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四川省普通高中数学学科学业水平考试要求及说明(试行)


附件 2: 四川省普通高中数学学科学业水平考试要求及说明(试行)

一、考试性质 四川省普通高中数学学科学业水平考试是完成数学学科毕 业水平学习的高中生和具有同等学力的考生参加的全省统一的 普通高中学业水平考试, 是面向全体普通高中和具有同等学力的 在校学生和社会青年的达标性考试. 考试结果既是衡量学生在该课程的学习中是否达到课程标 准的主要依据,也是学生学业水平认定的重要依据. 《数学课程 标准》 作为学科教学的纲领性文件, 它明确了高中数学课程的总 体目标是 “使学生在九年义务教育数学课程的基础上, 进一步提 高作为未来公民所必要的数学素养, 以满足个人发展与社会进步 的需要” .学业水平考试就是要全面考查和评估我省普通高中学 生的数学学业水平是否达到了这个要求. 普通高中新课程实验数学学科学业水平考试是用于衡量学 生实际水平的参照性测验, 而不是用于确定学生在群体中相对水 平位臵的甄别性选拔考试,因而测验的重点应放在数学基础知 识、基本思想方法及核心能力的形成上. 二、 指导思想 普通高中新课程实验数学学科学业水平考试的命题, 是以教 育部制定的《数学课程标准》为依据,参照《四川省普通高中数

学学科教学指导意见(试行)》 《四川省普通高中数学学科教学 及 基本要求(试行)》的精神,结合我省教学实际情况,全面考查学 生是否在知识与技能、 过程与方法、 情感态度与价值观方面达到 课程目标所规定的要求. 教师的专业素养是实现课程总体目标的重要因素. 通过学业 水平考试, 要对我省普通高中数学教师的专业发展状况, 做出合 理评价, 促进教师教学方式的不断改进和完善, 引导日常教学摆 脱应试教育的模式.随着社会的进步, “未来公民所必要的数学 素养”在变化,学业水平考试要有利于学生学习方式的改变,并 引导社会、 学校和家庭关注学生的全面发展, 形成正确的质量观 和人才观. 三、 考试内容和要求 1.数学思想方法、数学能力与要求 ⑴ 数学思想方法 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴 含在数学知识发生、 发展和应用的过程中. 对数学思想方法的考 查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查, 主要考查函 数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与 转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必 然的思想. 对数学思想方法的考查要与数学知识的考查紧密结合 进行, 通过数学知识的考查, 反映学生对数学思想方法的理解和 掌握程度.考查时,要从学科整体意义上考虑,注重通性通法, 淡化特殊技巧, 有效地检测学生对中学数学知识中所蕴含的数学 思想方法的掌握程度. ⑵ 数学能力

能力主要是指空间想象能力、 抽象概括能力、 推理论证能力、 运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. ① 空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形 想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关 系;能对图形进行分解、组合与变形;会运用图形与图表等手段 形象地揭示问题的本质. ② 抽象概括能力:对具体的实例,通过抽象概括,能发现 研究对象的本质属性; 并从给定的信息材料中, 概括出一般性结 论,同时能将其用于解决问题或作出新的判断. ③ 推理论证能力: 推理既包括演绎推理, 也包括合情推理; 论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法, 也包括按思考方 法划分的直接证法和间接证法.应学会运用合情推理进行猜想, 再运用演绎推理进行证明. 会根据已知的事实和已获得的正确数 学命题,论证某一数学命题真实性. ④ 运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形 和数据处理, 能根据问题的条件寻找与设计合理、 简捷的运算途 径;能根据要求借助计算器对数据进行估计和近似计算. ⑤ 数据处理能力:会收集、整理、分析数据,能从大量数 据中抽取对研究问题有用的信息, 并作出判断. 数据处理能力主 要依据统计或统计案例中的方法对数据 进行整理、分析,并解 决给定实际问题. ⑥ 应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决 问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理 解问题陈述的材料,并对所提 供的信息资料进行归纳、整理和 分类, 将实际问题抽象为数学问题; 能应用相关的数学方法解决 问题进而加以验证, 并能用数学语言正确地表达和说明. 应用的 主要过程是依据现实的生活背景, 提炼相关的数量关系, 将现实

问题转化为数学问题,构造数学模型,并加以解决. ⑦ 创新意识:对新颖的信息、情境和设问,选择有效的方 法和手段收集信息, 综合与灵活地应用所学的数学知识、 思想方 法进行独立思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地 解决问题. 2.数学探究、数学建模与数学文化 数学探究、 数学建模、 数学文化是贯穿于整个高中数学课程 的重要内容,这些内容不单独设臵,渗透在每个模块或专题 中. 《数学课程标准》要求高中阶段至少各应安排一次较为完整 的数学探究、数学建模活动. 数学探究和数学建模都是高中数学课程中引入的新的学习 方式. 数学探究即数学探究性课题学习, 是指学生围绕某个数学 问题,自主探究、学习的过程.这个过程包括:观察分析数学事 实, 提出有意义的数学问题, 猜测、 探求适当的数学结论或规律, 给出解释或证明. 数学建模是运用数学思想、 方法和知识解决实 际问题的过程. 数学探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程, 初步理解直观和严谨的关系, 初步尝试数学研究的过程, 体验创 造的激情, 建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神; 有助于 培养学生勇于质疑和善于反思的习惯,培养学生发现、提出、解 决数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力. 数学建模为学生提供了自主学习的空间, 有助于学生体验数 学在解决实际问题中的价值和作用, 体验数学与日常生活和其他 学科的联系, 体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程, 增 强应用意识; 有助于激发学生学习数学的兴趣, 发展学生的创新 意识和实践能力. 数学是人类文化的重要组成部分. 数学是人类社会进步的产

物, 也是推动社会发展的动力. 通过在高中阶段数学文化的学习, 学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用, 体会 数学的科学价值、应用价值、人文价值,开阔视野,寻求数学进 步的历史轨迹, 激发对于数学创新原动力的认识, 受到优秀文化 的熏陶, 领会数学的美学价值, 从而提高自身的文化素养和创新 意识. 3.知识范围与要求 四川省普通高中数学学业水平考试实行文理科同卷同内容 的考试方式,内容包括必修部分所有内容和选修系列 1 与系列 2 中相同内容部分. 根据《数学课程标准》的要求,将其中所涉及的知识点的能 力层级由低到高分为“了解(知道、识别、模仿等)”“理解(描 、 述,说明,表达,推测,想像,比较,判别,会求,会解,初步 应用等)”和“掌握(掌握,导出,分析,推导,证明,研究,讨 论,选择,决策,解决问题等)”三个层次并分别用 A、B、C 表 示. 能力层级 符 号 了解 A 理解 B 掌握 C

A——了解: 要求对所列知识的含义有初步的、 感性的认识, 知道这一知识内容是什么,能按照一定的程序和步骤照样模仿, 并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. B——理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知 道知识间的逻辑关系, 能够对所列知识作正确的描述说明并用数 学语言表达, 能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、 判 别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. C——掌握:要求能够对所列的知识内容进行推导、证明, 能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并能运用所学

过的知识分析日常生活或生产实践中的问题. 下面为考试内容对应的考查能力层级要求: 模 块
源:Zxxk.Com] [来





能力层级
[来源:Z§xx§k.Com][来源:学科网 ZXXK]

A √

B

C

备 注

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

集合的含义

集合之间的包含与相等的 √ 含义 全集与空集的含义 √ 两个集合的并集与交集的 含义及计算 补集的含义及求法 √ √

数 用 Venn 图表示集合的关 √ 系及运算 √ 学 函数的概念 1 求简单函数的定义域和值 域 函数的表示法 简单的分段函数及应用 √ 关注学科 内综合 关注探究 过程 √ √

