②-①得 Tn = 2 故 Tn = 2
n +1

n +1

× ( 2n ? 1) ? 2 ? 23 ? 24 ? L ? 2n +1 ,
23 (1 ? 2n ?1 ) 1? 2
= 2n +1 × ( 2n ? 3) + 6 .

× ( 2n ? 1) ? 2 ?

8-20 已知函数 f ( x ) = x 3 ? 3 | x ? a | + λ ? sin(π ? x) ,其中 a, λ ∈ R 。 (1)当 a = 0 时,求 f (1) 的值并判断函数 f (x ) 的奇偶性;
14

(2)当 a = 0 时,若函数 y = f (x ) 的图像在 x = 1 处的切线经过坐标原点,求 λ 的值; (3)当 λ = 0 时,求函数 f (x ) 在 [0,2] 上的最小值。 【解析】 (1) a = 0 时 f ( x) = x ? 3 | x | + λ ? sin(π ? x)
3

f (?1) = ?4 , f (1) = ?2 ,

所以 f ( ?1) ≠ f (1), f ( ?1) ≠ ? f (1) ,所以 f (x) 时非奇非偶函数.
3 2 (2) x > 0 时, f ( x) = x ? 3 x + λ sin(πx) ,所以 f ′( x) = 3 x ? 3 + λπ cos(πx) , 所以在

x = 1 处的切线方程为 y + 2 = ?λπ ( x ? 1) ,因为过原点,所以 λ =

2

π

.

(3) (ⅰ)当 a ≤ 0 时, x ∈ [0,2] 上 f ( x) = x 3 ? 3 x + 3a , f ′( x) = 3 x 2 ? 3 , 所以 f ( x) 在 [0,1] 内单调递减, [1,2] 递增,所以 y min = f (1) = 3a ? 2 .
3 2 (ⅱ) 当 a ≥ 2 时, x ∈ [0,2] 上 f ( x) = x + 3 x ? 3a , f ′( x) = 3 x + 3 > 0 ,所以 f ( x) 单

调递增, y min = f (0) = ?3a . (ⅲ)当 0 < a < 2 时, f ( x ) = ?

? 3 ? x + 3 x ? 3a (0 ≤ x ≤ a ) , ? 3 ? x ? 3 x + 3a (a ≤ x ≤ 2)

当 0 ≤ x ≤ a 时, f ′( x ) = 3 x 2 + 3 > 0 ,所以 f (x ) 单调递增, y min = f (0) = ?3a , 当 a ≤ x ≤ 2 时,因 f ′( x ) = 3 x 2 ? 3 ,所以 f (x ) 在 [0,1] 上单调递减,在 [1,2] 上递增, 所以若 0 < a ≤ 1 ,则 y min = f (1) = 3a ? 2 ,当 1 < a < 2 时 y min = f ( a ) = a 3 而 0 < a ≤ 1 时 3a ? 2 ? ( ?3a ) = 6a ? 2 ,所以, x ∈ [0,2] 时,

y min

1 ? ? f (0) = ?3a, 3 < a ≤ 1 ? , =? ? f (1) = 3a ? 2,0 < a ≤ 1 ? 3 ?
3

同样 1 < a < 2 ,因 a > ?3a ,所以 y min = f (0) = ?3a , 综上: a ≤

1 1 时, y min = f (1) = 3a ? 2 a > 时, y min = f (0) = ?3a . 3 3

15

16


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