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高中数学第一章解三角形1.3正弦定理余弦定理的应用二课件苏教版必修5


第1章 解三角形 §1.3 正弦定理、余弦定理的应 用(二) 学习目标 1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达 的物体 的高度测量问题. 2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题. 3.进一步培养学习数学、应用数学的意识. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 测量仰角(或俯角)求高度问题 思考 如图,AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,如果能测出点C,D间的距离m和由C点,D 点观察A的仰角,怎样求建筑物的高度AB(已知测角仪 器的高是h)? 答案 梳理 上h. 问题的本质用α、β、m表示AE的长,所得结果再加 知识点二 测量方向角求高度问题 思考 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 15°的方向 上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的 方向上,仰角为8°,怎样求此山的高度CD? 答案 梳理 问题本质是:如图,已知三棱锥 D-ABC,DC⊥平 面ABC,AB=m,用α、β、m、γ表示DC的长. 题型探究 类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题 命题角度1 仰角问题 例1 如图所示,D,C,B在地平面同一直 线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的 仰角分别为30°和45°,求A点离地面的高 AB. 解答 引申探究 如图所示,在坡度一定的山坡A处测 得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于 山坡的坡度为15°,向山顶前进100 m 到达 B 处,又测得 C 对于山坡的斜 度为45°,若CD=50 m,山坡对于 地平面的坡度为θ,求cos θ. 解答 命题角度2 俯角问题 例2 在200 m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角 分别是 30°、60°,则塔高为 400 3 m. 答案 解析 如图,在△ABC中, 200 3 BC=ABtan∠BAC=200×tan 30°= 3 (m), 200 3 3 200 AE=BC,则 DE=AEtan 30° = 3 × 3 = 3 (m), 200 400 所以塔高 CD=200- 3 = 3 (m). 反思与感 悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时,要对所给的实 际背景进行加工、提炼,抓住本质,抽象出数学模型, 使之转化为解三角形问题. 跟踪训练1 江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮 台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距 答案 解析 30 m. 设两条船所在位置分别为A、B两点,炮台底部所在位置为C点, 30 在△ABC 中,由题意可知 AC=tan 30° =30 3(m), 30 BC=tan 45° =30(m),C=30° , AB =AB (30= 3) + 30 -2×30 3×30×cos 30° =900, 所以 30 m. 2 2 2 类型二 测量方位角求高度问题 例3 如图所示, A 、 B 是水平面上的两个 点,相距 800 m,在 A点测得山顶 C的仰角 为 45° , ∠ BAD = 120° , 又 在 B 点 测 得 ∠ABD=45°,其中D点是点C到水平面的 垂足,求山高CD. 解答 反思与感 悟 此类问题特点:底部不可到达,且涉及与地面垂直的平 面,观测者两次观测点所在直线不经过“目标物” . 解 决办法是把目标高度转化为地平面

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