函数的单调性、最大(小) √ 值及其几何意义 奇偶性的含义 √ 利用函数的图象理解和探 √ 究函数的性质 有理指数幂的含义 √ 幂的运算 √

指数函数的概念及其意 义;指数函数的单调性与 特殊点 指数函数模型的应用 对数的概念及其运算性质 换底公式的应用

√ √ √ √ 关注实践 应用

对数函数的概念及其意 义;对数函数的单调性与 √ 特殊点 指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 互 为 反 √ 函数 幂函数的概念 √ 函数的零点与方程根的联 √ 系 用二分法求方程的近似解 函数的模型及其应用 柱、锥、台、球及其简单 √ 组合体的结构特征 简单空间图形的三视图的 √ 画法及三视图的识别 斜二测法画空间图形的直 √ 观图 应用平行投影与中心投影 数 画空间图形的视图与直观 √ 图 学 球、棱柱、棱锥、台的表 √



关注探究 过程 关注实践 √ 应用

2

面积和体积的计算公式 空间点、线、面的位臵关 √ 系的四个公理和一个定理 直线与平面、平面与平面 的平行或垂直的判定和性 √ 质 运用已获得的结论证明一 些空间位臵关系的简单命 √ 题 直线的倾斜角及斜率的概 √ 念 过两点的直线的斜率的计 √ 算公式 利用斜率判断直线的平行 √ 与垂直 直线方程的三种形式:点 关注探究 √ 斜式、两点式和一般式 过程 两直线交点坐标的求法 √ 两点之间的距离公式、点 到直线的距离公式,两平 行线间的距离 圆的标准方程和一般方程 √ √ 关注学科 内综合 关注实践 应用

直线与圆以及圆与圆的位 √ 臵关系 直线和圆的方程的简单应 √ 用 空间直角坐标系的概念 √ 用空间直角坐标系刻划点 的位臵 空间两点间的距离公式 √ √

算法的思想和含义

√ 关注探究 过程

程序框图的三种基本逻辑 √ 结构 五种基本算法语句 √ 数 随机抽样的必要性和重要 √ 学 性 用简单随机抽样方法从总 √ 3 体中抽取样本 分层抽样和系统抽样方法 √ 列频率分布表、画频率分 布直方图、频率折线图、 √ 茎叶图 样本数据标准差的意义和 √ 作用 合理选取样本,从样本数 据中提取基本的数字特 √ 征,并能做出合理的解释 用样本的频率分布估计总 体分布,用样本的数字特 √ 征估计总体的数字特征 随机抽样的基本方法和样 本估计总体的基本思想的 √ 实际应用 散点图的作法 √ 利用散点图直观认识变量 √ 之间的相关关系 最小二乘法 √ 根据给出的线性回归方程 系数公式建立线性回归方 √ 程

关注实践 应用

关注实践 应用

概率的意义及频率和概率 √ 的区别 两个互斥事件的概率加法 √ 公式及应用 古典概型及其概率的计算 √ 公式,用列举法计算概率 几何概型的意义 √ 任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化 任意角三角函数的定义 正弦、余弦、正切函数的 诱导公式 正弦、余弦、正切函数的 图象画法及性质的运用 三角函数的周期性 √ √ √ √ √ √

关注实践 应用

关注探究 过程

数 学 4

同角三角函数的基本关系 √ 式 y ? A sin ??x ? ? ? 的实际意义 √ 三角函数模型的简单应用 √ 关注实践 应用

平面向量和向量相等的含 √ 义及向量的几何表示 向量加、减法的运算及其 √ 几何意义 向量数乘的运算 √ 向量数乘运算的几何意义 √ 及两向量共线的含义 向量的线性运算性质及其 √

几何意义 平面向量的基本定理及其 √ 意义 平面向量的正交分解及其 √ 坐标表示 用坐标表示平面向量的 √ 加、减及数乘运算 用坐标表示平面向量共线 √ 的条件 平面向量数量积的含义及 关注探 √ 其物理意义 过程 平面向量的数量积与向量 √ 投影的关系 平面向量数量积的坐标表 √ 达式及其运算 运用数量积表示两个向量 关注学 的夹角,并判断两个平面 内综合 √ 向量的垂直关系 平面向量的应用 关注学 √ 间联系 两角和与差的正弦、 余弦、 √ 正切公式 二倍角的正弦、余弦、正 √ 切公式 运用相关公式进行简单的 √ 三角恒等变换 正弦定理、余弦定理及其 关注实 √ 运用 应用 数 数列的概念和简单的表示 √ 法 学 等差数列、等比数列的概 √ 念









5

等差数列、等比数列的通 项公式与前 n 项和公式 数列方法的应用 一元二次不等式的概念 解一元二次不等式 √

√ √ 关注学科 内综合



二元一次不等式的几何意 √ 义 用平面区域表示二元一次 √ 不等式组 两个正数的基本不等式 √ 两个正数的基本不等式的 关注学 √ 简单应用 内综合 命题的逆命题、否 命题与逆否命题、 √ 四种命题的关系 必要条件、充分条 关注学 √ 常 用 件与充要条件 内综合 逻 辑 逻辑联结词“或” √ 用语 “且” “非” 的含义 全称量词与存在量 √ 词的意义 椭圆的定义、标准 关注学 方程及简单几何性 √ 内综合 质 圆 锥 抛物线、双曲线的 曲 线 定义、几何图形、 √ 与 方 标准方程和简单几 选 程 何性质 圆锥曲线的简单应 关注学 √ 修 用 内综合 科







导数的概念 导数的几何意义 由导数定义求函数
y ? c, y ? x, y ? x2 1 y ? 的导数 x

√ √ 关注实践 应用



导 数 及 应 用导数研究函数的 √ 单调性 用 求不超过三次的多 项式函数的单调区 √ 间 求不超过三次的多 关注学科 项式函数的极大 内综合 值、极小值以及在 √ 给定区间上不超过 三次的多项式函数 的极大值、极小值 数系的扩充 √ 复数的基本概念以 及复数相等的充要 √ 条件 复数的代数表示法 √ 及其几何意义 复数代数形式的四 √

用给出的基本初等 函数的导数公式和 导数的四则运算法 √ 则求简单函数的导 数 导数公式表 √

数 的 充 复 的

系 扩 与 数 引



则运算 复数代数形式的 加、减运算的几何 √ 意义

4.情感态度与价值观要求 学生个体的情感、 态度和价值观是学生的个性品质. 要求学 生具有一定的数学视野, 认识数学的科学价值和人文价值, 崇尚 数学的理性精神, 形成审慎思维的习惯, 体会数学的美学意义. 对 学生情感、态度和价值观的具体考察方法与内容融入试题之中. 四、考试形式及试卷结构 1.考试形式、考试时间及试卷满分 考试方式 考试时间 试卷满分 2.试卷结构 ⑴ 试卷内容大至比例 基本原则:注重基础,注重教材,注重能力,注重应用,突 出主干知识,突出数学思想方法,知识覆盖面达到 75%左右. ⑵ 试卷题型比例 题 型 选择题 填空题 解答题 题 量 10 小题 4 小题 5 小题 分 值 纸笔测试;闭卷 90 分钟 100 分

40 分 16 分 44 分

⑶ 试题难易比例 全卷总体难度系数大致控制在 0.75 左右.各题型难度系数 及大致比例如下: 难度级别 难度系数 约占比例 容易题 0.8 以上 70% 稍难题 0.65—0.8 20% 难题 0.50— 0.65 10%

五、题型示例
1.选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. .... 【例 1】 cos1110°的值是 (A) -

3 2

(B)

3 2

(C) -

1 2

(D)

1 2

【分析】 根据诱导公式,将 1110°转化为(0°,360°)或(0°,90°):cos1110°= cos(3 ×360°+30°)=cos30°= 【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查诱导公式(终边相同的角的关系)、特殊角的三角函数值,能力要求 层次为了解,属于容易题. 【例 2】 复数 (A) 2 ? i

3 . 2

5i ? 1 ? 2i (B) 1 ? 2i

(C) ?2 ? i

(D) ?1 ? 2i

【分析】 复数的四则运算,按法则进行 : 【答案】 (C).

