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均值不等式的推广与柯西不等式


均值不等式的推广与柯西不等式
一、1、均值不等式:设 a1 , a2 , a3 ,
an 是 n 个正实数,记 Qn ?

a12 ? a2 2 ? n

an 2



An ?

a1 ? a2 ? n

? an



Gn ? n a1a2

an , H n ?

n 1 1 ? ? a1 a2 1 ? an

,则 Qn ? An ? Gn ? H n ,其中等号成立的

条件是 a1 ? a2 ? 调和平均。

? an 。 Qn , An , Gn , H n 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、

比如:1、 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? abc ? 时,“=”号成立;

a 3 ? b3 ? c 3 当且仅当 a = b = c (a、b、c ? R ? ), 3
a?b?c? ? ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 3 ? ?
3

2、 a ? b ? c ? 33 abc ? abc ? ? ? 时,“=”号成立. 例 1、设 a>b>0,则 a2+

1 1 ? 的最小值是________. ab a(a ? b)

例 2、 a, b, c ? R ? , 且a ? b ? c ? 1.求证:( 1 ) (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8abc;

1 1 1 1 (2) ? ? ? 9; (3)a 2 ? b 2 ? c 2 ? a b c 3

1

例 3、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 w ? 3x ? 2 y的最大值

2、绝对值三角不等式

a ? b ? a ?b ? a ? b

二、柯西不等式: 柯 西 不 等 式 的 二 维 形 式 : 若 a, b, c, d 都 是 实 数 , 则

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd ) ,当且仅当 ad ? bc 时,等号成立。
柯西不等式的一般形式:设 a1 , a2 , a3 ,...,an , b1 , b2 , b3 ,...,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ... ? an ).(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ) 2 , 当 且 仅 当

bi ? 0
(i ? 1,2,...,n) 或存在一个数 k ,使得 ai ? kbi (i ? 1,2,...,n) 时,等号成立。

柯西不等式的几个推论: (1)当

b1 ? b2 ?

bn ? 1




2



西











2 n(a12 ? a ? 22 an ? ) a? a ( ? 1 an

, 若 )2 ai ? R ? ( i ? 1, 2,

n ), 则

a12 ? a22 ? n

an 2

?

a1 ? a2 ? n

? an

,此即上面提到的平方平均 ? 算术平均。

2

(2)当 bi ? 当

1 ( i ? 1, 2, ai

n )时,有 (a12 ? a2 2 ?

an 2 )(
n

1 1 ? 2? 2 a1 a2

1 ) ? n2 。 an 2

ai , bi ? R?



i ? 1, 2,







? a1 a2 ? ? ? ? b1 b2

an ? ? ? b1 ? b2 ? bn ?

? bn ? ? ( a1 ? a2 ?

an )2 。

例 1.证明柯西不等式

例 2.证明:对任意实数 a>1,b>1, 有

a2 b2 ? ?8 . b ?1 a ?1

3

例 3.设 a>b>0 ,那么 a 2 ?

1 的最小值是_____ b( a ? b)

例 4. a、b 为正的常数, 0 ? x ? 1 , f ( x ) ?

a b ? ,求 f ( x) 的最小值. x 1? x

例 5. ( 2002 交 大 ) 若 a , b 满 足 关 系 : a 1 ? b2 ? b 1 ? a2 ? 1 , 则
a 2 ? b2 ?



4

巩固练习: 1、 (2005 交大)方程 x 2 ? px ? ( p?R)
1 ? 0 的两根 x1 , x2 满足 x14 ? x24 ? 2 ? 2 ,则 p ? 2 p2

? 0且 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 , 则 2、 ( 2002 交 大 ) 若 x, y, z
为 。

1 1 1 ? 2? 2的 最 小 值 2 x y z

5


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