5i 5i(1 ? 2i) ? ? ?2 ? i . 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i)

【说明】 本题主要考查复数的代数运算,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 3】 下列函数中,定义域为 R 的是 (A) y= x (B) y=log2x (C) y=x
3

(D) y=

1 x

【分析】 由于各选项给出的均是具体的基本初等函数,考察函数自变量的取值范围即可. 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查基本初等函数的定义域,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 4】 若 P ? {x x ? 1}, Q{x x ? 1} ,则

(A) P ? Q

(B) Q ? P

(C) ? R P ? Q

(D) Q ? ? R P

【分析】 判断给定两个数集的关系,可以结合数轴直观.显然,(A)(B)不正确,由

P ? x x ?1

?

? 得 ? R P ? ?x x ? 1 ? ,? Q ? ? R P ,故选(D).

【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查集合与集合的关系,补集的 求法,能力要求层次为理解,属于容易 题. 【例 5】 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? (A)

1 ,则 S5 ? n(n ? 1)
1 6
(D)

5 6

(B)

4 5

(C)

1 30

【分析】 已知 {an } ,求 Sn (或具体的前 n 项和),可以直接运用公式,或观察 an 的特征, 选用相应的方法.这里采用裂项相消处理. 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查数列通项和前 n 项和的关系(求法),能力要求层次为了解,属于容 易题.因为问题要求的是 S5 ,除采用根据通项求和的方法外,还可以采用逐一求出 S1 、 S2 、…、

S5 的方法获得答案.
【例 6】 函数 f ( x) ? x3 ? 2 的零点所在的区间是 (A) (?2, 0) (B) (0,1) (C) (1, 2) (D) (2,3) 【分析】 由零点存在性定理,若零点所在区间为(a,b),则 f(a)f(b)<0.于是,从判断区 间端点函数值的符号入手解题.? f (1) ? (1)3 ? 2 ? ?1 ? 0 , f (2) ? (2)3 ? 2 ? 6 ? 0 ,故选(C). 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查函数零点存在性定理的运用, 能力要求层次为了解, 属于容易题. 在 这里,函数 f(x)单调递增,有且仅有一个零点. 【例 7】 已知向量 a ? (?2, ? 1) , a ? b ? (?4, 3) ,则 | b |? (A) 2 5 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查向量的坐标运算及向量的模,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 8】 将函数 y ? sin x,x ? R 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的一半, 纵坐标不变, 所得图象对应的函数的最小正周期为 (A) 4π (B) 2π (C) π (D) (B) 2 10 (C) 20 (D) 40

【分析】 根据已知,先由坐标运算求出向量 b=(2,-4),再求其模.

? 2

【分析】 根据函数图象变换与解析式相应变化的关系, “横坐标缩小为原来的一半,纵坐标 不变”对应“2x 代换 x” ,函数变为 y ? sin 2 x,x ? R ,选(C). 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查三角函数图象(变换)与性质(周期),能力要求层次为了解,属于容 易题. 【例 9】若一个几何体的三视图都是三角形,则这个几何体是

(A) 圆锥

(B) 四棱锥

(C) 三棱锥

(D) 三棱台

【分析】 由正视图与侧视图都是三角形,说明几何体为锥体,再由俯视图也是三角形,说 明底面是三角形,所以几何体为三棱锥. 【答案】 选择(C). 【说明】 本题主要考查三视图,对几何体的形状进行判断,考查学生的空间想象能力,能 力层次要求为了解,属于容易题. 【例 10】 两条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与 2 x ? y ? 1 ? 0 的位臵关系是 (A) 平行 (B) 垂直 (C) 相交且不垂直 (D) 重合 【分析】 由两直线方程的系数关系判断其位臵关系,因为对应系数的积之和:

1? 2 ? 2 ? (?1) ? 0 ,所以这两条直线是垂直的.
【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查两条直线垂直的判定,应用意识,能力层次要求为理解,属于容易 题. 【例 11】 已知 ? 是第四象限角,则方程 x2 sin ? ? y 2 ? 1表示的曲线是 (A) 焦点在 x 轴上的椭圆 (C) 焦点在 x 轴上的双曲线
2

(B)焦点在 y 轴上的椭圆 (D)焦点在 y 轴上的双曲线
2

【分析】 根据 ? 所在象限,确定出 sin ? 的符号,再根据方程的形式判断属于那类曲线.因 为 ? 是第四象限角,所以 sin ? <0,所以方程 x sin ? ? y ? 1表示焦点在 y 轴上的双曲线. 【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查三角函数的符号,双曲线的定义,特殊与一般的思想,能力层次要 求为了解,属于容易题. 【例 12】 已知抛物线 y 2 ? 4 x 上的一点 P 到 y 轴的距离为 2,则点 P 到此抛物线的焦点的 距离是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 开始 (D) 4 【分析】 已知抛物线上的点,求焦点弦问题,都 是根据抛物线的定义解决问题.根据抛物线的定义知, 点 P 到焦点的距离 等于点 P 到准线的距离,而准线到 y 轴的距离为 1,点 P 到 y 轴距离为 2,所以点 P 到准线 的距离 3. 【答案】 (C). 【说明】 本题主要考查抛物线的定义,数形结合 的思想,化归与转化的思想,应用意识,能力层次要求 为理解,属于容易题. 【例 13】 如图所示的程序框图,如果输入三个 实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在 空白处的判断框中,应该填入下面四个选项中的(注: 框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ?”或“:=”) (A) c>x (C) c>b (B) x>c (D) b>c 否 否 是 x=c x=b b>x? 是 x=a 输入 a,b,c

【分析】 正确理解“输入三个实数 a,b,c,要

输出 x

结束

求输出这三个数中最大的数”的含义是解决本题的关键. 【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查框图中的条件结构,识图能力以及观察、推理的能力,能力要求层 次为理解,属于容易题. 【例 14】 下列说法正确的是 (A) 事件 A,B 中至少有一个发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发生的概率大 (B) 事件 A,B 同时发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发生的概率小 (C) 互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 (D) 互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 【分析】 根据并事件、交事件、互斥事件和对立事件的定义进行判断. 【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查并事件、交事件、互斥事件和对立事件的定义,能力要求层次为了 解,属于容易题. 【例 15】 函数 y ? ( ) ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是
x

1 2

【分析】

1 y ? ( ) x ? 1 的图象过点 (0, 2) ,且单调递减,故它关于直线 y=x 对称的图象过点 2

(2, 0) 且单调递减,选(A).
【答案】 (A). 【说明】 本题主要考查指数函数的图象及图象的对称变换,能力要求层次为理解,属于中

1 x 2 互为反函数的两个函数的图象关系(其反函数为 y ? log 1 ( x ? 1) ).
2

档题.解答本题还有两种思路:一是作出函数 y ? ( ) ? 1 的图象,再作其对称图形;二是利用

【例 16】 若 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件

1 ”的 a

(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

【分析】 充分必要条件的判断,应注意分析“甲”能否推出“乙”“乙”能否推出“甲” 、 , 进行推证时,还应充分运用到特例和反例.对于本例,当 0 ? ab ? 1 , a ? 0, b ? 0 时,有 b ? 反过来,当 b ? 的条件.

1 ; a

1 1 , a ? 0 时,则有 ab ? 1 ,?“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? ”的既不充分也不必要 a a

【答案】 (D). 【说明】 本题主要考查充要条件的概念及其判断,能力要求层次为理解,属于中档题. 【例 17】 若 l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 / /l3 (C) l1 / /l2 / /l3 ? l1 , l2 , l3 共面 (B) l1 ? l2 , l2 / /l3 ? l1 ? l3 (D) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面

【分析】 借助正方体各棱的位臵关系, 可举出 A, D 三个选项的反例, C, 说明不成立, l1 , l2 , l3 如 共面,B 选项显然成立,如不共面,由 l1 ? l2 , l2 / /l3 ,根据异面直线所成角知 l1 与 l3 所成角为 90°. 【答案】 (B). 【说明】 本题主要考查空间直线的位臵关系,化归与转化的思想,空间想象能力和推理论 证能力,能力层次要求为理解,属于中档题. 2.填空题:将答案直接填在题中横线上. 【例 18】 已知集合 M ? {1, 2,3, 4},集合 N ? {1,3,5} ,则 M ? N 的一个非空子集是 ___________.
取公共元素 【分析】 由已知, M ? N ? {1, 2,3, 4} ?{1,3,5} ???? M ? N ? {1,3} . ?

【答案】

{1} 、 {3} 或 {1,3} (填其中一个即可).

【说明】 本题主要考查集合的运算(求交集)、对给定集合子集的识别,能力层次要求为理 解,属于容易题.

?2 x , x ? 0, 【例 19】 已知函数 f ( x) ? ? 那么 f(4)的值为____________ ?log 2 x, x ? 0,
【分析】 求各段函数已知的分段函数的函数值,基本方法是根据自变量的范围代入相应解 析式.≧4>0,? f (4) ? log2 4 ? 2 . 【答案】 2. 【说明】 本题主要考查(分段)函数值的求法、简单的对数运算,能力要求层次为了解,属 于容易题. 【例 20】 某校高中一、二、三年级的学生分别有 800 名,1200 名,1000 名,现用分层抽 样的方法从其中抽取一个容量为 750 的样本,则从高中二年级抽取的人数为____________ . 【分析】 总体是由差异明显的部分组成,根据问题要求采用的抽样方法为分层抽样,故按 比例计算各年级抽取的人数. 【答案】

750 1 ?1200 ? ?1200 ? 300 . 800 ? 1200 ? 1000 4

【说明】 本题主要考查分层抽样的方法及相关计算,抽样方法的合理性及统计的思想,能 力要求层次为了解,属于容易题. 【例 21】 命题“如果函数 f(x)是偶函数,那么它的图象关于 y 轴对称”的逆命题是 ____________. 【分析】 构造简单命题的逆命题,只需交换命题的条件和结论. 【答案】 如果函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,那么它是偶函数. 【说明】 本题主要考查命题的几种形式的关系,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 22】 如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上, 七位

评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数 为 . 【分析】 去掉一个最高分 93 分和一个最低分 79 分后,余下的五个分数依次是:84,84, 85,86,87,中位数是 85. 【答案】 85. 【说明】 本题主要考查用茎叶图分析问题的方法,阅读图表的能力,能力要求层次为了解, 属于容易题. 【例 23】 某人早上醒来的时候发现表停了,如果他打开收音机收听电台报时,他等待的时 间不多于 10 分钟的概率是____________. 【分析】 利用几何概型的定义和几何概型公式求解. 【答案】

1 . 6

【说明】 本考查古典概型和几何概型的识别,解决应用问题的意识和能力,能力要求层次 为了解,属于容易题. 【例 24】 若角 ? 的终边经过点 P(m,m ? 4) ,且 tan ? ? ?3 ,则 m ? ______.

tan 【分析】 已知角的终边上的点和三角函数值, 运用定义建立关系: ? ?
解得 m=-1. 【答案】 -1.

y m?4 ? ?3 , = x m

【说明】 本题主要考查三角函数的定义,能力要求层次为了解,属于容易题.在课标及教 材中,强调单位圆在理解定义、性质中的作用,三角函数的定义是以角的终边和单位圆的交点建 立的.解答中根据定义得到等式时运用了: tan ? ? 的交点,(x,y)为终边上异于原点的点). 【例 25 】 【分析】 当输入的 x 的值为-5,下列程序运行的结果等于_________. 该程序用了输入语句、条件语句、赋值语句和输出 INPUT x IF x>=0 THEN PRINT x ELSE PRINT –x END IF END

y0 y ? (其中,(1,y0)为角的终边与单位圆 1 x

语句进行算法描述. 【答案】 5. 【说明】 本题主要考查输入语句、条件语句、赋值语句和输 出语句的功能和数学阅读理解的能力,能力要求层次为了解,属于 容易题. 【例 26】 向量 | a |? 5 , | b |? 4 , a 与 b 的夹角为 120 ,则
?

a ? b ? ________.
【分析】 由联系题设各量的向量数量积公式变形即得. 【答案】 -10. 【分析】 本题主要考查向量数乘的运算,能力要求层次为了解,属于容易题. 【例 27】 若变量 x, 满足约束条件 ? y

?3 ? 2 x ? y ? 9 y , z ? x ? 2 的最小值是_________. 则 ?6 ? x ? y ? 9

【分析】 根据已知的约束条件画出可行域,结合图形即得答案. 【答案】 -6. 【说明】 本题主要考查基本的线性规划问题,能力要求层次为理解,属于中档题.

【例 28】 经过点 P(3, 0)且长轴长是短轴长的 3 倍的椭圆的标准方程为________________. 【分析】 由于焦点位臵不确定,需要分情况讨论,再根据 P 点坐标得出 a 或者 b,从而得 出椭圆的标准方程.当焦点在 x 轴上时,有 a=3,b=1,此时椭圆方程为 轴上时,有 b=3,a=9,此时椭圆方程为 【答案】

x2 ? y 2 ? 1,当焦点在 y 9

x2 y 2 ? ? 1. 9 81

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1, ? ? 1. 9 9 81

【说明】 本题主要考查椭圆的标准方程,分类与整合的思想,应用意识,能力层次要求为 理解,属于中档题.

1 ? x ? ) , x ?[?2? , 2? ] 的单调递增区间是________. 2 3 1 ? 【分析】 根据正弦函数的单调性解答.令 z= x ? ,而函数 y=sinz 的单调递增区间是 2 3
【例 29】 函数 f ( x) ? sin(

? 1 ? ? 5? ? ? ? ? ? 由 得 ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? . ? 2 ? 2k? ? 2 x ? 3 ? 2 ? 2k? , ? 3 ? 4k? ? x ? 3 ? 4k? , ? ? k ?Z.
【答案】

? 5? ? ? ?? 3 , 3 ? . ? ?

【说明】 本题主要考查三角函数的单调性,能力要求层次为理解,属于中档题. 【例 30】 如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 2 ,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 1 上,若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于_____________. 【分析】 由线面平行得出线线平行, EF 为三角形 DAC 的中位线, 知 再根据中位线定理求值. 因 为 EF / /平面AB1C , EF ? 平面ABCD ,且平面 AB1C 与平面 ABCD 的交线为 AC ,所以

EF / / AC ,又点 E 为 AD 的中点,所以 EF 为 ?DAC 的中位线,
所以 EF ?

1 AC .因为 AB ? 2 , ABCD 为正方形,所以 2

AC ? 2 2 ,所以 EF ? 2 .
【答案】

2.

【说明】 本题主要考查线面平行的性质,三角形中位线定理, 化归与转化的思想,空间想象能力与推理论证能力,能力层次要求为理解,属于中档题. 【例 31】 已知一隧道的截面是半径为 4 m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为 2.7 m,高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道?你作出的判断是 ________(填“能”或“不能”). 【分析】 建立坐标系,根据圆的方程求出对应点的纵坐标,再 与车的高度进行比较,作出合理判断.如图,以半圆的圆心为坐标原 点,其直径所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为:

x2 ? y2 ? 16 ( y ? 0) .令 x=2.7,则 y 2 ? 8.71 .
≧ y ? 8.71 ? 3 ,?货车不能驶入此隧道.

【答案】 不能. 【说明】 本题主要考查建立适当的坐标系解决实际问题,圆的标准方程,数形结合的思想, 数据处理能力和应用意识.能力层次要求为理解,属于中档题.这个题目的特点是紧密联系学生 的生活,情境简单符合学生的认知水平,通过对复杂的实际事物适当简化,使得题目即有趣味又 具有思想性(坐标法思想),这是解析几何的核心思想方法.

? ?0,则 f(0)+f(2)与 2f(1) 【例 32】 对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1) f(x)
的大小关系为_________________. 【分析】 研究函数值的大小关系,从单调性入手.依题意,当 x?1 时,f ?(x)?0,函数 f(x) 在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f ?(x)?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时 取得最小值,即有 f(0)?f(1),f(2)?f(1),故 f(0)+f(2)?2f(1). 【答案】 f(0)+f(2)?2f(1). 【说明】 本题主要考查导数性质的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系),能力要求 层次为掌握,属于较难题. 【例 33】 若函数 f ( x ) 的定义域为 A,当 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时,总有 x1 ? x2 ,则 称 f ( x ) 为单函数.例如,函数 f ( x ) =2x+1( x ? R )是单函数.给出下列命题:①函数

f ( x) ? x2 (x ? R)是单函数;②指数函数 f ( x) ? 2x (x ? R)是单函数;③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中
所有真命题的序号是___________. 【分析】 这是“多选多”型填空题,一般需要逐一分析判断.在判断中,应注意特例和反 例的灵活运用.对于①,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ,不满足;②是单函数;命题③实际上 是单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题④为真. 【答案】 ②、③、④. 【说明】 本题以数学新概念为背景,从单函数概念出发,考查学生的阅读能力、理解能力、 思维能力、推理能力和创新意识.能力要求层次为掌握,属于较难题. 3.解答题: 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 【例 34】 某人有 4 把钥匙,其中有两把能够打开房门.现随机地取一把钥匙试着开门,不 能打开的就扔掉,问第二次才能打开门的概率是多少?如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是多 少? 【分析】 每把钥匙打开门的概率都是相同的,并且试验结果是有限的,故本题是古典型概 率问题. 【答案】

1 1 , . 3 4

【说明】 本考查古典概型的识别及学生的实际应用意识,能力要求层次为理解,属于中档 题. 【例 35】 在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? a5 ? 21, a4 ? 9 .求: (Ⅰ) 数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ) 求 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 的值. 【分析】 已知等差数列的两个等式,利用等差数列的基本关系建立方程即可得到等差数列 的基本量,从而求得通项公式等.

【答案】 (Ⅰ) 方法一:设数列 {an } 的公差为 d, 则?

?a1 ? (a1 ? 2d ) ? (a1 ? 4d ) ? 21, 解得 a1 =3, d ? 2 . ?a1 ? 3d ? 9,

故数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1. 方法二:由 a1 ? a3 ? a5 ? 21,得 3a3 ? 21 ,? a3 ? 7 . 又≧ a4 ? 9 ,?公差 d ? a4 ? a3 ? 2 .由 a3 ? a1 ? 2d ? a1 ? 4 ? 7 ,? a1 =3. 故数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1. (Ⅱ) 方法一:由题知 a2 、 a4 、 a6 、…、 a20 是以 a2 为首项,公差为 4 的等差数列,则

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ?

10(a2 ? a20 ) 10(5 ? 41) ? ? 230 . 2 2 方法二:由题知 a2 、 a4 、 a6 、…、 a20 是以 a2 为首项,公差为 4 的等差数列,则
10 ? 9 ? 4 ? 230 . 2

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? 10 ? 5 ?

【说明】 本题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及相关概念、性质,能力要求 层次为理解,属于中档题.在解决本问题时,对已知条件的不同表示、对结论(如(Ⅱ)的求和)的 不同表达,即产生对问题的不同解法. 【例 36】 如图,在平行四边形 ABCD 中, M 是 AB 边的中点,点 N 在对角线 BD 上,且

DN ? 2 NB . ??? ? ???? ???? ? (Ⅰ) 记 AB ? a , AD ? b ,试用向量 a 、 b 表示 MN ; (Ⅱ) 证明: M 、N、C 三点共线.
【分析】 根据向量及其运算的几何意义,联系平面向量 线的表示求解. 【答案】 (Ⅰ) ≧ BD ? AD ? AB ? b ? a , BN ? ? MN ? MB ? BN ? 共

??? ?

???? ??? ?

????

? 1 ??? 1 BD ? (b ? a ) , 3 3

1 1 1 1 a ? (b ? a ) ? a ? b . 2 3 6 3 ???? ???? ??? 1 ? ? 1 (Ⅱ) 证明: MC ? MB ? BC ? a ? b ? a ? b . 2 2 ???? 1 ? ???? ? 1 1 1 1 ? MN ? a ? b = ? ( a ? b) ? MC .故 M、N、C 三点共线. 6 3 3 2 3
【说明】 本题主要考查向量及其运算的几何意义、向量共线的表示,能力要求层次为理解, 属于中档题. 【例 37】 已知 0 ? ? ? (I) 求 tan 2? ; (II) 求 cos ? . 【分析】 三角恒等变换,抓住相关的角、函数名和式子的结构(即角、名、形)关系入手.

???? ?

???? ????

?
2

? ? ? ? ,且 sin ? ?

1 3 , cos(? ? ? ) ? . 2 3

【答案】 (I) 由 0 ? ? ? ? tan ? ?

?
2

, sin ? ?

3 6 2 ,知 cos ? ? 1 ? sin ? ? , 3 3

2 tan ? 2 sin ? 2 ? ?2 2. . ? tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? 1 cos ? 2 2 sin 2? 2sin ? cos ? ? ?2 2) (或: tan 2? ? cos 2? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ? (II) 由 0 ? ? ? ? ? ? ? 可知, 0 ? ? ? , ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? ? , 2 2 2 2
1 3 ,? sin(? ? ? ) ? ? . 2 2 ? cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
? ?? ? ? ? ? ? 0 . 又 cos(? ? ? ) ?

?

6 1 3 3 6 1 ? ? ? (? ) ? ? . 3 3 3 2 6 2

【说明】 本题主要考查三角恒等变换(和差角的正弦、余弦,倍角公式),能力要求层次为 理解,属于中档题. 【例 38】 已知函数 f ( x) ?

1 1 ? ( a ? 0,x ? 0 ). a x 1 2

? (I) 证明: f ( x ) 是 (0, ?) 上的增函数;
2] 2] (II) 若 f ( x ) 在 [ , 上的值域是 [ , ,求 a 的值.
【分析】 证明函数的单调性,可以考虑运用定义或导数知识;对于连续函数,在单调性确 定之后,函数在给定闭区间上的值域容易由已知区间的端点函数值表示. 【答案】 (I) 法一: 设 x1、x2 ? (0, ?) ,且 x1 ? x2 , ? 则 f ( x1 ) ?

1 2

1 1 1 1 ? ,f ( x2 ) ? ? , a x1 a x2 1 a 1 1 1 1 1 x ?x )?( ? ) ? ? ? 1 2 . x1 a x2 x2 x1 x1 x2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ?

≧ 0 ? x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0,x1x2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x ) 是 (0, ?) 上的增函数.
法二: 由已知,当 x>0 时, f ?( x) ? ?

0 ? x ? 1? 1 1 ? 2 >0, x2 x 1 2 1 2

? ? f ( x ) 是 (0, ?) 上的增函数.
2] 2] 2] (II) 由(I)知, f ( x ) 在 [ , 上单调递增,当 f ( x ) 在 [ , 上的值域是 [ , 时,有 1 2

1 ?1 1 ?2? , ? 1 f ( ) ? , ?a 2 ? ? 2 ?a? . 2 即? ? 2 5 ?1 ? 1 ? 2 ? f (2) ? 2, ? ?a 2 ?
【说明】 本题主要考查函数的单调性证明及其应用, 能力要求层次为掌握, 属于中档题. 函 数的单调性是函数的重要性质,与不等式、最值(值域)等有密切联系.研究函数的单调性,定义 是基础,导数是重要工具. 【例 39】 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系, 下表记录了小李 某月 1 号到 5 号每天打时间 x(单位:小时)与当于投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

(Ⅰ) 求小李这 5 天的平均投篮命中率为; (Ⅱ) 用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率. 【分析】 (Ⅰ)用平均数的定义可求解;(Ⅱ)先利用表格给出的数据求出线性回归方程,再 以此为基础求第六天的命中率. 【答案】 0.5;0.53. 【说明】 本题主要考查平均数和线性回归方程等基本知识,数据统计中最常用的回归分析 以及运算能力,能力要求层次为理解,属于较难题. 【例 40】 锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 3a ? 2b sin A . (Ⅰ) 求角 B; (Ⅱ) 若 c ? 2 ,且 BC ? BA ? 3 ,求 b. 【分析】

??? ??? ? ?

3a ? 2b sin A 的结构,加上解题目标“求 ?ABC 中的角”的导向,考虑运用正

弦定理.对于(Ⅱ),表示向量的数量积之后,根据已知条件选择关系解三角形即可. 【答案】 (Ⅰ) 由 3a ? 2b sin A 及正弦定理,得

3 ? 2R sin A ? 2 ? 2R sin B ? sin A ,
即 3 sin A ? 2sin B ? sin A ,? sin A ? 0 ,? sin B ?

3 . 2

? ?ABC 是锐角三角形, 0 ? B ?
(Ⅱ) ≧ BC ? BA ? 3 ,? ac ? cos

?
2

,? B ?

?
3



??? ??? ? ?

?
3

? 3,

? ac ? 6 .又≧ c ? 2 ,? a ? 3 . ? b ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 32 ? 22 ? 2 ? 3? 2cos B ? 7 . 【说明】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,能力要求层次为掌握,属于较难题. 【例 41】如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? AC , D 为 BC 的中点, PO ⊥平面 ABC , 垂足 O 落在线段 AD 上. (Ⅰ) 证明: AP ⊥ BC ; (Ⅱ) 已知 BC ? 8 , PO ? 4 , AO ? 3 , OD ? 2 .求二面角

B ? AP ? C 的大小.

【分析】 (Ⅰ)欲证 AP ⊥ BC ,转化为证明 BC ? 平面 APD,即证明 AD⊥BC,PO⊥BC;(Ⅱ) 欲求二面角 B ? AP ? C 的大小,即求其二面角的平面角的大小,因此,需作出二面角的平面角∠

BMC,再利用已知条件解三角形 BMC,求得平面角∠BMC. 【答案】 (Ⅰ) 由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC.又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC.因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD,故 BC⊥PA. (Ⅱ) 如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连 CM. 因为 BC⊥PA.,得 AP⊥平面 BMC.所以 AP ⊥CM.故∠BMC 为二面角 B-AP-C 的平面角.
在 Rt△ADB 中,AB =AD +BD =41,得 AB= 41 , 在 Rt△POD 中, PD =PO +OD , 在 Rt△PDB 中, PB =PD +BD , 所以 PB =PO +OD +BD =36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中, PA =AO +OP =25,得 PA=5. 又 cos ?BPA ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

PA2 ? PB 2 ? AB 2 1 ? , 2 PA ? PB 3

2 2 , 所以 BM ? PB sin ?BPA ? 4 2 .同理 CM ? 4 2 . 3 2 2 2 因为 BM +MC =BC ,所以 ?BPA =90°,即二面角 B-AP-C 的大小为 90°.
从而 sin ?BPA ? 【说明】 本题主要考查空间线线、线面、面面位臵关系,二面角等基础知识,同时考查化 归与转化的思想,空间想象能力和推理论证能力,能力层次要求为掌握,属于较难题. 【例 42】 若以点 C (t, ) ( t ? R ,t ? 0 )为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A ,与 y 轴交于点

2 t

O、B ,其中 O 为原点. (Ⅰ) 求证: ?AOB 的面积为定值; (Ⅱ) 若直线 y ? ?2 x ? 4 与 ? C 交于点 M 、N ,且 OM ? ON ,求 ? C 的方程.
【分析】 (Ⅰ)欲求三角形 AOB 的面积,需要求得两直角边 OA,OB 的长,通过求圆与坐标轴 的交点解决问题;(Ⅱ)关键抓住 OM=ON 这一条件,得出点 O 在 MN 的中垂线上,同时圆心 C 必在弦

MN 的中垂线上,从而 OC 为 MN 的中垂线,根据两直线垂直斜率互为负倒数解决问题.
【答案】 (Ⅰ) 由题意知, ? C 的半径 r ? t ?
2

4 ( t ? 0 ),则 ? C 方程为 t2

2 4 ( x ? t )2 ? ( y ? )2 ? t 2 ? 2 . t t

? y ? 0, ? x ? 0, ? x ? 2t , ? 由? 或? 2 2 2 4 ?? 2 ?( x ? t ) ? ( y ? t ) ? t ? t 2 , ? y ? 0, ? y ? 0. ? ? x ? 0, ? x ? 0, ? x ? 0, ? ? 由? 或? 2 2 2 4 ?? 4 2 ?( x ? t ) ? ( y ? t ) ? t ? t 2 , ? y ? 0, ? y ? t . ? ? 1 4 ? S ?AOB ? ? | 2t | ? | |? 4 (定值). 2 t

(Ⅱ) 由 OM ? ON 知,线段 MN 的中垂线经过原点 O,且经过圆心 C (t, ) . ? OC 的斜率等于 MN 的斜率的负倒数,即 kOC ? ?

2 t

1 1 ? , ?2 2

2 ?0 1 t 即 ? ? t ? 2或t ? ?2 . t ?0 2 ? ? C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 或 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 .
【说明】 本题主要考查圆的方程,三角形面积,定值问题,垂径定理,两直线垂直的性质, 数形结合的思想和化归与转化的 思想,抽象概括能力与运算求解能力,能力层次要求为掌握,属 于较难题. 【例 43】 已知点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,且以点 P 及该椭圆的两个焦点 F1,F2 为顶点的 5 4

三角形的面积等于 1,求点 P 的坐标. 【分析】 由椭圆方程易得椭圆的两个焦点坐标,从而得出焦距 | F1F2 | ,由点 P 的纵坐标的 绝对值为 ?PF F2 的一条高的长,可得 ?PF F2 的面积的表达式,进而得出点 P 的纵坐标,由点 P 1 1 在椭圆上,求出点 P 的坐标. 【答案】 由椭圆方程 点 P(x,y),则 S ?PF1F2 ? 因为点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 得两焦点坐标为 F1 (?1,0) , F2 (1,0) ,所以 | F1F2 |? 2 . 设 5 4

1 | F1 F2 | ? | y |?| y |? 1 ,所以 y ? ?1 . 2

x2 y 2 x 2 (?1) 2 15 ? 1 ,解得 x ? ? ? ? 1 上,所以 ? . 5 4 5 4 2

所以所求点 P 有四个,分别为 (

15 15 15 15 ,1), (? ,1), (? , ?1), ( , ?1). 2 2 2 2

【说明】 本题主要考查椭圆的焦点坐标,焦距,点在曲线上,三角形面积求法,数形结合 的思想,分类与整合的思想,化归与转化的思想,运算求解能力,应用意识,能力要求层次为掌 握,属于较难题. 【例 44】 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? a ? (I) 是否存在实数 a 使 f ( x ) 为奇函数; (II) 探索方程 f(x)=0 的实根个数. 【分析】 对于(I),利用奇函数定义,根据 f(-x)=-f(x)建立 a 的等式得结论;对于(II), 可考虑运用零点存在性定理或者函数的图象解答. 【答案】 (I) 函数的定义域为 R,设 x ? R ,则 ? f (? x) ? ?a ?

2 . 2 ?1
x

2 2 ? 2x ? ?a ? x . 2? x ? 1 2 ?1

2 2 ? 2x 令 a? x = ?a ? x ,得 a=1.因此,存在实数 a=1,使 f ( x ) 为奇函数. 2 ?1 2 ?1

(II) 方程 f(x)=0 即 a ?

2 =0, 2 ?1
x x

当 a≤0 时,f(x)<0 恒成立,方程显然无解; 当 a>0 时,方程变形得 2 ?

2 2 ? 1 ? 0 ,设 g ( x) ? 2 x ? ?1 .此时,若 a≥2,则 g(x)>0 恒 a a

成立,方程无解;若 0<a<2,方程 g(x)=0 有且仅有一个实数根. 所以,当 a≤0 或 a≥2 时,方程 f(x)=0 实根的个数为 0;当 0<a<2 时,方程 f(x)=0 有且仅 有一个实根. 【说明】 本题主要考查函数的性质、方程的根(函数零点)的个数的确定和分类讨论思想, 能力要求层次为掌握,属于较难题.以上解答中,结论“当 0<a<2 时,方程 g(x)=0 有且仅有一个 实数根”的获得,可以运用零点存在性定理,也可以运用函数的图象(对于函数的问题,利用函数 的图象直观,数形结合进行思考,往往使问题的解决更加简洁.). 【例 45】 现需要围建一个面积为 360 m 的矩形场地,场地的一面利用旧墙(但旧墙必须维 修),其它三面全部新建,并在旧墙对面的新墙上留一个宽为 2 m 的进出口(如图所示). 已知旧 墙的维修费用为 45 元/ m ,新墙的建造价为 180 元/ m .设利用旧墙的长度为 x ( m ),修建此矩 形场地围墙的总费用为 y (元). (Ⅰ) 将 y 表示为 x 的函数,并写出定 义域; (Ⅱ) 试确定 x ,使修建此矩形场地围 墙的总费用最小,并求出这个最小值. 【分析】 对于实际应用型的问题,应 注意阅读审题、分析题意、建立关系,根据 建立的关系(数学模型)的特征联系相应的 数学方法解决问题. 【答案】 (Ⅰ) 当旧墙的长度为 x 时,矩形场地的宽度为
新墙
进出口

2

旧墙

新墙

(场地俯视图)

新墙

新墙

360 ,则新墙的总长度为 x

( x ? 2) ?

360 ?2 . x
360 ? 2] ?180 . x

? 旧墙的维修费用 y1 ? 45x ,新墙的修建费用为 y2 ? [( x ? 2) ? 总费用 y ? y1 ? y2 ? 45 x ? [( x ? 2) ?

360 ? 2] ?180 ,化简得 x

y ? 225 x ?

3602 ? 360 . x 3602 ? 360 , x ? (2, ?) . ? x 3602 ? 360 及 x ? 2 ,知 x

由于要在旧墙对面的新墙上要留一个宽为 2 m 的进出口,所以 x ? 2 . 故 y ? 225 x ?

(Ⅱ) 由 y ? 225 x ?

y ? 225x ?

3602 3602 ? 360 ? 2 225 x ? ? 360 ? 10440 , x x

3602 ,即 x ? 24 时, “=”成立. x ? 当 x ? 24 m 时,总费用的最小值为 10440 元.
其中,当且仅当 225x ? 【说明】 本题主要考查运用函数、不等式知识解决实际问题以及分析问题、解决问题的能 力,能力要求层次为掌握,属于较难题. 【例 46】 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 .
(I) 求 a,b 的值; (II) 证明:当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x . x ?1

【分析】 曲线的切线问题,从导数的几何意义入手;涉及函数的不等关系,基本思路是考 虑函数的单调性(导函数的函数值符号). 【答案】 (Ⅰ) 显然,f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b 1 x ? 2. 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? , 2 ( x ? 1) x 2

? f (1) ? 1, ?b ? 1, ? ? 且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 ?a 1 解得 a ? 1 , b ? 1 . ? f '(1) ? ? 2 , ? 2 ? b ? ? 2 , ? ?
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

ln x 1 x2 ?1 ln x 1 ? ,所以 f ( x) ? ? (2ln x ? ). x ?1 x x ?1 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

x2 ?1 ( x ? 0) ,则 x

2 2 x2 ? ( x2 ? 1) ( x ? 1)2 . h?( x) ? ? ?? x x2 x2
所以当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,即 h(x)在(0,1)和(1,+≦)上是减函数,而 h(1) ? 0 ,故 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,可得

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2
1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2

当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,可得 从而当 x ? 0, 且x ? 1, f ( x) ?

ln x ln x ? 0,即f ( x) ? . x ?1 x ?1

【说明】 本题主要考查导数的几何意义(与直线相切于曲线的联系)、 导数的应用(导函数的 函数值取值与单调性的关系),推理与运算能力,能力要求层次为掌握,属于较难题. 六、样题及参考答案

四川省普通高中学业水平考试(样卷) 数 学

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 6 页. 全卷满分 100 分,考试时间为 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,只有 .. 一项是符合题目要求的. .. 1.若直线 Ax-2y-1=0 与直线 6x-4y+1=0 互相平行,则 A 的值为 (A) ?3 (B) 3 (C) 6 (D) ?

4 3

2.一元二次不等式 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的解集是 (A) (2,3) (C) (?? , 2) ? (3 , ? ?) (B) (-3,-2) (D) (?? , ? 3) ? (?2 , ? ?)

( ? 3.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {3, 4,5} ,则 ?U A) B 等于

(A) ?

(B) {4}

(C) {1,3, 4,5}

(D) {2,3, 4,5}

4.将一枚质地均匀的硬币抛掷两次,出现“一次正面朝上、一次正面朝下”的概率是 (A) 0 5.设α∈{-1,1, (A) 1 (B)

1 2

(C)

1 4

(D) 1

1 α ,3},则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有α的值为 2
(B) 1,3 (C) -1,

1 2

(D) -1, 3 1,

6.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表: 分数 人数 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

则这 100 人成绩的标准差为 (A)
3

(B) 3

(C)

10 5

(D)

2 10 5

7.已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值是 (A) ?

1 7

(B)

1 7
(B) 90°

(C) ?

1 6
(C) 120°

(D)

1 6
(D) 150°

8.已知在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是 (A) 60°

9.若右图是一个棱锥的正视图、侧视图和俯视图,且图中三角形是 直角边长均为 1 的直角 三角形,四边形是边长为 1 的正方形,则此棱锥的体积等于 (A) 1 (C) (B) (D)

1 2 1 4

1 3

10.阅读下面的程序框图,当输入变量 x ? 8 时,输出的结果是 (A) 3 (C) ?3 (B) 8
开 始

1 (D) 3
输入 x

x ? 1?




y ? log2 x

y ? 2x

输出

y

结 束

四川省普通高中学业水平考试(样卷) 数 学

第Ⅱ卷(非选择题 共 60 分) 三 15 16 17 18 19

题号 得分



总分

总分人

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 4 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案直接填在题中横线上.
?1? i ? 11.计算: ? ? ? __________. ?1? i ?
4

12.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点的坐标为_____________. 9 5
7

13.已知 ?1 ? 2x ? 展开式中第四项的系数为__________. 14.若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a , b 的值分别为__________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 44 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本题 8 分) 用定义证明:函数 f ( x) ? x ?

1 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数. x

16.(本题 8 分) 如图,已知圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切,圆心 C 的坐标为(2,2). (Ⅰ) 写出圆 C 的标准方程,并化为一般方程; (Ⅱ) 求与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程.

17.(本题 8 分) 如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,AD1 与 A1D 相交于点 O. (Ⅰ) 判断 AD1 与平面 A1B1CD 的位臵关系,并证明; (Ⅱ) 求直线 AB1 与平面 A1B1CD 所成的角.

18.(本题 10 分) 已知函数 f ( x) ?

tan ? tan 2? ? 3(sin 2 ? ? cos2 ? ) , tan 2? ? tan ?

(Ⅰ) 把 f ( x) 的表达式化简为 A sin(? x ? ? ) 的形式; (Ⅱ) 指出 f ( x) 在区间 [0, 2? ] 上的单调区间、最大值及相应的 x 的值.

19.(本题 10 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 Sn ? a1 ? a2 q ? ? ? an qn?1 ,

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? ? ?1?

n?1

an qn?1 ,q ? 0, n ? N? .

(Ⅰ) 若 q=1,a1=1,S3=15,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a1=d,且 S1,S2,S3 成等比数列,求 q 的值; (Ⅲ) 若 q ? ?1 ,证明: ?1 ? q ? S2n ? ?1 ? q ? T2n ?

2dq ?1 ? q 2 n ? 1 ? q2

( n ? N? ).

四川省普通高中学业水平考试(样卷)数学试题 参考答案及评分意见 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 (B) 2 (D) 3 (B) 4 (C) 5 (B) 6 (D) 7 (A) 8 (C) 9 (C) 10 (A)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.1;12.(2,0);13.280;14. 4, ?11 . 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 44 分) 15.(本题 8 分) 设 1 ? x1 ? x2 , ·························· 2 分

? 1? ? 1? 1 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ? 0 , ······ 4 分 x1 ? ? x2 ? x1 x2 ?

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ························· 6 分 ? 函数 f ( x) ? x ? 16.(本题 8 分) (Ⅰ) 由已知,圆心 C 的坐标为(2,2), ··············· 1 分 又 圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切,可得圆 C 的半径 r ? 2 . ········· 2 分 所以,圆 C 的标准方程是 ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 4 . ············ 3 分
2 2

1 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数. ············ 8 分 x

圆的一般方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 . ··············· 4 分 (Ⅱ) 由已知,直线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,可设直线方程为 x ? y ? a ? 0 . 又该直线与圆 C 相切,所以
2?2?a 12 ? 12 ? 2 ,解得 a ? 4 ? 2 2 . ······ 6 分

故所求直线方程为: x ? y ? 4 ? 2 2 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 2 2 ? 0 . ······ 8 分 17.(本题 8 分) (Ⅰ) AD1 ? 平面A1 B1CD . ····················· 2 分 ≧ 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A1 B1 ? AD1 , AD1 ? A1D, A1 D ? A1 B1 ? A1 , ? AD1 ? 平面A1 B1CD . ······················ 4 分 (Ⅱ)连结 B1O .≧ AD1 ? 平面A1 B1CD 于点 O, ? 直线 B1O 是直线 AB1 在平面 A1 B1CD 上的射影. ? ?AB1O 为直线 AB1 与平面 A1 B1CD 所成的角. ············ 6 分 ≧ AB1 ? 2 AO ,? sin ?AB1O ?
AO 1 ? , AB1 2

? ?AB1O ? 30 °. ························ 8 分

18.(本题 8 分)

sin x sin 2 x ? tan x tan 2 x (Ⅰ) f ( x) ? ? 3(sin 2 x ? cos2 x) = cos x cos 2 x ? 3 cos 2 x sin 2 x sin x tan 2 x ? tan x ? cos 2 x cos x sin x sin 2 x ? 3 cos 2 x =sin2x ? 3 cos 2x ······ 2 分 = 2 2sin x cos x ? sin x(cos 2 x ? sin 2 x)

? ). ······················ 3 分 3 2? ? ? (Ⅱ) 设 x ?[0, ] ,则 u=2x ? ? [? , ? ] . 3 3 3 ? ? ? 根据正弦函数的单调性可知,函数 g(x)=2sinu 在 u ? [? , ] 时递增,在 u ?[ , ? ) 时递减; 3 2 2 ? ? 且当 u= ? 时,g(x)min= ? 3 ;当 u= 时,g(x)max=2. ··········· 6 分 3 2 2? 5? 5? 2? 所以,当 x ?[0, ] 时, f ( x) 的单调递增区间是 [0, ] ,单调递减区间是 [ , ] ; f ( x) 的 3 12 12 3 5? 最小值为 f(x)min= ? 3 ,相应的 x=0 ; f ( x) 的最大值为 f(x)max=2,相应的 x= . 12
? f ( x) =2sin(2x ? ································· 8 分 19.(本题 10 分) (Ⅰ) 由题设, S3 ? a1 ? a2 q ? a3q2 = a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q2 , 将 q=1,a1=1,S3=15 代入,解得 d=4, 所以数列 {an } 的通项公式为: an ? 4n ? 3 an ? 4n ? 3,n ? N? . ····· 3 分 (Ⅱ) 由已知,a1=d,且 S1,S2,S3 成等比数列,所以 S2 = S1S3,即
(d ? 2dq)2 ? d (d ? 2dq ? 3dq2 ) ,
2

注意到 d≠0,q≠0,解得 q=-2. ·················· 6 分 (Ⅲ) 由题设,有 bn= q n ?1 ,则
S2n ? a1 ? a2 q ? a3q2 ? ? ? a2n q2n?1 T2n ? a1 ? a2 q ? a3q2 ? ? ? a2n q 2n?1

① ②

①-②得, S2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q3 ? ? ? a2n q2n?1 ) ············· 8 分 ①+②得, S2n ? T2n ? 2(a1 ? a3q2 ? ? ? a2n?1q2n?2 )
3



③式两边同乘以 q,得 q(S2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3q ? ? ? a2n?1q 2n?1 ) 所以, ?1 ? q ? S2n ? ?1 ? q ? T2n = S2n ? T2n ? q(S2n ? T2n ) = 2(a2 q ? a4 q3 ? ? ? a2n q2n?1 ) - 2(a1q ? a3q3 ? ? ? a2n?1q2n?1 ) =2d( q ? q3 ? ? ? q2n?1 ) =

2dq ?1 ? q 2n ? 1 ? q2

. ················ 10 分


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